Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

3 271 задача
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-091

Нерівність для циклічних відношень у послідовності

Нехай n≥3n \geq 3 — натуральне число. Нехай a1<a2<⋯<ana_{1}<a_{2}<\cdots<a_{n} — зростаюча послідовність додатних дійсних чисел, і нехай an+1=a1a_{n+1}=a_{1}. Доведіть, що ∑k=1nakak+1>∑k=1nak+1ak.\sum_{k=1}^{n} \frac{a_{k}}{a_{k+1}} > \sum_{k=1}^{n} \frac{a_{k+1}}{a_{k}}.
10–11 класиМетод математичної індукції3 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-128

Рівнобедрений трикутник з умовою на суму кутів

Нехай трикутник ABCABC такий, що AB=AC=22AB = AC = 22 і BC=11BC = 11. Точку DD вибрано всередині трикутника так, що AD=19AD = 19 і ∠ABD+∠ACD=90∘\angle ABD + \angle ACD = 90^\circ. Значення BD2+CD2BD^2 + CD^2 можна записати у вигляді ab\frac{a}{b}, де aa і bb — взаємно прості натуральні числа. Обчисліть 100a+b100a + b.
10–11 класиПоворот
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-005

Суми квазіперіодичних функцій

Нехай pp — просте число, а Fp\mathbb{F}_p — множина цілих чисел за модулем pp. Назвемо функцію f:Fp2→Fpf: \mathbb{F}_p^2 \rightarrow \mathbb{F}_p квазіперіодичною, якщо існують a,b∈Fpa, b \in \mathbb{F}_p, не обидва нульові, такі, що f(x+a,y+b)=f(x,y)f(x+a, y+b)=f(x, y) для всіх x,y∈Fpx, y \in \mathbb{F}_p. Знайдіть з доведенням кількість функцій Fp2→Fp\mathbb{F}_p^2 \rightarrow \mathbb{F}_p, які можна подати у вигляді суми деякої кількості квазіперіодичних функцій.
10–11 класиМногочлени багатьох змінних2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-078

Шляхи на круговому графі з хордами

Будинок складається з 20 кімнат, пронумерованих 1,2,…,201, 2, \ldots, 20 і розташованих по колу за годинниковою стрілкою. Щоб перейти з однієї кімнати до іншої, можна або пройти до наступної кімнати за годинниковою стрілкою (тобто з кімнати ii до кімнати (i+1) mod 20(i+1) \bmod 20), або пройти через центр до протилежної кімнати (тобто з кімнати ii до кімнати (i+10) mod 20(i+10) \bmod 20). Знайдіть кількість способів перейти з кімнати 10 до кімнати 20, не відвідуючи жодної кімнати двічі.
10–11 класиШляхи на графах
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-092

Центроїд і перетин паралельних прямих

Нехай ABCABC — трикутник з центроїдом GG, а EE і FF — точки на стороні BCBC такі, що BE=EF=FCBE = EF = FC. Точки XX і YY лежать на прямих ABAB і ACAC відповідно так, що XX, YY і GG не лежать на одній прямій. Якщо пряма через EE, паралельна до прямої XGXG, і пряма через FF, паралельна до прямої YGYG, перетинаються в точці P≠GP \neq G, доведіть, що пряма GPGP проходить через середину відрізка XYXY.
10–11 класиРозбиття і перекидання площ
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-014

Остача від ділення великого числа

Обчисліть остачу від ділення числа 10002000400080016003200640128025605121024204840968192 на 100020004000800160032.
10–11 класиСистеми числення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-137

Математичне сподівання після обмінів карток

П'ять карток із написами 1,3,5,7,91, 3, 5, 7, 9 викладено в ряд у такому порядку, утворюючи п'ятицифрове число 1357913579, якщо читати зліва направо. Обмін полягає у виборі двох різних карток і переставленні їх місцями. Після трьох обмінів картки утворюють нове п'ятицифрове число nn, якщо читати зліва направо. Обчисліть математичне сподівання числа nn.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-108

Квадратний тричлен із простими коефіцієнтами та цілим коренем

Аліса знову дуже нудьгує на уроці. За примхою вона обирає три прості числа p,q,rp, q, r незалежно та рівномірно випадково з множини простих чисел, що не перевищують 3030. Потім вона обчислює корені многочлена px2+qx+rp x^{2} + q x + r. Яка ймовірність того, що принаймні один з її коренів є цілим числом?
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-118

Сума відстаней до найближчого квадрата

Для натурального числа kk нехай ∥k∥\|k\| позначає абсолютну різницю між kk і найближчим повним квадратом. Наприклад, ∥13∥=3\|13\|=3, оскільки найближчий повний квадрат до 1313 — це 1616. Обчисліть найменше натуральне число nn таке, що ∥1∥+∥2∥+⋯+∥n∥n=100.\frac{\|1\|+\|2\|+\cdots+\|n\|}{n}=100.
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-015

Найбільше значення xy за умови x+1/y=y+2/x=3

Нехай xx і yy — додатні дійсні числа такі, що x+1y=y+2x=3.x + \frac{1}{y} = y + \frac{2}{x} = 3. Обчисліть найбільше можливе значення xyx y.
10–11 класиСиметричні системи рівнянь2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-093

НСК ділить суму мінус один

Трійка натуральних чисел (a,b,c)(a, b, c) називається смачною, якщо НСК(a,b,c)∣a+b+c−1\text{НСК}(a, b, c) \mid a+b+c-1 і a<b<ca<b<c. Знайдіть суму a+b+ca+b+c за всіма смачними трійками.
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-129

Прямокутник у колі з добутками хорд

Нехай ABCDABCD — прямокутник, вписаний у коло Γ\Gamma, а PP — точка на меншій дузі ABAB кола Γ\Gamma. Припустімо, що PA⋅PB=2PA \cdot PB = 2, PC⋅PD=18PC \cdot PD = 18 і PB⋅PC=9PB \cdot PC = 9. Площу прямокутника ABCDABCD можна записати у вигляді abc\frac{a \sqrt{b}}{c}, де aa і cc — взаємно прості натуральні числа, а bb — вільне від квадратів натуральне число. Обчисліть 100a+10b+c100a + 10b + c.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-079

Описане коло трикутника з вкладених многокутників

На площині рівносторонній трикутник ABCA B C, квадрат BCDEB C D E і правильний дванадцятикутник DEFGHIJKLMNOD E F G H I J K L M N O мають довжину сторони 11 і не накладаються один на одного. Знайдіть площу круга, описаного навколо трикутника △AFN\triangle A F N.
10–11 класиОписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-119

Умова подільності на значення функції

Нехай ff — функція з {1,2,…,22}\{1,2, \ldots, 22\} у натуральні числа така, що mn∣f(m)+f(n)m n \mid f(m)+f(n) для всіх m,n∈{1,2,…,22}m, n \in \{1,2, \ldots, 22\}. Якщо dd — кількість додатних дільників числа f(20)f(20), обчисліть найменше можливе значення dd.
10–11 класиНСД та НСК
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-109

Площі у грі на вершинах восьмикутника

Правильний восьмикутник вписано в коло радіуса 22. Аліса і Боб грають у гру, по черзі вибираючи собі вершини восьмикутника, причому першою ходить Аліса. Гравець перемагає, щойно обрані ним три точки утворять прямий кут. Якщо всі точки вже вибрано, а жоден із гравців не переміг, гра закінчується внічию. Вважаючи, що обидва гравці грають оптимально, знайдіть усі можливі площі опуклого многокутника, утвореного точками Аліси наприкінці гри.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-016

Розфарбування шестикутника без одноколірних трикутників

Нехай ABCDEFA B C D E F — правильний шестикутник, а точка OO — центр шестикутника. Скількома способами можна пофарбувати ці сім точок у червоний або синій колір так, щоб не існувало рівностороннього трикутника з вершинами одного кольору?
10–11 класиГеометричні розфарбування
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-094

Рівні хорди на сторонах трикутника

На площині задано трикутник XYZX Y Z та коло ω\omega радіуса 22, таке, що ω\omega перетинає відрізок XY‾\overline{X Y} у точках A,BA, B, відрізок YZ‾\overline{Y Z} у точках C,DC, D та відрізок ZX‾\overline{Z X} у точках E,FE, F. Припустімо, що XB>XAX B > X A, YD>YCY D > Y C і ZF>ZEZ F > Z E. Крім того, XA=1X A = 1, YC=2Y C = 2, ZE=3Z E = 3 і AB=CD=EFA B = C D = E F. Обчисліть довжину відрізка ABA B.
10–11 класиВписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-095

Корені многочлена четвертого степеня на колі

Нехай P(x)=x4+ax3+bx2+xP(x) = x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + x — многочлен із чотирма різними коренями, які лежать на колі в комплексній площині. Доведіть, що ab≠9a b \neq 9.
10–11 класиІнверсія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-138

Ймовірність у кругових перестановках

Числа 1,2,…,101,2, \ldots, 10 випадковим чином розташовано по колу. Нехай pp — ймовірність того, що для кожного натурального числа k<10k<10 існує ціле число k′k' >k>k таке, що між kk і k′k' у колі є не більше одного числа. Якщо pp можна записати у вигляді ab\frac{a}{b} для взаємно простих натуральних чисел aa і bb, обчисліть 100a+b100a+b.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-139

Шляхи на решітці з правилами повороту

Нехай S={(x,y)∈Z2∣0≤x≤11,0≤y≤9}S=\{(x, y) \in \mathbb{Z}^2 \mid 0 \leq x \leq 11, 0 \leq y \leq 9\}. Обчисліть кількість послідовностей (s0,s1,…,sn)(s_0, s_1, \ldots, s_n) з елементів множини SS (для довільного натурального числа n≥2n \geq 2), які задовольняють такі умови: - s0=(0,0)s_0 = (0,0) і s1=(1,0)s_1 = (1,0), - s0,s1,…,sns_0, s_1, \ldots, s_n різні, - для всіх цілих чисел 2≤i≤n2 \leq i \leq n точка sis_i одержана обертанням si−2s_{i-2} навколо si−1s_{i-1} на 90∘90^\circ або 180∘180^\circ за годинниковою стрілкою.
10–11 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-096

Упорядковані пари з НСД і квадратичною сумою

Обчисліть кількість впорядкованих пар натуральних чисел (a,b)(a, b), які задовольняють рівняння НСД(a,b)⋅a+b2=10000.\text{НСД}(a, b) \cdot a + b^2 = 10000.
10–11 класиНСД та НСК
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-080

Перпендикулярні хорди та відстані до середин

У колі ω\omega дві перпендикулярні хорди перетинаються в точці PP. Серединами цих двох хорд є відповідно точки M1M_{1} і M2M_{2}, причому PM1=15P M_{1}=15 і PM2=20P M_{2}=20. Пряма M1M2M_{1} M_{2} перетинає ω\omega у точках AA і BB, причому M1M_{1} лежить між AA та M2M_{2}. Обчисліть найбільше можливе значення BM2−AM1B M_{2}-A M_{1}.
10–11 класиМетричні співвідношення в колі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-130

Чотирикутник з центрів описаних кіл у квадраті

Точка PP міститься всередині квадрата ABCDA B C D зі стороною 1010. Нехай O1,O2,O3,O4O_{1}, O_{2}, O_{3}, O_{4} — центри описаних кіл трикутників PABP A B, PBCP B C, PCDP C D і PDAP D A відповідно. Відомо, що PA+PB+PC+PD=232P A + P B + P C + P D = 23 \sqrt{2}, а площа чотирикутника O1O2O3O4O_{1} O_{2} O_{3} O_{4} дорівнює 5050; друге за величиною серед довжин O1O2,O2O3,O3O4,O4O1O_{1} O_{2}, O_{2} O_{3}, O_{3} O_{4}, O_{4} O_{1} можна записати як ab\sqrt{\frac{a}{b}}, де aa і bb — взаємно прості натуральні числа. Обчисліть 100a+b100a + b.
10–11 класиТочка перетину серединних перпенд…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-097

Функціональне рівняння з одиничним добутком

Знайдіть, з доведенням, усі функції f:R∖{0}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R} такі, що f(x)2−f(y)f(z)=x(x+y+z)(f(x)+f(y)+f(z))f(x)^2 - f(y) f(z) = x(x+y+z)(f(x) + f(y) + f(z)) для всіх дійсних x,y,zx, y, z таких, що xyz=1x y z = 1.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-017

Виймання кульок з умовою більшості

У банці міститься 8 червоних кульок і 2 сині кульки. Щохвилини з банки навмання виймають одну кульку. Ймовірність того, що існує момент протягом цього процесу, коли в банці синіх кульок більше, ніж червоних, можна записати у вигляді ab\frac{a}{b} для взаємно простих цілих чисел aa і bb. Обчисліть 100a+b100 a+b.
10–11 класиРозбиття на випадки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.