Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

466 задач
Підготовка до Французької математичної олімпіади
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-050

Рівняння n² = 17x⁴ - 32x²y² + 41y⁴

Знайдіть усі трійки цілих чисел (x,y,n)(x, y, n) таких, що n2=17x4−32x2y2+41y4n^{2}=17 x^{4}-32 x^{2} y^{2}+41 y^{4}.
8–10 класиМетод нескінченного спуску
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-047

Концентричні описані кола з середин дуг

Нехай ABCABC — трикутник, а Γ\Gamma — його описане коло. Нехай A1A_{1} — середина дуги BC^\widehat{BC}, що не містить AA; B1B_{1} — середина дуги CA⌢\overparen{CA}, що не містить BB; C1C_{1} — середина дуги AB⌢\overparen{AB}, що не містить CC. Нарешті, нехай A2A_{2} — точка, для якої AB1A2C1AB_{1}A_{2}C_{1} є паралелограмом; B2B_{2} — точка, для якої BC1B2A1BC_{1}B_{2}A_{1} є паралелограмом; C2C_{2} — точка, для якої CA1C2B1CA_{1}C_{2}B_{1} є паралелограмом. Доведіть, що описані кола трикутників ABCABC і A2B2C2A_{2}B_{2}C_{2} концентричні.
8–10 класиТеорема про тризуб
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-098

Розрізання квадрата на задану кількість менших квадратів

Нехай n⩾6n \geqslant 6. Доведіть, що кожен квадрат можна розрізати на рівно nn квадратів (не обов'язково однакового розміру).
8–10 класиРозрізання, покриття та замощення
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-048

Нерівність із сумою попарних добутків

Нехай xx, yy і zz — додатні дійсні числа такі, що xy+yz+zx=3x y + y z + z x = 3. Доведіть, що x+3y+z+y+3z+x+z+3x+y+3⩾27(x+y+z)2(x+y+z)3\frac{x+3}{y+z} + \frac{y+3}{z+x} + \frac{z+3}{x+y} + 3 \geqslant 27 \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z})^{2}}{(x+y+z)^{3}}
8–10 класиНерівність Коші-Буняковського2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-049

Сума квадратів цифр кратних числа 222

Знайдіть усі цілі числа n⩾1n \geqslant 1, для яких існує кратне числа 222, сума квадратів цифр якого дорівнює nn.
8–10 класиСистеми числення
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-051

Можливість відновлення діагоналей за числами у вершинах

Деяка кількість діагоналей розбиває опуклий многокутник на трикутники. Ці відрізки можуть перетинатися лише у вершині многокутника. У кожній вершині многокутника записано кількість трикутників, що прилягають до цієї вершини. Чи можна відновити діагоналі, знаючи лише числа у вершинах?
8–10 класиРозрізання, покриття та замощення
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-052

Перетин бісектрис у рівнобедреному трикутнику

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник з вершиною AA, усі кути якого гострі, а DD — точка на відрізку [BC][BC]. Нехай ℓ\ell — пряма, паралельна прямій (BC)(BC), що проходить через AA, далі XX — точка на прямій ℓ\ell, для якої пряма (XD)(XD) перпендикулярна до прямої (BC)(BC), а Γ\Gamma — коло з центром XX, що проходить через DD. Коло Γ\Gamma перетинає відрізок [AB][AB] у точці EE, і через YY позначимо точку на прямій ℓ\ell таку, що пряма (AB)(AB) перпендикулярна до прямої (EY)(EY); аналогічно, коло Γ\Gamma перетинає відрізок [AC][AC] у точці FF, а через ZZ позначимо точку на прямій ℓ\ell таку, що пряма (AC)(AC) перпендикулярна до прямої (FZ)(FZ). Доведіть, що бісектриси кутів EYA^\widehat{EYA} і FZA^\widehat{FZA} перетинаються в точці прямої (XD)(XD).
8–10 класиТеорема про тризуб
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-075

Вписаний чотирикутник, побудований за інцентром

Нехай ABCABC — трикутник, а II — центр його вписаного кола. Серединний перпендикуляр до відрізка [BC][BC] перетинає пряму (AI)(AI) в точці SS та пряму (BI)(BI) в точці TT. Доведіть, що CC, II, SS і TT лежать на одному колі.
8–10 класиТеорема про тризуб
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-053

Мінімум суми числа й частки за умови обмеження знизу

Нехай nn — натуральне число, а x⩾nx \geqslant n — дійсне число. Доведіть, що x+nx⩾n+1x+\frac{n}{x} \geqslant n+1, і вкажіть випадки рівності.
8–10 класиРозкладання на множники і розкрит…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-054

Колони з 2024 учнів без вищих за обох сусідів

2024 учні, всі різного зросту, мають стати в колону по одному. Проте кожен учень не хоче мати одночасно і перед собою, і позаду себе учня, нижчого за нього. Скільки існує способів утворити таку колону?
8–10 класиРекурентний підрахунок
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-056

Подільність показникової суми на 21

Знайдіть усі невід'ємні цілі числа nn такі, що 2121 ділить 22n+2n+12^{2^{n}} + 2^{n} + 1.
8–10 класиСтепені за модулем. Періодичність…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-055

Ітераційне середнє повторених двійок

Нехай n⩾1n \geqslant 1 — натуральне число. Босфор написав на дошці число 22 рівно nn разів. Потім він n−1n-1 разів поспіль виконує таку операцію: вибирає два написані на дошці числа, які називає aa і bb, потім стирає їх і записує замість них число (ab+1)/2\sqrt{(ab+1)/2}. Зрештою він позначає через xx число, написане на дошці після цих n−1n-1 операцій, а через yy — число (n+3)/n\sqrt{(n+3)/n}. a) Доведіть, що x⩾yx \geqslant y. b) Доведіть, що існує нескінченно багато натуральних чисел n⩾1n \geqslant 1, для яких обов'язково виконується x>yx>y. c) Доведіть, що існує нескінченно багато натуральних чисел n⩾1n \geqslant 1, для яких Босфор може домогтися того, щоб x=yx=y.
8–10 класиМетод математичної індукції
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-057

Циклічна система з квадратичними членами

Знайдіть усі трійки невід’ємних дійсних чисел (a,b,c)\left(a, b, c\right) таких, що {a2+ab=cb2+bc=ac2+ca=b\left\{ \begin{array}{l} a^{2}+a b=c \\ b^{2}+b c=a \\ c^{2}+c a=b \end{array} \right.
8–10 класиСиметричні системи рівнянь
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-058

Блокування червоних квадратів 2×2 у грі на дошці

Німата й Таніма грають у гру на шахівниці 8×88 \times 8. По черзі, починаючи з Німати, кожен гравець вибирає клітинку, яку ще не вибрано, і зафарбовує її у свій колір (червоний для Німати, синій для Таніми). Доведіть, що Таніма завжди може домогтися того, щоб Німата не змогла зафарбувати жоден квадрат 2×22 \times 2 повністю в червоний колір.
8–10 класиСиметрія та розбиття на пари
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-079

Обмежена послідовність із квадратичною нерівністю

Нехай a1,a2,…a_{1}, a_{2}, \ldots — додатні дійсні числа такі, що an+12+anan+2⩽an+an+2a_{n+1}^{2}+a_{n} a_{n+2} \leqslant a_{n}+a_{n+2} для кожного цілого n⩾1n \geqslant 1. Доведіть, що a2023⩽1a_{2023} \leqslant 1.
10–11 класиЧислові нерівності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-080

Найбільша сума ±1-послідовності з кроком 1 або 2

Олімпійська послідовність — це послідовність s1,s2,…,s2023s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{2023}, кожен з 2023 членів якої дорівнює 1 або -1. Повільно зростаюча послідовність — це послідовність цілих чисел t1,t2,…,tnt_{1}, t_{2}, \ldots, t_{n} така, що 1⩽t1<t2<⋯<tn⩽20231 \leqslant t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{n} \leqslant 2023, і кожна з n−1n-1 різниць ti+1−tit_{i+1}-t_{i} дорівнює 1 або 2. Знайти найбільше ціле число CC таке, що для будь-якої олімпійської послідовності s1,s2,…,s2023s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{2023} існує ціле число n⩾1n \geqslant 1 і повільно зростаюча послідовність t1,t2,…,tnt_{1}, t_{2}, \ldots, t_{n} довжини nn такі, що ∣st1+st2+⋯+stn∣⩾C\left|s_{t_{1}}+s_{t_{2}}+\cdots+s_{t_{n}}\right| \geqslant C
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-081

Точки на одному колі при паралельних побудовах у трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник. Нехай FF — основа висоти трикутника ABCABC, проведеної з AA, а PP — точка на відрізку [AF][AF]. Позначимо через DD точку на прямій (BC)(BC) таку, що (PD)(PD) паралельна (AC)(AC), а через XX — точку, в якій вдруге перетинаються описане коло трикутника ABDABD і коло з центром DD, що проходить через AA. Аналогічно позначимо через EE точку на прямій (BC)(BC) таку, що (PE)(PE) паралельна (AB)(AB), а через YY — точку, в якій вдруге перетинаються описане коло трикутника ACEACE і коло з центром EE, що проходить через AA. Доведіть, що точки BB, CC, XX і YY лежать на одному колі.
10–11 класиРадикальна вісь
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-082

Факторіал ділить добуток сум простих чисел

Нехай n⩾3n \geqslant 3 — натуральне число. Для кожної пари простих чисел pp і qq таких, що p<q⩽np<q \leqslant n, Моргана написала на дошці суму p+qp+q. Далі вона позначає через P(n)\mathcal{P}(n) добуток усіх цих сум. Наприклад, P(5)=(2+3)×(2+5)×(3+5)=280\mathcal{P}(5)=(2+3) \times (2+5) \times (3+5)=280. Знайдіть усі значення n⩾3n \geqslant 3, для яких n!n! ділить P(n)\mathcal{P}(n). Зауваження: якщо дві суми p+qp+q, утворені з двох різних пар, збігаються між собою, Моргана пише обидві. Наприклад, якщо n=13n=13, вона пише обидві суми 3+133+13 і 5+115+11.
10–11 класиПрості числа (базові властивості)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-060

Прості числа із квадратичним співвідношенням

Знайдіть усі прості числа p,qp, q, що задовольняють p5+p3+2=q2−qp^{5}+p^{3}+2=q^{2}-q.
8–10 класиМетод факторизації (розкладання н…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-023

Позначені клітинки, що утворюють прямокутник

Щонайменше n(n+12)n\left(\sqrt{n}+\frac{1}{2}\right) клітинок дошки n×nn \times n позначено. Доведіть, що існують чотири позначені клітинки, які утворюють вершини прямокутника.
8–10 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-099

Послідовні цілі числа з фіксованою кількістю простих

Чи можна знайти блок із 1000 послідовних натуральних чисел, який містить рівно 5 простих чисел?
8–10 класиРозподіл простих чисел
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-076

Перпендикулярність у рівнобедреному трикутнику

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник з вершиною в AA, OO — центр його описаного кола, а II — центр його вписаного кола. Пряма, паралельна до прямої (AB)(AB), що проходить через II, перетинає (AC)(AC) у точці DD. Доведіть, що прямі (CI)(CI) і (DO)(DO) перпендикулярні.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-059

Нерівності із симетричними дробами

Доведіть, що для всіх додатних дійсних чисел aa, bb, cc: bca2+2bc+cab2+2ca+abc2+2ab⩽1⩽a2a2+2bc+b2b2+2ca+c2c2+2ab\frac{b c}{a^{2}+2 b c}+\frac{c a}{b^{2}+2 c a}+\frac{a b}{c^{2}+2 a b} \leqslant 1 \leqslant \frac{a^{2}}{a^{2}+2 b c}+\frac{b^{2}}{b^{2}+2 c a}+\frac{c^{2}}{c^{2}+2 a b}
8–10 класиНерівність Коші
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-083

Дотичні, що перетинаються, і хорда кола

Нехай A,B,C,DA, B, C, D — чотири точки, розташовані в цьому порядку на колі ω\omega. Нехай PP і QQ — дві точки на прямій (AB)(A B) такі, що точки Q,A,B,PQ, A, B, P лежать на одній прямій у цьому порядку, коло, описане навколо трикутника ADQA D Q, дотикається до прямої (AC)(A C), а коло, описане навколо трикутника BCPB C P, дотикається до прямої (BD)(B D). Нехай MM і NN — середини відрізків [BC][B C] і [AD][A D] відповідно. Доведіть, що дотична в AA до кола, описаного навколо трикутника ANQA N Q, дотична в BB до кола, описаного навколо трикутника BMPB M P, і пряма (CD)(C D) перетинаються в одній точці.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-084

Мінімальна кількість купок після об'єднання монет

Нехай n⩾1n \geqslant 1 — натуральне число. Моргана має спочатку nn купок, у кожній з яких лежить по одній монеті. Далі вона дозволяє собі операції такого вигляду: вона вибирає дві купки, виймає з першої купки стільки ж монет, скільки з другої, і утворює нову купку з монет, які вона вийняла. Визначити залежно від nn найменшу кількість непорожніх купок, яку Моргана зможе отримати за допомогою таких операцій.
10–11 класиІнші інваріанти

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.