Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

3 271 задача
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-015

Корені симетричного многочлена на одиничному колі

Доведіть, що для всіх натуральних чисел nn всі комплексні корені rr многочлена P(x)=(2n)x2n+(2n−1)x2n−1+⋯+(n+1)xn+1+nxn+(n+1)xn−1+⋯+(2n−1)x+2nP(x) = (2 n) x^{2 n} + (2 n-1) x^{2 n-1} + \cdots + (n+1) x^{n+1} + n x^{n} + (n+1) x^{n-1} + \cdots + (2 n-1) x + 2 n лежать на одиничному колі (тобто ∣r∣=1|r|=1).
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-121

Очікувана кількість шматків кулі від розрізів ґраткою

На десерт Мелінда їсть сферичну кульку морозива діаметром 22 дюйми. Однак вона любить їсти морозиво шматочками, схожими на кубики. У неї є спеціальна машина, яка для кулі, розміщеної в просторі, розрізає її площинами x=nx=n, y=ny=n та z=nz=n для кожного цілого nn (не обов'язково додатного). Мелінда розміщує центр кульки морозива рівномірно випадково всередині куба 0≤x,y,z≤10 \leq x, y, z \leq 1, а потім розрізає її на шматки за допомогою своєї машини. Яке очікуване число шматків, на які буде розрізано морозиво?
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-103

Очікувана кількість шляхів на решітці, що оминають точку

Шляхом вгору-вправо між двома точками цілочисельної решітки PP і QQ називається шлях з PP до QQ, який складається з кроків довжини 1 вгору або вправо. Точку цілочисельної решітки (x,y)(x, y) з 0≤x,y≤50 \leq x, y \leq 5 вибрано рівномірно навмання. Обчисліть математичне сподівання кількості шляхів вгору-вправо з (0,0)(0,0) до (5,5)(5,5), які не проходять через (x,y)(x, y).
10–11 класиПідрахунок двома способами
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-130

Нескінченна сума відношень членів цілочисельної послідовності

Послідовність цілих чисел {ai}i=0∞\{a_{i}\}_{i=0}^{\infty} задовольняє a0=3a_{0}=3, a1=4a_{1}=4 та an+2=an+1an+⌈an+12−1an2−1⌉a_{n+2}=a_{n+1} a_{n}+\left\lceil\sqrt{a_{n+1}^{2}-1} \sqrt{a_{n}^{2}-1}\right\rceil при n≥0n \geq 0. Обчисліть суму ∑n=0∞(an+3an+2−an+2an+an+1an+3−anan+1).\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{a_{n+3}}{a_{n+2}}-\frac{a_{n+2}}{a_{n}}+\frac{a_{n+1}}{a_{n+3}}-\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right) .
10–11 класиСтрибки Вієта
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-043

Найменше число з остачами 2,3,4 при діленні на 3,5,7

Яке найменше натуральне число має остачі 2,3,42, 3, 4 при діленні на 3,5,73, 5, 7 відповідно?
10–11 класиКитайська теорема про остачі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-113

Розбиття многокутника фіксованими діагоналями

Опуклий 2019-кутник A1A2…A2019A_{1} A_{2} \ldots A_{2019} розрізано на менші частини вздовж його 2019 діагоналей виду AiAi+3A_{i} A_{i+3} для 1≤i≤20191 \leq i \leq 2019, де A2020=A1A_{2020}=A_{1}, A2021=A2A_{2021}=A_{2} і A2022=A3A_{2022}=A_{3}. Яка найменша можлива кількість утворених частин?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-150

Ґраткові блукання у чотиривимірному просторі з обмеженням суми

Фред — чотиривимірна пухнаста вівця — гуляє у чотиривимірному просторі. Він починає з початку координат. Кожної хвилини він переходить зі свого поточного положення (a1,a2,a3,a4)(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}) у деяке положення (x1,x2,x3,x4)(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) з цілими координатами, що задовольняють (x1−a1)2+(x2−a2)2+(x3−a3)2+(x4−a4)2=4(x_{1}-a_{1})^{2}+(x_{2}-a_{2})^{2}+(x_{3}-a_{3})^{2}+(x_{4}-a_{4})^{2}=4 і ∣(x1+x2+x3+x4)−(a1+a2+a3+a4)∣=2.\left| (x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})-(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}) \right|=2. Скількома способами Фред може дістатися до (10,10,10,10)(10,10,10,10) рівно за 40 хвилин, якщо йому дозволено проходити через цю точку під час своєї прогулянки?
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-042

Відношення добутків виразів із радикалами

Нехай A=(1+22+33+66)(2+62+3+36)(3+2+63+26)(6+32+23+6)B=(1+32+23+66)(2+2+63+36)(3+62+3+26)(6+22+33+6)\begin{aligned} & A=(1+2 \sqrt{2}+3 \sqrt{3}+6 \sqrt{6})(2+6 \sqrt{2}+\sqrt{3}+3 \sqrt{6})(3+\sqrt{2}+6 \sqrt{3}+2 \sqrt{6})(6+3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}+\sqrt{6}) \\ & B=(1+3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}+6 \sqrt{6})(2+\sqrt{2}+6 \sqrt{3}+3 \sqrt{6})(3+6 \sqrt{2}+\sqrt{3}+2 \sqrt{6})(6+2 \sqrt{2}+3 \sqrt{3}+\sqrt{6}) \end{aligned} Обчисліть значення A/BA / B.
10–11 класиРозкладання на множники і розкрит…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-140

Площа шестикутника з вкладених квадратів

У трикутнику ABCABC, AB=13AB = 13, BC=14BC = 14, CA=15CA = 15. Квадрати ABB1A2ABB_1A_2, BCC1B2BCC_1B_2, CAA1C2CAA_1C_2 побудовано назовні трикутника. Квадрати A1A2A3A4A_1A_2A_3A_4, B1B2B3B4B_1B_2B_3B_4, C1C2C3C4C_1C_2C_3C_4 побудовано назовні шестикутника A1A2B1B2C1C2A_1A_2B_1B_2C_1C_2. Квадрати A3B4B5A6A_3B_4B_5A_6, B3C4C5B6B_3C_4C_5B_6, C3A4A5C6C_3A_4A_5C_6 побудовано назовні шестикутника A4A3B4B3C4C3A_4A_3B_4B_3C_4C_3. Знайдіть площу шестикутника A5A6B5B6C5C6A_5A_6B_5B_6C_5C_6.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-044

Рекурентне співвідношення з експоненційним зростанням

У рік 00 в Кембриджі є одна білка та один кролик. Обидві тварини швидко розмножуються. Зокрема, якщо в рік kk є mm білок і nn кролів, то в рік k+1k+1 буде 2m+20192 m + 2019 білок і 4n−24 n - 2 кролів. У якому році вперше кролів стане строго більше, ніж білок?
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-046

Перестановки сторін рівнокутного шестикутника та різниця площ

Рівнокутний шестикутник має довжини сторін 1,2,3,4,5,61,2,3,4,5,6 у деякому порядку. Знайдіть невід'ємну різницю між найбільшою та найменшою можливою площею цього шестикутника.
10–11 класиРозрізання, склеювання та рівноск…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-045

Мінімум 20x+19 і 19x+20 та значення ab + cd

Нехай aa, bb, cc, dd — дійсні числа такі, що min⁡(20x+19,19x+20)=(ax+b)−∣cx+d∣\min (20x+19, 19x+20) = (a x + b) - |c x + d| для всіх дійсних чисел xx. Знайдіть ab+cda b + c d.
10–11 класиЧислові нерівності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-049

Кубічний многочлен, що дорівнює квадрату

Знайдіть друге найменше натуральне число nn таке, що n3+n2+n+1n^{3}+n^{2}+n+1 є повним квадратом.
10–11 класиРівняння Пелля
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-047

Шляхи без зіткнень у вершинах квадрата

Четверо гравців стоять у різних вершинах квадрата. Кожен з них незалежно вибирає вершину квадрата (можливо, ту, у якій він стоїть). Потім вони одночасно починають бігти по прямій до обраної вершини зі швидкістю 1010 миль/год, зупиняючись, коли досягнуть вершини. Якщо в будь-який момент двоє гравців, рухаються вони чи ні, опиняються в одному й тому самому місці (у вершині чи у внутрішній точці квадрата), вони зіштовхуються і падають. Скількома різними способами гравці можуть вибрати вершини, куди бігти, щоб ніхто з них не впав?
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-048

Розфарбування решітки без цілих відстаней

Боб фарбує точки цілочисельної решітки на координатній площині. Знайдіть кількість способів, якими Боб може пофарбувати п'ять точок із {(x,y)∣1≤x,y≤5}\{(x, y) \mid 1 \leq x, y \leq 5\} у синій колір так, щоб відстань між будь-якими двома синіми точками не була цілим числом.
10–11 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-052

Рівняння з цифрами двоцифрового числа

Нехай AA, BB — ненульові десяткові цифри, такі, що A⋅AB‾+B=BB‾A \cdot \overline{A B} + B = \overline{B B}. Знайдіть AB‾\overline{A B}.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-050

Ймовірність фальшивої монети з автоматом відбору

У Рейму є 20192019 монет C0,C1,…,C2018C_{0}, C_{1}, \ldots, C_{2018}, одна з яких фальшива, хоча на вигляд вони однакові (тож кожна з них з однаковою ймовірністю може бути фальшивою). У неї є автомат, який бере будь-які дві монети й вибирає одну, що не є фальшивою. Якщо обидві монети не фальшиві, автомат вибирає одну рівноймовірно навмання. Для кожного i=1,2,…,1009i=1,2, \ldots, 1009 вона один раз кладе C0C_{0} і CiC_{i} в автомат, і автомат вибирає CiC_{i}. Яка ймовірність того, що C0C_{0} фальшива?
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-051

Трикутник із відношенням площ для вписаного кола

У △ABC\triangle ABC вписане коло з центром II дотикається до сторін ABAB і BCBC у точках XX і YY відповідно. Крім того, площа чотирикутника BXIYBXIY становить 25\frac{2}{5} площі трикутника ABCABC. Нехай pp — найменший можливий периметр такого △ABC\triangle ABC, що задовольняє ці умови та має цілі довжини сторін. Знайдіть найменшу можливу площу такого трикутника з периметром pp.
10–11 класиВписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-053

Цілі значення суми з квадратними коренями

Обчисліть суму всіх натуральних чисел nn, для яких 9n+4n+2−3n+169 \sqrt{n} + 4 \sqrt{n+2} - 3 \sqrt{n+16} є цілим числом.
10–11 класиРаціональні та ірраціональні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-054

Найменша сума чисельників дробів зі знаменниками 77, 91, 143

Нехай aa, bb, cc — натуральні числа такі, що a77+b91+c143=1\frac{a}{77} + \frac{b}{91} + \frac{c}{143} = 1 Яке найменше можливе значення a+b+ca + b + c?
10–11 класиЛінійні діофантові рівняння
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-055

Транзитивні відношення дружби й ворожнечі

На вечірці п'ятеро людей. Кожні двоє з них — друзі, вороги або френемі (що рівносильно тому, що вони одночасно і друзі, і вороги). Відомо, що для будь-яких трьох людей AA, BB, CC: - Якщо AA і BB — друзі, а BB і CC — друзі, то AA і CC — друзі; - Якщо AA і BB — вороги, а BB і CC — вороги, то AA і CC — друзі; - Якщо AA і BB — друзі, а BB і CC — вороги, то AA і CC — вороги. Скільки існує можливих конфігурацій стосунків між цими п'ятьма людьми?
10–11 класиДвочасткові графи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-056

Довжина DE при CD = 4 у рівносторонньому трикутнику

Рівносторонній △ABC\triangle ABC має сторону завдовжки 66. Нехай ω\omega — коло через AA і BB таке, що прямі CACA і CBCB обидві дотикаються до кола ω\omega. Точка DD на колі ω\omega задовольняє CD=4CD = 4. Нехай EE — перетин прямої CDCD з відрізком ABAB. Чому дорівнює довжина відрізка DEDE?
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-057

Функціональне рівняння із симетричною сумою

Нехай R\mathbb{R} — множина дійсних чисел. Нехай f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} — функція така, що для всіх дійсних чисел xx і yy виконується f(x2)+f(y2)=f(x+y)2−2xyf\left(x^{2}\right)+f\left(y^{2}\right)=f(x+y)^{2}-2 x y Нехай S=∑n=−20192019f(n)S=\sum_{n=-2019}^{2019} f(n). Визначте кількість можливих значень SS.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-058

Шестикутник із рівносторонніх трикутників у трикутнику 3-4-5

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=3AB = 3, BC=4BC = 4 і CA=5CA = 5. Нехай A1,A2A_1, A_2 — точки на стороні BCBC, B1,B2B_1, B_2 — точки на стороні CACA, а C1,C2C_1, C_2 — точки на стороні ABAB. Припустимо, що існує точка PP така, що PA1A2PA_1A_2, PB1B2PB_1B_2 і PC1C2PC_1C_2 — рівні рівносторонні трикутники. Знайдіть площу опуклого шестикутника A1A2B1B2C1C2A_1A_2B_1B_2C_1C_2.
10–11 класиВписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-059

Випадкове блукання з геометричними стрибками

Жабеня Келвін живе у ставку з нескінченною кількістю листків латаття, пронумерованих 0,1,2,30, 1, 2, 3, і так далі. Келвін починає на лататті 00 і стрибає з латаття на латаття в такий спосіб: перебуваючи на лататті ii, він стрибає на латаття (i+k)(i+k) з імовірністю 12k\frac{1}{2^{k}} для k>0k > 0. Яка ймовірність того, що Келвін у якийсь момент своєї подорожі потрапить на латаття 20192019?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.