Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

3 271 задача
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-053

Математичне сподівання ходів зі стиранням дільників

Фран пише числа 1,2,3,…,201,2,3, \ldots, 20 на дошці. Потім вона стирає всі числа серією ходів; у кожному ході вона рівномірно випадково вибирає число nn серед усіх чисел, що ще залишилися на дошці, а потім стирає всі дільники числа nn, що ще залишилися на дошці (зокрема й саме nn). Чому дорівнює математичне сподівання кількості ходів, які Фран має зробити, щоб стерти всі числа?
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-054

Квадрат з відрізками, що перетинаються

Точки E,F,G,HE, F, G, H вибрано на відрізках AB,BC,CD,DAAB, BC, CD, DA квадрата ABCDABCD відповідно. Відомо, що відрізок EGEG має довжину 77, відрізок FHFH має довжину 88, а відрізки EGEG і FHFH перетинаються всередині квадрата ABCDABCD під гострим кутом 30∘30^{\circ}. Обчисліть площу квадрата ABCDABCD.
10–11 класиПоворот
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-055

Трикутник з рівними відрізками на променях

Нехай ABCABC — трикутник, у якому ∠A=18∘\angle A = 18^{\circ}, ∠B=36∘\angle B = 36^{\circ}. Нехай MM — середина сторони ABAB, DD — точка на промені CMCM така, що AB=ADAB = AD; EE — точка на промені BCBC така, що AB=BEAB = BE, а FF — точка на промені ACAC така, що AB=AFAB = AF. Знайдіть ∠FDE\angle FDE.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-056

Жаби у ставку і на березі та очікуваний час

У ставку перебуває 20182018 жаб, а на березі — 11 жаба. На кожному наступному кроці часу одна випадково вибрана жаба змінює своє місце: якщо вона була в ставку, то стрибає на берег, і навпаки. Знайдіть математичне сподівання кількості кроків часу до першого моменту, коли всі жаби опиняться в ставку.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-057

Очікувана кількість секторів після випадкового вибору шматочків піци

На обід Еббі, Барт, Карл, Дана й Еван ділять піцу, розрізану радіально на 1616 шматочків. Кожен із них навмання рівноймовірно бере собі по одному шматочку, тож залишається 1111 шматочків. Решта шматочків піци утворюють «сектори», розділені взятими шматочками, наприклад, якщо взято п’ять послідовних шматочків, то є один сектор, а якщо жодні два взяті шматочки не є сусідніми, то буде п’ять секторів. Чому дорівнює математичне сподівання кількості утворених секторів?
10–11 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-058

Оптимальна перша здогадка при мінімальній найгіршій виплаті

Арнольд і Кевін грають у гру, в якій Кевін загадує ціле число 1≤m≤10011 \leq m \leq 1001, а Арнольд намагається його відгадати. Кожного ходу Арнольд спочатку платить Кевіну 1 долар, щоб назвати число kk на свій вибір. Якщо m≥km \geq k, гра закінчується, і він доплачує Кевіну ще m−km-k доларів (можливо, нуль). Інакше Арнольд доплачує Кевіну ще 10 доларів і продовжує відгадувати. Яке число має назвати Арнольд першим, щоб мінімізувати свою виплату в найгіршому випадку?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-059

Найменша площа вписаного рівнобедреного прямокутного трикутника

Рівнобедрений прямокутний трикутник ABCABC має площу 11. Точки DD, EE, FF вибрано на сторонах BCBC, CACA, ABAB відповідно так, що DEFDEF — також рівнобедрений прямокутний трикутник. Знайдіть найменшу можливу площу трикутника DEFDEF.
10–11 класиПоворот
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-060

Квадратні тричлени з цілими коренями

Нехай aa, bb, cc — натуральні числа. Усі корені кожного з квадратних тричленів ax2+bx+c,ax2+bx−c,ax2−bx+c,ax2−bx−ca x^{2}+b x+c,\quad a x^{2}+b x-c,\quad a x^{2}-b x+c,\quad a x^{2}-b x-c є цілими числами. Серед усіх трійок (a,b,c)(a, b, c) знайдіть трійку з третім найменшим значенням a+b+ca+b+c.
10–11 класиКвадратні рівняння та системи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-061

Кубічна конгруенція на скінченній множині

Знайдіть кількість невпорядкованих пар {a,b}\{a, b\}, де a,b∈{0,1,2,…,108}a, b \in\{0,1,2, \ldots, 108\}, таких, що 109109 ділить a3+b3−aba^{3}+b^{3}-a b.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-062

Асимптотичне відношення кількостей способів розміну

Нехай nn — натуральне число. Нехай PnP_{n} — кількість способів, якими Претті Пенні може скласти рівно nn доларів із монет номіналом 25, 10, 5 і 1 цент. Також нехай BnB_{n} — кількість способів, якими Б'ютіфул Білл може скласти рівно nn доларів з однодоларових купюр і монет номіналом 25, 10 і 5 центів. Коли nn прямує до нескінченності, послідовність дробів PnBn\frac{P_{n}}{B_{n}} прямує до дійсного числа cc. Знайдіть cc. Примітка: вважайте, що і Претті Пенні, і Б'ютіфул Білл мають необмежену кількість монет кожного типу. Отже, монети й купюри мають номінали 1,5,10,25,1001,5,10,25,100 центів.
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-063

Центри описаних кіл серединних трикутників

У трикутнику ABCABC, AB=6AB = 6, BC=7BC = 7 і CA=8CA = 8. Нехай DD, EE, FF — середини сторін BCBC, ACAC, ABAB відповідно. Також нехай OAO_{A}, OBO_{B}, OCO_{C} — центри описаних кіл трикутників AFDAFD, BDEBDE і CEFCEF відповідно. Знайдіть площу трикутника OAOBOCO_{A} O_{B} O_{C}.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-064

Підкидання монети з умовами зупинки

Девід і Еван кожен неодноразово підкидають чесну монету. Девід зупиняється, щойно в нього випаде решка, а Еван зупиняється, щойно в нього випадуть 2 решки поспіль. Знайдіть ймовірність того, що загальна кількість орлів у Девіда більша, ніж в Евана.
10–11 класиГеометрична прогресія2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-065

Мінімум квадратичного виразу

Для всіх дійсних чисел xx і yy знайдіть найменше можливе значення (xy)2+(x+7)2+(2y+7)2(x y)^{2}+(x+7)^{2}+(2 y+7)^{2}
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-066

Учасники з результатом не нижче медіани

У лютневому HMMT 2017 року взяли участь 679 учасників. Нехай NN — кількість цих учасників, які показали результат на рівні медіани або вище хоча б в одному з трьох індивідуальних тестів. Оцініть NN. Оцінка EE приносить ⌊20−∣E−N∣2⌋\left\lfloor 20-\frac{|E-N|}{2}\right\rfloor або 0 балів, залежно від того, яке з цих чисел більше.
10–11 класиНаближення дійсних чисел і оцінки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-067

Довжина дотичної з вершини трикутника

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=20AB = 20, BC=10BC = 10, CA=15CA = 15. Нехай II — інцентр трикутника ABCABC, а BIBI перетинає ACAC у точці EE, а CICI перетинає ABAB у точці FF. Припустімо, що описані кола трикутників BIFBIF і CIECIE перетинаються в точці DD, відмінній від II. Знайдіть довжину дотичної з точки AA до описаного кола трикутника DEFDEF.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-068

Очікуваний час зникнення чисел з дошки

Числа 1,2,3,4,5,6,7,8,9,101,2,3,4,5,6,7,8,9,10 записано на дошці. Щодня вчитель вибирає одне з чисел рівномірно навмання і зменшує його на 11. Нехай XX — математичне сподівання кількості днів, які минуть, доки на дошці не залишиться жодного додатного числа. Оцініть XX. Оцінка EE дає ⌊20⋅2−∣X−E∣/8⌋\left\lfloor 20 \cdot 2^{-|X-E| / 8}\right\rfloor балів.
10–11 класиНаближення дійсних чисел і оцінки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-069

Ієрархія чисел за кількістю простих дільників

Натуральне число називається праймером, якщо воно має просту кількість різних простих дільників. Натуральне число називається прайместом, якщо воно має праймерну кількість різних праймерних дільників. Натуральне число називається прайм-міністром, якщо воно має прайместну кількість різних прайместних дільників. Нехай NN — найменше число, яке є прайм-міністром. Оцініть NN. Оцінка E>0E>0 приносить ⌊20min⁡(NE,EN)⌋\left\lfloor 20 \min \left(\frac{N}{E}, \frac{E}{N}\right)\right\rfloor балів.
10–11 класиПрості числа (базові властивості)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-070

Оцінка суми знакозмінного трикутника Паскаля

У Паскаля є трикутник. У nn-му рядку є n+1n+1 чисел an,0,an,1,an,2,…,an,na_{n, 0}, a_{n, 1}, a_{n, 2}, \ldots, a_{n, n}, де an,0=an,n=1a_{n, 0}=a_{n, n}=1. Для всіх 1≤k≤n−11 \leq k \leq n-1 виконується an,k=an−1,k−an−1,k−1a_{n, k}=a_{n-1, k}-a_{n-1, k-1}. Нехай NN — значення суми ∑k=02018∣a2018,k∣(2018k).\sum_{k=0}^{2018} \frac{\left|a_{2018, k}\right|}{\binom{2018}{k}} . Оцініть NN. Оцінка E>0E>0 дає ⌊20⋅2−∣N−E∣/70⌋\left\lfloor 20 \cdot 2^{-\left|N-E\right| / 70}\right\rfloor балів.
10–11 класиВластивості біноміальних коефіціє…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-071

Куб, розрізаний площинами через позначені точки

У дерев'яному бруску, що має форму куба, позначено всі вершини та середини ребер. Куб розрізають уздовж усіх можливих площин, які проходять принаймні через чотири позначені точки. Нехай NN — кількість частин, на які розрізано куб. Оцініть NN. Оцінка E>0E>0 дає ⌊20min⁡(N/E,E/N)⌋\lfloor 20 \min (N / E, E / N)\rfloor балів.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-072

Випадкова гра в «Чотири в ряд»

У грі Connect Four є сім вертикальних стовпців, у кожному з яких є місце для шести фішок. Вони утворюють сітку 7×67 \times 6 клітинок. Двоє гравців — білі та чорні — ходять по черзі. Гравець робить хід, вибираючи стовпець, який ще не заповнений, і вкидає фішку свого кольору в найнижчу вільну клітинку цього стовпця. Гра закінчується, коли чотири фішки одного кольору опиняються поспіль в один ряд — горизонтально, вертикально або по діагоналі. Гравець, який зібрав чотири свої фішки в ряд, перемагає. Припустімо, що обидва гравці грають у цю гру навмання. Кожен гравець у свій хід вибирає випадковий незаповнений стовпець і вкидає фішку свого кольору в цей стовпець. Це триває, доки один із гравців не переможе або доки всі стовпці не будуть заповнені. Нехай PP — ймовірність того, що всі стовпці будуть заповнені, і при цьому жоден із гравців не збере чотири фішки свого кольору в ряд. Оцініть PP. Оцінка E>0E>0 приносить ⌊20min⁡(P/E,E/P)⌋\lfloor 20 \min (P / E, E / P)\rfloor балів.
10–11 класиКласичні ігри
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-073

Кількість прохідних лабіринтів 5×5

Лабіринт n×mn \times m — це сітка n×mn \times m, у якій кожна клітинка є або стіною, або порожньою. Лабіринт називається прохідним, якщо існує послідовність сусідніх порожніх клітинок від верхньої лівої клітинки до нижньої правої клітинки, яка не проходить крізь стіни. (Зокрема, верхня ліва та нижня права клітинки мають бути порожніми.) Нехай NN — кількість прохідних лабіринтів 5×55 \times 5. Оцініть NN. Оцінка E>0E>0 приносить ⌊20min⁡(NE,EN)2⌋\left\lfloor 20 \min \left(\frac{N}{E}, \frac{E}{N}\right)^{2}\right\rfloor балів.
10–11 класиШляхи на графах
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-001

Математичне сподівання сталої величини

Генератор випадкових чисел завжди видає 77. Сем використовує цей генератор один раз. Чому дорівнює математичне сподівання отриманого числа?
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-042

Многочлен із трійковими коефіцієнтами в корені з трьох

Нехай Q(x)=a0+a1x+⋯+anxnQ(x) = a_{0} + a_{1} x + \cdots + a_{n} x^{n} — многочлен із цілими коефіцієнтами, причому 0≤ai<30 \leq a_{i} < 3 для всіх 0≤i≤n0 \leq i \leq n. Відомо, що Q(3)=20+173Q(\sqrt{3}) = 20 + 17 \sqrt{3}. Обчисліть Q(2)Q(2).
10–11 класиСистеми числення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-047

Найменше число з дільниками-степенями

Натуральне число kk називається потужним, якщо існують різні натуральні числа p,q,r,s,tp, q, r, s, t такі, що p2p^{2}, q3q^{3}, r5r^{5}, s7s^{7}, t11t^{11} ділять kk. Знайдіть найменше потужне число.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-057

Підрахунок цілочисельних базисів площини

Дві впорядковані пари (a,b)(a, b) і (c,d)(c, d), де a,b,c,da, b, c, d — дійсні числа, утворюють базис координатної площини, якщо ad≠bca d \neq b c. Знайдіть кількість впорядкованих четвірок (a,b,c,d)(a, b, c, d) із цілих чисел від 11 до 33 включно, для яких (a,b)(a, b) і (c,d)(c, d) утворюють базис координатної площини.
10–11 класиРозміщення

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.