Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

466 задач
Підготовка до Французької математичної олімпіади
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-047

Точки на одному колі для кіл, що перетинаються

Нехай ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} — два кола з центрами O1O_{1} і O2O_{2} відповідно. Припустімо, що ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} перетинаються в точках AA і BB. Пряма (O1A)(O_{1}A) вдруге перетинає коло ω2\omega_{2} у точці CC, тоді як пряма (O2A)(O_{2}A) вдруге перетинає коло ω1\omega_{1} у точці DD. Доведіть, що точки DD, O1O_{1}, BB, O2O_{2} і CC належать одному колу.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-009

Кількість дільників та образи простих чисел

Нехай f:N⋆→N⋆f: \mathbb{N}^{\star} \rightarrow \mathbb{N}^{\star} — функція така, що для кожного цілого n⩾1n \geqslant 1, f(f(n))f(f(n)) дорівнює кількості додатних дільників числа nn. Доведіть, що якщо pp — просте число, то f(p)f(p) також просте число.
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-020

Строго зростаюча послідовність із властивістю різниць

Нехай (an)(a_{n}) — строго зростаюча послідовність натуральних чисел така, що a1=1a_{1}=1 і для кожного n⩾1n \geqslant 1 виконується an+1⩽2na_{n+1} \leqslant 2n. Доведіть, що для кожного натурального n⩾1n \geqslant 1 існують два індекси pp і qq такі, що ap−aq=na_{p}-a_{q}=n.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-014

Коло дільників з простими відношеннями

Кажуть, що два цілі числа a,b∈N⋆a, b \in \mathbb{N}^{\star} пов'язані, якщо існує просте число pp таке, що a=pba = p b або b=pab = p a. Знайти всі цілі числа n⩾1n \geqslant 1, які мають таку властивість: можна записати всі додатні дільники числа nn (1 і nn включно) рівно по одному разу по колу так, щоб кожен дільник був пов'язаний з кожним зі своїх двох сусідів?
10–11 класиПарність і непарність
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-004

Симетрія суми з цілою частиною і мінімумом

Нехай mm, nn і xx — натуральні числа. Доведіть, що ∑i=1nmin⁡(⌊xi⌋,m)=∑i=1mmin⁡(⌊xi⌋,n)\sum_{i=1}^{n} \min \left(\left\lfloor\frac{x}{i}\right\rfloor, m\right)=\sum_{i=1}^{m} \min \left(\left\lfloor\frac{x}{i}\right\rfloor, n\right)
10–11 класиПідрахунок двома способами
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-010

Простота членів рекурентно заданої послідовності

Нехай m,n⩾2m, n \geqslant 2 — цілі числа, такі, що НСД(m,n)=НСД(m,n−1)=1\text{НСД}(m, n)=\text{НСД}(m, n-1)=1. Визначимо послідовність (nk)k∈N\left(n_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} умовами n0=mn_{0}=m і nk+1=n⋅nk+1n_{k+1}=n \cdot n_{k}+1 для k∈Nk \in \mathbb{N}. Доведіть, що цілі числа n1,…,nm−1n_{1}, \ldots, n_{m-1} не можуть усі бути простими числами.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-006

Фіксована точка рухомих хорд

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB<ACAB < AC. Нехай ω\omega — коло, що проходить через BB і CC, причому точка AA лежить усередині кола ω\omega. Нехай XX і YY — точки кола ω\omega такі, що BXA^=AYC^\widehat{BX A} = \widehat{A Y C}. Припустимо, що XX і CC лежать по різні боки від прямої (AB)(AB) і що YY і BB лежать по різні боки від прямої (AC)(AC). Доведіть, що коли XX і YY змінюються на колі ω\omega, пряма (XY)(XY) проходить через фіксовану точку.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-015

Степеневі суми, кратні простому числу

Нехай pp — непарне просте число, а x1,…,xpx_{1}, \ldots, x_{p} — цілі числа. Припустимо, що для кожного цілого k⩾1k \geqslant 1 виконується p∣x1k+⋯+xpkp \mid x_{1}^{k}+\cdots+x_{p}^{k} Доведіть, що цілі числа x1,…,xpx_{1}, \ldots, x_{p} усі конгруентні за модулем pp.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-011

Повні квадрати в лінійних послідовностях

Нехай nn — натуральне число і нехай a,a1,…,ana, a_{1}, \ldots, a_{n} — натуральні числа. Припустимо, що для кожного цілого kk, для якого число ak+1a k+1 є повним квадратом, принаймні одне з чисел a1k+1,…,ank+1a_{1} k+1, \ldots, a_{n} k+1 також є повним квадратом. Доведіть, що існує індекс 1⩽i⩽n1 \leqslant i \leqslant n такий, що a=aia=a_{i}.
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-018

Вкладання нормованих послідовностей у відрізок

Дійсна послідовність a1,…,aka_{1}, \ldots, a_{k} вкладається у відрізок [b,c][b, c], якщо існують дійсні числа x0,…,xkx_{0}, \ldots, x_{k} з [b,c][b, c] такі, що ∣xi−xi−1∣=ai\left|x_{i}-x_{i-1}\right|=a_{i} для k⩾i⩾1k \geqslant i \geqslant 1. Послідовність називається нормованою, якщо всі її члени не перевищують 1. 1) Доведіть, що для будь-якого цілого n⩾1n \geqslant 1 кожна нормована послідовність довжини 2n+12n+1 вкладається у відрізок [0,2−12n][0, 2-\frac{1}{2^{n}}]. 2) Доведіть, що для будь-якого цілого n⩾1n \geqslant 1 існує нормована послідовність довжини 4n+34 n+3, яка не вкладається у відрізок [0,2−12n][0,2-\frac{1}{2^{n}}].
10–11 класиМетод математичної індукції
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-012

Цілочисельні многочлени зі збереженням простих дільників

Знайти всі многочлени P∈Z[X]P \in \mathbb{Z}[X] такі, що: (i) P(n)⩾1P(n) \geqslant 1 для всіх n⩾1n \geqslant 1 (ii) P(mn)P(mn) і P(m)P(n)P(m) P(n) мають однакову кількість простих дільників для всіх m,n⩾1m, n \geqslant 1.
10–11 класиТеорема Ейлера
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-049

Еквівалентність подільних і переставних графів

Скінченний простий граф GG з nn вершинами називається подільним, якщо можна кожній вершині ss графа GG присвоїти номер nsn_{s} так, що будь-які дві різні вершини завжди мають два різні номери, а будь-які дві вершини ss і s′s^{\prime} з'єднані ребром тоді й лише тоді, коли ns∣ns′n_{s} \mid n_{s^{\prime}} або ns′∣nsn_{s^{\prime}} \mid n_{s}. Скінченний простий граф GG з nn вершинами називається переставним, якщо можна пронумерувати вершини графа GG від 11 до nn і існує перестановка σ\sigma множини {1,…,n}\{1, \ldots, n\} така, що вершини з номерами ii і jj з'єднані ребром тоді й лише тоді, коли (i−j)(σ(i)−σ(j))<0(i-j)(\sigma(i)-\sigma(j))<0. Доведіть, що граф GG є переставним тоді й лише тоді, коли GG та його доповнення є подільними.
10–11 класиОрієнтовані графи
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-003

Опуклий п'ятикутник з прямими кутами

Нехай ABCDEA B C D E — опуклий п'ятикутник такий, що ABE^=ACE^=ADE^=90∘\widehat{A B E}=\widehat{A C E}=\widehat{A D E}=90^{\circ} і BC=CDB C=C D. Нарешті, нехай KK — точка на промені [AB)[A B) така, що AK=ADA K=A D, а LL — точка на промені [ED)[E D) така, що EL=BEE L=B E. Доведіть, що точки B,D,KB, D, K і LL належать одному колу з центром CC.
8–10 класиТеорема про тризуб
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-004

Мінімаксна сума на позначеному восьмикутнику

Моргана і Босфор грають у таку гру. Моргана написала цілі числа від 1 до 8 на вершинах правильного восьмикутника: кожне число написане на одній з восьми вершин восьмикутника. Босфор далі вибирає вершину й обчислює суму чисел, написаних на цій вершині та на двох її сусідах. Він позначає через ss цю суму і дає ss цукерок Моргані. Босфор вибирає вершину так, щоб дати Моргані якомога менше цукерок, а Моргана записує цілі числа від 1 до 8 так, щоб отримати якомога більше цукерок. Доведіть, що Босфор дасть їй 12 цукерок.
8–10 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-005

Подільність суми степенів на 35

Нехай n=2021n=2021. Доведіть, що число 32n+1+2n+23^{2 n+1}+2^{n+2} ділиться на 35.
8–10 класиОстачі від великих степенів2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-006

Нерівності з перестановкою, що дають рівність

Нехай aa, bb, cc та dd — чотири дійсні числа. Припустимо, що існує перестановка (x,y,z,t)(x, y, z, t) чисел a,b,ca, b, c та dd така, що x⩽2a−b,y⩽2b−c,z⩽2c−d і t⩽2d−a.x \leqslant 2 a-b, \quad y \leqslant 2 b-c, \quad z \leqslant 2 c-d \text{ і } t \leqslant 2 d-a. Доведіть, що a=b=c=da = b = c = d.
8–10 класиЧислові нерівності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-025

Бісектриси в паралелограмі

Нехай ABCDABCD — паралелограм. Внутрішня бісектриса кута BAC^\widehat{BAC} перетинає відрізок [BC][BC] у точці EE, а його зовнішня бісектриса перетинає пряму (CD)(CD) у точці FF. Нехай MM — середина відрізка [AE][AE]. Доведіть, що прямі (EF)(EF) і (BM)(BM) паралельні.
9–11 класиОсновна властивість бісектриси4 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-007

Найбільше значення виразу при 0≤x≤y≤z, x+y+z=1

Нехай xx, yy і zz — три дійсні числа, такі, що 0⩽x⩽y⩽z0 \leqslant x \leqslant y \leqslant z і x+y+z=1x+y+z=1. Знайдіть найбільше значення, якого може набувати вираз (x−yz)2+(y−zx)2+(z−xy)2.(x-y z)^{2}+(y-z x)^{2}+(z-x y)^{2}.
8–10 класиПеретворення симетричних виразів3 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-008

Степені простого числа в квадратичній сумі

Знайдіть усі четвірки цілих чисел (a,b,c,p)(a, b, c, p) такі, що pp — просте число і для яких 73p2+6=9a2+17b2+17c273 p^{2}+6=9 a^{2}+17 b^{2}+17 c^{2}
8–10 класиМіркування за модулем
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-009

Хроматичне число орієнтованого графа

Нехай nn і kk — цілі числа, такі, що n⩾3n \geqslant 3. Тео організовує вибори делегатів у своєму класі з nn учнів: кожен учень має проголосувати за одного зі своїх однокласників (усі є кандидатами), і ніхто не голосує за себе. Потім Тео розподіляє учнів на групи так, щоб якщо учень перебуває в групі, то учень, за якого він проголосував, у ній не перебував. Для яких значень kk Тео напевно зможе розподілити учнів не більш ніж на kk груп, незалежно від того, як учні проголосують?
8–10 класиСтепені вершин
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-010

Множина без нетривіальних тричленних арифметичних прогресій

Нехай k⩾1k \geqslant 1 — ціле число, і нехай AA — підмножина {1,2,…,3k}\{1,2, \ldots, 3k\} така, що для будь-яких елементів a,b,ca, b, c із AA, якщо a+b=2ca+b=2c, то a=b=ca=b=c. Для кожного цілого числа n⩾1n \geqslant 1 через rk(n)r_{k}(n) позначимо найменше натуральне число таке, що 3k3k ділить n−rk(n)n-r_{k}(n). Крім того, скажемо, що nn мале, якщо n⩽kn \leqslant k, що nn середнє, якщо k+1⩽n⩽2kk+1 \leqslant n \leqslant 2k, і що nn велике, якщо 2k+1⩽n2k+1 \leqslant n. Нарешті, припустимо, що є два натуральні числа xx і dd такі, що rk(x),rk(x+d)r_{k}(x), r_{k}(x+d) і rk(x+2d)r_{k}(x+2d) усі три належать AA, і такі, що rk(x)≠rk(x+d)r_{k}(x) \neq r_{k}(x+d). Чи можна за наведеною вище інформацією обов'язково стверджувати, що a) принаймні одне з двох чисел rk(x)r_{k}(x) і rk(x+d)r_{k}(x+d) середнє або велике? b) принаймні одне з двох чисел rk(x)r_{k}(x) і rk(x+d)r_{k}(x+d) мале або велике? c) принаймні одне з двох чисел rk(x)r_{k}(x) і rk(x+d)r_{k}(x+d) мале або середнє?
8–10 класиАрифметична прогресія
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-011

Справедливі програми повторення

Для підготовки до останнього тесту POFM року Жан-Батист і Марі-Одиль зібрали 100 математичних задач і беруться за складання програми повторення. Протягом 100 днів, які відділяють їх від тесту POFM, кожен має опрацьовувати по одній задачі на день. Позначимо через xx кількість задач, які Жан-Батист опрацював строго раніше за Марі-Одиль, а через yy кількість задач, які Марі-Одиль опрацювала строго раніше за Жан-Батиста. Нарешті, кажемо, що програма повторення є справедливою, якщо x=yx=y. Доведіть, що існує принаймні 100!×(250+(50!)2)100!\times\left(2^{50}+(50!)^{2}\right) справедливих програм.
8–10 класиПерестановки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-012

Послідовність найменших кратних

Означимо послідовність a1,a2,a3…a_{1}, a_{2}, a_{3} \ldots у такий спосіб: a1=63a_{1}=63 і для кожного цілого n⩾2n \geqslant 2 число ana_{n} є найменшим кратним nn, яке більше або дорівнює an−1a_{n-1}. Доведіть, що члени нашої послідовності попарно різні.
8–10 класиМетод математичної індукції2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-013

Перпендикулярність із бісектрисами кутів у трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник такий, що 90∘>ABC^>BCA^90^{\circ} > \widehat{ABC} > \widehat{BCA}. Нехай DD — точка на відрізку [BC][BC] така, що 2DAC^=ABC^−BCA^2 \widehat{DAC} = \widehat{ABC} - \widehat{BCA}. Позначимо через EE точку перетину, відмінну від AA, прямої (AB)(AB) з описаним колом ACDACD, а через PP — точку перетину прямої (AB)(AB) з бісектрисою кута BDE^\widehat{BDE}. Аналогічно позначимо через FF точку перетину, відмінну від AA, прямої (AC)(AC) з описаним колом ABDABD, а через QQ — точку перетину прямої (AC)(AC) з бісектрисою кута CDF^\widehat{CDF}. Доведіть, що прямі (AB)(AB) і (PQ)(PQ) перпендикулярні.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-014

Показникове рівняння зі степенями простих чисел

Знайдіть усі трійки натуральних чисел (a,b,c)(a, b, c) такі, що 2021a+4=3b×5c2021^{a}+4=3^{b} \times 5^{c}
8–10 класиМетод факторизації (розкладання н…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.