Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

3 271 задача
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-115

Рівняння для ітерованої послідовності з НСК і НСД

Для натуральних чисел aa і bb нехай M(a,b)=НСК(a,b)НСД(a,b)M(a, b)=\frac{\text{НСК}(a, b)}{\text{НСД}(a, b)}, а для кожного натурального числа n≥2n \geq 2 означимо xn=M(1,M(2,M(3,…,M(n−2,M(n−1,n))…)))x_{n}=M(1, M(2, M(3, \ldots, M(n-2, M(n-1, n)) \ldots))) Обчисліть кількість натуральних чисел nn таких, що 2≤n≤20212 \leq n \leq 2021 і 5xn2+5xn+12=26xnxn+15 x_{n}^{2}+5 x_{n+1}^{2}=26 x_{n} x_{n+1}.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-066

Мінімальна кількість цифр добутку значень многочлена

Нехай nn — ціле число і m=(n−1001)(n−2001)(n−2002)(n−3001)(n−3002)(n−3003).m=(n-1001)(n-2001)(n-2002)(n-3001)(n-3002)(n-3003) . Відомо, що mm додатне. Знайдіть мінімальну кількість цифр числа mm.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-029

Подільність тричлена і сума за дільниками

Нехай NN — найменше натуральне число, для якого x2+x+1ділить166−∑d∣N,d>0xdx^{2}+x+1 \quad \text{ділить} \quad 166-\sum_{d \mid N, d>0} x^{d} Знайдіть остачу від ділення NN на 10001000.
10–11 класиМногочлени ділення кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-136

Шляхи на решітці, що обмежують область під прямою

Шлях угору-вправо між двома точками цілочисельної решітки PP і QQ — це шлях з PP до QQ, який складається з кроків довжиною в 1 одиницю: або вгору, або вправо. Скільки існує шляхів угору-вправо з (0,0)(0,0) до (7,7)(7,7), які при зображенні на площині разом із прямою y=x−2.021y = x - 2.021 обмежують рівно одну обмежену область під цією прямою?
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-030

Хорда вписаного кола і паралельність до сторони

Нехай різносторонній трикутник ABCA B C має центр описаного кола OO і інцентр II. Його вписане коло ω\omega дотикається до сторін BC,CAB C, C A і ABA B у точках D,ED, E і FF відповідно. Нехай PP — основа висоти з DD на пряму EFE F, а пряма DPD P перетинає ω\omega вдруге в точці Q≠DQ \neq D. Пряма OIO I перетинає висоту з AA на сторону BCB C у точці TT. За умови, що OI∥BCO I \parallel B C, доведіть, що PQ=PTP Q = P T.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-031

Шестикутник з відрізків зі спільною серединою

Нехай ADAD, BEBE та CFCF — відрізки зі спільною серединою, причому AB<AEAB < AE і BC<BFBC < BF. Припустимо, що кожна пара відрізків утворює кут 60∘60^{\circ}, а також що AD=7AD = 7, BE=10BE = 10 і CF=18CF = 18. Нехай KK — сума площ шести трикутників △ABC\triangle ABC, △BCD\triangle BCD, △CDE\triangle CDE, △DEF\triangle DEF, △EFA\triangle EFA та △FAB\triangle FAB. Обчисліть K3K \sqrt{3}.
10–11 класиПлоща трикутника
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-100

Вписаний п'ятикутник з рівними хордами

ABCDEABCDE — опуклий вписаний п'ятикутник, причому AC=BD=CEAC = BD = CE. Діагоналі ACAC і BDBD перетинаються в точці XX, а діагоналі BDBD і CECE перетинаються в точці YY. Якщо AX=6AX = 6, XY=4XY = 4 і YE=7YE = 7, то площа п'ятикутника ABCDEABCDE може бути записана у вигляді abc\frac{a \sqrt{b}}{c}, де a,b,ca, b, c — цілі числа, cc додатне, bb вільне від квадратів, а НСД(a,c)=1\text{НСД}(a, c) = 1. Знайдіть 100a+10b+c100a + 10b + c.
10–11 класиВідношення площ трикутників
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-116

Монічний кубічний многочлен з непарною симетрією

Нехай ff — монічний многочлен третього степеня, такий, що f(x)+f(−x)=0f(x)+f(-x)=0 для всіх дійсних чисел xx. Для всіх дійсних чисел yy визначимо g(y)g(y) як кількість різних дійсних розв'язків xx рівняння f(f(x))=yf(f(x))=y. Припустімо, що множина можливих значень g(y)g(y) для всіх дійсних чисел yy — це точно {1,5,9}\{1,5,9\}. Обчисліть суму всіх можливих значень f(10)f(10).
10–11 класиМногочлени третього степеня
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-126

Трапеція з перетином діагоналі й описаного кола

Нехай ABCDABCD — трапеція з AB∥CDAB \parallel CD і AD=BDAD = BD. Нехай MM — середина сторони ABAB, а P≠CP \neq C — друга точка перетину описаного кола △BCD\triangle BCD з діагоналлю ACAC. Припустимо, що BC=27BC = 27, CD=25CD = 25 і AP=10AP = 10. Якщо MP=abMP = \frac{a}{b} для взаємно простих натуральних чисел aa і bb, обчисліть 100a+b100a + b.
10–11 класиКоло і подібність2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-032

Проекції граней куба із заданим відношенням площ

Три грані X,Y,Z\mathcal{X}, \mathcal{Y}, \mathcal{Z} одиничного куба мають спільну вершину. Нехай проекції X,Y,Z\mathcal{X}, \mathcal{Y}, \mathcal{Z} на фіксовану площину P\mathcal{P} мають площі x,y,zx, y, z відповідно. Якщо x:y:z=6:10:15x: y: z=6: 10: 15, то x+y+zx+y+z можна записати у вигляді mn\frac{m}{n}, де m,nm, n — натуральні числа і НСД(m,n)=1\text{НСД}(m, n)=1. Знайдіть 100m+n100 m+n.
10–11 класиВекторний метод
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-067

Два суміжні квадрати і перетин прямої з основою

Квадрати ABCDABCD і DEFGDEFG мають довжини сторін 11 і 13\frac{1}{3} відповідно, де EE лежить на CD‾\overline{CD}, а точки AA, DD, GG лежать на одній прямій у такому порядку. Пряма CFCF перетинає пряму AGAG у точці XX. Довжину AXAX можна записати у вигляді mn\frac{m}{n}, де m,nm, n — натуральні числа й НСД(m,n)=1\text{НСД}(m, n)=1. Знайдіть 100m+n100m+n.
10–11 класиГеометрична прогресія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-137

Несиметрична монета і три орли поспіль

Джуд раз за разом підкидає монету. Якщо він уже підкинув nn орлів, то монета падає орлом з імовірністю 1n+2\frac{1}{n+2} і решкою з імовірністю n+1n+2\frac{n+1}{n+2}. Якщо Джуд підкидає монету необмежено довго, нехай pp — імовірність того, що в деякий момент випадуть 3 орли поспіль. Обчисліть ⌊180p⌋\lfloor 180 p\rfloor.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-117

Множина з густиною та мультиплікативною умовою

Нехай SS — множина натуральних чисел, що задовольняє такі дві умови: - Для кожного натурального числа nn принаймні одне з чисел n,2n,…,100nn, 2n, \ldots, 100n належить SS. - Якщо a1,a2,b1,b2a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2} — натуральні числа такі, що НСД(a1a2,b1b2)=1\text{НСД}\left(a_{1} a_{2}, b_{1} b_{2}\right)=1 і a1b1,a2b2∈Sa_{1} b_{1}, a_{2} b_{2} \in S, то a2b1,a1b2∈Sa_{2} b_{1}, a_{1} b_{2} \in S. Припустимо, що SS має натуральну густину rr. Обчисліть найменше можливе значення ⌊105r⌋\left\lfloor 10^{5} r\right\rfloor. Зауваження: SS має натуральну густину rr, якщо 1n∣S∩{1,…,n}∣\frac{1}{n}|S \cap\{1, \ldots, n\}| прямує до rr, коли nn прямує до ∞\infty.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-107

Рівносторонній трикутник у вкладених квадратах

Нехай nn — відповідь до цієї задачі. Нехай квадрат ABCDABCD має довжину сторони 33. Тоді проведено конгруентні квадрати EHGFEHGF і IHJKIHJK, що не перетинаються, зі стороною n6\frac{n}{6} так, що AA, CC і HH колінеарні, EE лежить на стороні BCBC, а II лежить на стороні CDCD. Відомо, що AJGAJG — рівносторонній трикутник. Тоді площа трикутника AJGAJG дорівнює a+bca + b \sqrt{c}, де aa, bb, cc — натуральні числа, причому cc не ділиться на квадрат жодного простого числа. Знайдіть a+b+ca + b + c.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-101

Максимум добутку за симетричних обмежень

Дійсні числа x,y,zx, y, z задовольняють x+xy+xyz=1,y+yz+xyz=2,z+xz+xyz=4x + x y + x y z = 1, \quad y + y z + x y z = 2, \quad z + x z + x y z = 4 Найбільше можливе значення xyzx y z дорівнює a+bcd\frac{a + b \sqrt{c}}{d}, де a,b,c,da, b, c, d — цілі числа, dd додатне, cc вільне від квадратів, а НСД(a,b,d)=1\text{НСД}(a, b, d) = 1. Знайдіть 1000a+100b+10c+d1000 a + 100 b + 10 c + d.
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-127

Радіус описаного кола за хордою та відношенням

Гострокутний трикутник ABCABC вписано в коло Γ\Gamma. Нехай MM — середина сторони BCBC. Точки PP і QQ лежать на колі Γ\Gamma так, що ∠APM=90∘\angle APM = 90^{\circ} і Q≠AQ \neq A лежить на прямій AMAM. Відрізки PQPQ і BCBC перетинаються в точці SS. Припустімо, що BS=1BS = 1, CS=3CS = 3, PQ=8737PQ = 8 \sqrt{\frac{7}{37}}, а радіус кола Γ\Gamma дорівнює rr. Якщо суму всіх можливих значень r2r^2 можна записати як ab\frac{a}{b} для взаємно простих натуральних чисел aa і bb, обчисліть 100a+b100a + b.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-033

Максимізація добутку при фіксованій сумі

Нехай a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} — послідовність різних натуральних чисел така, що a1+a2+⋯+an=2021a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=2021 і добуток a1a2⋯ana_{1} a_{2} \cdots a_{n} є найбільшим можливим. Якщо M=a1a2⋯anM=a_{1} a_{2} \cdots a_{n}, обчисліть найбільше натуральне число kk таке, що 2k∣M2^{k} \mid M.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-034

Розфарбування дошки зі зв'язністю кольорів

Нехай n>1n>1 — натуральне число. Кожну клітинку дошки n×nn \times n пофарбовано в чорний або білий колір так, що виконуються такі умови: - будь-які дві чорні клітинки можна сполучити послідовністю чорних клітинок, у якій будь-які дві сусідні клітинки послідовності мають спільну сторону; - будь-які дві білі клітинки можна сполучити послідовністю білих клітинок, у якій будь-які дві сусідні клітинки послідовності мають спільну сторону; - будь-який підквадрат 2×22 \times 2 містить принаймні одну клітинку кожного кольору. Знайдіть з доведенням максимально можливу різницю між кількістю чорних і білих клітинок на цій дошці (залежно від nn).
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-068

Кількість дільників степеня натурального числа

Нехай nn — натуральне число. Відомо, що nnn^{n} має 861 додатний дільник, знайдіть nn.
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-035

Імовірність сумісної системи конгруенцій

Для кожного натурального числа 1≤m≤101 \leq m \leq 10 Кріт вибирає ціле число 0≤am<m0 \leq a_{m} < m рівномірно навмання. Нехай pp — ймовірність того, що існує ціле число nn, для якого n≡am(modm)n \equiv a_{m} \pmod{m} для всіх mm. Якщо pp можна записати у вигляді ab\frac{a}{b} для взаємно простих натуральних чисел aa і bb, обчисліть 100a+b100a + b.
10–11 класиКитайська теорема про остачі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-036

Маркування вершин куба з обмеженнями на відстань

Обчисліть кількість маркувань f:{0,1}3→{0,1,…,7}f:\{0,1\}^{3} \rightarrow \{0,1, \ldots, 7\} вершин одиничного куба таких, що ∣f(vi)−f(vj)∣≥d(vi,vj)2\left|f\left(v_{i}\right)-f\left(v_{j}\right)\right| \geq d\left(v_{i}, v_{j}\right)^{2} для всіх вершин vi,vjv_{i}, v_{j} одиничного куба, де d(vi,vj)d\left(v_{i}, v_{j}\right) позначає евклідову відстань між viv_{i} і vjv_{j}.
10–11 класиПарність і непарність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-069

Сума очок трьох карт, кратна 10

Аліса витягає три карти зі стандартної колоди з 52 карт із поверненням. Туз і карти від 2 до 10 коштують відповідно від 1 до 10 очок, а фігурні карти Король, Дама та Валет коштують по 10 очок кожна. Ймовірність того, що сума кількості очок витягнутих карт кратна 10, можна записати у вигляді mn\frac{m}{n}, де m,nm, n — натуральні числа й НСД(m,n)=1\text{НСД}(m, n)=1. Знайдіть 100m+n100 m+n.
10–11 класиПравила суму та добутку
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-037

Ймовірність вибуття другої команди в останньому раунді

Турнір за участю 20212021 команд з рейтингом триває 20202020 раундів. У кожному раунді серед усіх команд, що залишилися, рівноймовірно випадковим чином обирають дві команди, які грають одна проти одної. Команда з кращим рейтингом завжди перемагає, а команда з гіршим рейтингом вибуває. Нехай pp — ймовірність того, що друга за рейтингом команда вибуде в останньому раунді. Обчисліть ⌊2021p⌋\lfloor 2021 p \rfloor.
10–11 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-070

Дев'ять чисел 1, 12, … з взаємно простими сусідами

Знайдіть кількість способів, якими дев'ять чисел 1,12,123,1234,…,1234567891, 12, 123, 1234, \ldots, 123456789 можна розташувати в ряд так, щоб сусідні числа були взаємно простими.
10–11 класиОзнаки подільності на 2, 3, …
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-071

Дисбаланс кольорів квадрата на шахівниці

На шахівниці k×kk \times k множину SS з 25 клітинок, які утворюють квадрат 5×55 \times 5, вибирають рівноймовірно випадковим чином. Ймовірність того, що в SS чорних клітинок більше, ніж білих, становить 48%48\%. Знайдіть kk.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.