Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

466 задач
Підготовка до Французької математичної олімпіади
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-085

Максимальний степінь, що ділить члени послідовності

Нехай a⩾2a \geqslant 2 і d⩾2d \geqslant 2 — два взаємно прості цілі числа. Покладемо x1=1x_{1}=1; далі, для кожного цілого k⩾1k \geqslant 1, покладемо xk+1=xk/ax_{k+1}=x_{k} / a, якщо aa ділить xkx_{k}, і xk+1=xk+dx_{k+1}=x_{k}+d інакше. Знайдіть, залежно від aa і dd, максимальне ціле ℓ\ell, для якого aℓa^{\ell} ділить один із членів x1,x2,x3,…x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-061

Нерівність з умовою на суму попарних добутків

Нехай xx, yy, zz — додатні дійсні числа, такі, що xy+yz+zx=1x y + y z + z x = 1. Доведіть, що 2(x2+y2+z2)+43(1x2+1+1y2+1+1z2+1)⩾52\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)+\frac{4}{3}\left(\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{1}{z^{2}+1}\right) \geqslant 5
8–10 класиНерівність Коші2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-062

Доповнення таблиці (n-2) × n до n × n

Нехай n⩾3n \geqslant 3 — натуральне число. Кожен рядок таблиці (n−2)×n(n-2) \times n містить числа від 1 до nn по одному разу, причому в кожному стовпці всі числа різні. Доведіть, що таблицю можна доповнити до таблиці n×nn \times n так, щоб у кожному рядку і в кожному стовпці були всі числа від 1 до nn.
8–10 класиОрієнтовані графи
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-063

Кубічний многочлен, що уникає подільності

Нехай n⩾2n \geqslant 2. Доведіть, що існують цілі числа a,ba, b такі, що для будь-якого цілого числа mm число m3+am+bm^{3}+a m+b не є кратним nn.
8–10 класиАрифметика остач (базові властиво…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-004

Чудові степені в показниковій сумі

Ціле число k>1k > 1 називається чудовим, якщо існують m,n,am, n, a — три додатні цілі числа, такі, що 5m+63n+49=ak5^{m} + 63 n + 49 = a^{k} Знайдіть найменше чудове ціле число.
8–10 класиМіркування за модулем
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-086

Породження цілих 2023-наборів сумою та максимумом

Люсіль написала на дошці ss 2023-наборів цілих чисел. Далі їй дозволено виконувати операції такого вигляду: вона вибирає два 2023-набори u=(u1,u2,…,u2023)\mathbf{u}=\left(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{2023}\right) і v=(v1,v2,…,v2023)\mathbf{v}=\left(v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{2023}\right), не обов'язково різні, серед тих, які вона вже написала, а потім також пише на дошку два 2023-набори u+v=(u1+v1,…,u2023+v2023)\mathbf{u}+\mathbf{v}=\left(u_{1}+v_{1}, \ldots, u_{2023}+v_{2023}\right) і max⁡(u,v)=(max⁡(u1,v1),…,max⁡(u2023,v2023))\max (\mathbf{u}, \mathbf{v})=\left(\max \left(u_{1}, v_{1}\right), \ldots, \max \left(u_{2023}, v_{2023}\right)\right). Для яких значень ss, якщо Люсіль вдало вибере ss 2023-наборів, написаних нею спочатку, і повторюватиме наведені вище операції, вона зможе написати будь-який 2023-набір цілих чисел?
10–11 класиІнші інваріанти
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-087

Частоти цифр у кратних числа 2023

Нехай n⩾1n \geqslant 1 — ціле число. Морган записує на дошці в десятковій системі числа 2023,2023×2,…,2023×n2023, 2023 \times 2, \ldots, 2023 \times n. Для кожної цифри cc від 1 до 9 вона позначає через dc(n)\mathrm{d}_{c}(n) кількість появ цифри cc на дошці. Наприклад, якщо n=3n=3, вона записує числа 20232023, 40464046 і 60696069, отже d1(3)=d5(3)=d7(3)=d8(3)=0\mathrm{d}_{1}(3)=\mathrm{d}_{5}(3)=\mathrm{d}_{7}(3)=\mathrm{d}_{8}(3)=0, d3(3)=d9(3)=1\mathrm{d}_{3}(3)=\mathrm{d}_{9}(3)=1, d2(3)=d4(3)=2\mathrm{d}_{2}(3)=\mathrm{d}_{4}(3)=2 і d6(3)=3\mathrm{d}_{6}(3)=3; тож ці дев’ять чисел набувають рівно чотирьох значень. Доведіть, що існує нескінченно багато цілих чисел n⩾1n \geqslant 1, для яких дев’ять чисел d1(n),d2(n),…,d9(n)\mathrm{d}_{1}(n), \mathrm{d}_{2}(n), \ldots, \mathrm{d}_{9}(n) набувають рівно двох значень.
10–11 класиБієкції
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-024

Очки турніру як послідовні цілі числа

У турнірі між 6 командами кожна команда грає проти кожної іншої команди рівно один раз. Коли команда перемагає, вона отримує 3 очки, а команда, що програла, отримує 0 очок. Якщо партія завершується внічию, обидві команди отримують по одному очку. Визначте aa, для яких можливо, щоб підсумкові очки команд дорівнювали шести послідовним числам a,a+1,…,a+5a, a+1, \ldots, a+5.
8–10 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-025

Найбільше значення різниці за симетричних умов

Нехай x,y,zx, y, z — три дійсні числа, що задовольняють x+y+z=2x+y+z=2 і xy+yz+zx=1xy+yz+zx=1. Знайдіть найбільше значення, якого може набувати x−yx-y.
8–10 класиПеретворення симетричних виразів
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-065

Степеневе рівняння 1517^a + 15^b = 1532^c

Знайдіть усі aa, bb, c∈Nc \in \mathbb{N} такі, що 1517a+15b=1532c1517^{a} + 15^{b} = 1532^{c}.
8–10 класиМіркування за модулем
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-029

Дотична до описаного кола з перетину прямих

Нехай ABCABC — трикутник з описаним колом Γ\Gamma, DD — точка на прямій (AB)(AB) і EE — точка на прямій (AC)(AC) такі, що прямі (DE)(DE) і (BC)(BC) паралельні. Описане коло трикутника ABCABC перетинає описане коло трикутника BDEBDE вдруге в точці KK, а описане коло трикутника CDECDE — вдруге в точці LL. Нехай TT — точка перетину прямих (BK)(BK) і (CL)(CL). Доведіть, що пряма (TA)(TA) є дотичною до кола Γ\Gamma.
8–10 класиРадикальна вісь
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-064

Періодична рекурентна послідовність із сумою та добутком

Нехай aa і bb — два дійсні числа. Визначимо послідовності (an)\left(a_{n}\right) і (bn)\left(b_{n}\right) рівностями a0=a, b0=ba_{0}=a,\ b_{0}=b і для кожного натурального числа nn рівностями an+1=an+bna_{n+1}=a_{n}+b_{n} і bn+1=anbnb_{n+1}=a_{n} b_{n}. Знайдіть усі пари (a,b)(a, b) такі, що a2022=a0a_{2022}=a_{0} і b2022=b0b_{2022}=b_{0}.
8–10 класиСуми послідовностей
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-030

Гра садівника і дятла на клітинній дошці

Садівник і дятел грають у таку гру у своєму саду, що має форму решітки 2022×20222022 \times 2022, утвореної з 202222022^{2} клітинок. Дві клітинки вважаються сусідніми, якщо вони мають спільну вершину або спільну сторону. Спочатку в кожній клітинці росте дерево розміру 0. Потім, у кожному ході гри, ▹\triangleright садівник вибирає одну клітинку; дерева цієї клітинки та сусідніх клітинок (тобто загалом від чотирьох до дев'яти клітинок) усі збільшують свій розмір на 1; ▹\triangleright дятел тоді вибирає чотири клітинки; дерева цих клітинок усі зменшують свій розмір на 1 (або залишаються рівними 0, якщо дятел вибрав клітинку з деревом розміру 0). Кажуть, що дерево є сяючим, якщо його розмір становить принаймні 10610^{6}. Знайти найбільше ціле число AA, для якого садівник зможе гарантувати, за скінченну кількість ходів гри і незалежно від виборів дятла, що він виростив принаймні AA сяючих дерев.
9–11 класиГеометричні розфарбування
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-066

Скінченність обмінів із подвоєнням

Декілька чисел записано в рядок. Таніма має право вибрати два сусідні числа так, щоб число зліва було строго більшим за число справа, після чого вона міняє ці два числа місцями та множить їх на 2. Доведіть, що Таніма може виконати лише скінченну кількість таких операцій.
8–10 класиНапівінваріанти
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-067

Перпендикулярність з інцентром і симетрією бісектрис

Нехай ABCABC — трикутник, а II — центр вписаного кола. Позначимо через DD і EE основи бісектрис, проведених з BB і CC. Нехай XX — перетин симетричних образів прямих (AB)(AB) і (AC)(AC) відносно (CE)(CE) і (BD)(BD). Доведіть, що прямі (XI)(XI) і (BC)(BC) перпендикулярні.
8–10 класиВписане коло
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-002

Паралельні прямі в трикутнику з вписаним колом

Нехай ABCABC — нерівнобедрений трикутник, а II — центр його вписаного кола. Нехай DD — точка на відрізку [BC][BC] (відмінна від BB і CC). Описане коло трикутника DIBDIB перетинає пряму (AB)(AB) вдруге в точці E≠BE \neq B, а описане коло трикутника DICDIC перетинає пряму (AC)(AC) вдруге в точці F≠CF \neq C. Описане коло трикутника DEFDEF перетинає прямі (AB)(AB) і (AC)(AC) вдруге в точках MM і NN відповідно. Прямі (IB)(IB) і (DE)(DE) перетинаються в точці PP, а прямі (IC)(IC) і (DF)(DF) перетинаються в точці QQ. Доведіть, що прямі (EN)(EN), (FM)(FM) і (PQ)(PQ) паралельні.
8–10 класиТеорема про тризуб
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-068

Нерівність для послідовності з обмеженими приростами

Нехай b1,…,bnb_{1}, \ldots, b_{n} — невід'ємні дійсні числа такі, що b1+b2+…+bn=2b_{1}+b_{2}+\ldots+b_{n}=2. Нехай a0,a1,…,ana_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n} — дійсні числа такі, що a0=an=0a_{0}=a_{n}=0. Припустимо, що для кожного ii від 1 до nn включно: ∣ai−ai−1∣⩽bi\left|a_{i}-a_{i-1}\right| \leqslant b_{i} Доведіть, що (a0+a1)b1+(a1+a2)b2+…+(an−1+an)bn⩽2\left(a_{0}+a_{1}\right) b_{1}+\left(a_{1}+a_{2}\right) b_{2}+\ldots+\left(a_{n-1}+a_{n}\right) b_{n} \leqslant 2
8–10 класиЧислові нерівності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-069

Гра з простими числами та степеневими сумами

Кентен і Тімоте грають у гру. Спочатку Кентен вибирає просте число p>2p > 2, потім Тімоте вибирає натуральне число n0n_0. Тоді Кентен вибирає ціле число n1>n0n_1 > n_0 і обчислює s1=n0n1+n1n0s_1 = n_0^{n_1} + n_1^{n_0}; потім Тімоте вибирає ціле число n2>n1n_2 > n_1 і обчислює s2=n1n2+n2n1s_2 = n_1^{n_2} + n_2^{n_1}. Гравці продовжують грати по черзі, вибираючи на ході kk ціле число nk>nk−1n_k > n_{k-1} і обчислюючи sk=nknk−1+nk−1nks_k = n_k^{n_{k-1}} + n_{k-1}^{n_k}. Перший гравець, який вибере ціле число nkn_k таке, що pp ділить sk(s1+2s2+3s3+…+ksk)s_k (s_1 + 2 s_2 + 3 s_3 + \ldots + k s_k), виграє гру. Визначте, хто з Кентена і Тімоте має виграшну стратегію.
8–10 класиМала теорема Ферма
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-031

Перпендикулярність у трикутнику з дотичним колом

Нехай ABCABC — трикутник, а EE — середина відрізка [BC][BC]. Нехай mm — серединний перпендикуляр до відрізка [AC][AC], а DD — точка на прямій mm така, що описане коло трикутника ABDABD дотикається до прямої mm. Нарешті, нехай KK — точка перетину, відмінна від AA, описаного кола трикутника ABDABD і прямої (AC)(AC), а FF — середина відрізка [CK][CK]. Доведіть, що прямі (DE)(DE) і (EF)(EF) перпендикулярні.
9–11 класиГомотерія і подібність
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-032

Множина із сумами k елементів

Нехай k⩾2k \geqslant 2 — натуральне число. Знайти найменше ціле число n⩾k+1n \geqslant k+1, для якого існує множина EE з nn попарно різних дійсних чисел, кожен елемент якої можна подати як суму kk інших попарно різних елементів множини EE.
9–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-014

Перестановки з одним перевищенням

Порахуйте кількість перестановок a1,a2,…,a2023a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2023} послідовності 1,2,…,20231,2, \ldots, 2023 таких, що ak>ka_{k}>k рівно для одного значення kk.
10–11 класиБієкції
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-088

Послідовність з двома періодами

Нехай (un)n∈N\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} — послідовність, періодична з періодом 2022 і з періодом 5. Доведіть, що (un)\left(u_{n}\right) стала. Послідовність (un)\left(u_{n}\right) називається періодичною з періодом tt, якщо для кожного натурального числа nn виконується un+t=unu_{n+t}=u_{n}.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-015

Факторіальне рівняння зі степенем двійки

Знайдіть усі трійки невід'ємних цілих чисел (x,y,z)(x, y, z), що задовольняють рівняння x!+2y=z!x! + 2^{y} = z!
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-074

Симетрія хорди при перетині описаних кіл

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник (усі кути якого гострі), де BA≠BCBA \neq BC. Нехай OO — центр його описаного кола. Пряма (AB)(AB) перетинає описане коло трикутника BOCBOC вдруге в точці P≠BP \neq B. Доведіть, що PA=PCPA = PC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-003

Рівність відрізків AD і DO в трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник, OO — центр його описаного кола. Припустимо, що CBA^=60∘\widehat{CBA}=60^{\circ} і CBO^=45∘\widehat{\mathrm{CBO}}=45^{\circ}. Нехай DD — точка перетину прямих (AC)(\mathrm{AC}) і (BO)(BO). Доведіть, що AD=DO\mathrm{AD}=\mathrm{DO}.
10–11 класиЦентральні і вписані кути

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.