Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

143 задачі
Міжнародна математична олімпіада
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2021-003

Внутрішня точка трикутника та прямі BC, EF, O1O2

Точка DD — внутрішня точка гострокутного трикутника ABCABC, у якому AB>ACAB > AC і ∠DAB=∠CAD\angle DAB = \angle CAD. Точка EE на відрізку ACAC задовольняє умову ∠ADE=∠BCD\angle ADE = \angle BCD, точка FF на відрізку ABAB задовольняє умову ∠FDA=∠DBC\angle FDA = \angle DBC, точка XX на прямій ACAC задовольняє умову CX=BXCX = BX. Нехай точки O1O_1 і O2O_2 — центри описаних кіл трикутників ADCADC і EXDEXD відповідно. Доведіть, що прямі BCBC, EFEF і O1O2O_1O_2 — конкурентні, тобто перетинаються в одній точці.
10–11 класиРадикальна вісь
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2021-004

Рівність сум сторін чотирикутників ADTX і CDYZ

Дано коло Γ\Gamma із центром у точці II. Опуклий чотирикутник ABCDABCD — описаний навколо кола Γ\Gamma. Коло ww — описане навколо трикутника AICAIC. Продовження відрізка BABA за точку AA перетинає коло ww у точці XX, продовження відрізка BCBC за точку CC перетинає коло ww у точці ZZ. Продовження відрізків ADAD і CDCD за точку DD перетинають коло ww у точках YY і TT відповідно. Доведіть, що AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC.AD + DT + TX + XA = CD + DY + YZ + ZC.
10–11 класиДотична кола
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2021-005

Обміни горішків-сусідів у ямках навколо дерева

Івасик і Телесик зібрали на зиму 20212021 горішок. Івасик пронумерував горішки числами від 11 до 20212021 та вирив 20212021 ямку навколо їхнього улюбленого дерева. Наступного ранку він побачив, що Телесик поклав у кожну ямку по одному горішку, геть не турбуючись про порядок горішків. Івасик засмутився та вирішив упорядкувати горішки через таку послідовність з 20212021 дії: протягом kk-ї дії він міняє місцями горішки, що є сусідніми з горішком за номером kk. Доведіть, що знайдеться таке kk, коли впродовж kk-ї дії помінялися місцями горішки з номерами aa і bb, де a<k<ba < k < b.
10–11 класиПарність і непарність
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2021-006

Підмножини множини цілих чисел із сумами mᵏ

Дано ціле число m⩾2m \geqslant 2. У скінченній множині AA, що складається із цілих, не обов’язково додатних чисел, знайшлися такі підмножини B1,B2,B3,…,BmB_1, B_2, B_3, \ldots, B_m, що для кожного k=1,m‾k = \overline{1, m} сума елементів множини BkB_k дорівнює mkm^k. Доведіть, що множина AA містить принаймні 12m\frac{1}{2}m елементів.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2020-001

Бісектриси кутів ADP, PCB і серединний перпендикуляр до AB

Усередині опуклого чотирикутника ABCDABCD знайшлася точка PP така, що справджуються рівності ∠PAD:∠PBA:∠DPA=1:2:3=∠CBP:∠BAP:∠BPC.\angle PAD : \angle PBA : \angle DPA = 1 : 2 : 3 = \angle CBP : \angle BAP : \angle BPC. Доведіть, що в одній точці перетинаються три такі прямі: внутрішні бісектриси кутів ADPADP і PCBPCB та серединний перпендикуляр до відрізка ABAB.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2020-002

Нерівність для впорядкованих чисел із сумою 1

Дано дійсні числа aa, bb, cc, dd такі, що a⩾b⩾c⩾d>0a \geqslant b \geqslant c \geqslant d > 0 та a+b+c+d=1a + b + c + d = 1. Доведіть, що (a+2b+3c+4d) aabbccdd<1.(a+2b+3c+4d)\,a^a b^b c^c d^d < 1.
10–11 класиНерівність Коші
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2020-003

Дві рівні купки камінців 1…4n за кольорами

Маємо 4n4n камінців масою 1,2,3,…,4n1, 2, 3, \ldots, 4n. Кожний камінець пофарбовано в один з nn кольорів, при цьому маємо по 44 камінці кожного кольору. Доведіть, що камінці можна розділити на дві купки рівної сумарної маси так, щоб у кожній купці було по 22 камінці кожного кольору.
10–11 класиШляхи на графах
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2020-004

Дві компанії на схилі зі спільним сполученням станцій

Дано число n>1n > 1. На попарно різних висотах гірського схилу розташовано n2n^2 станцій фунікулеру. Кожна з двох компаній AA та BB володіє kk підйомниками. Кожний підйомник виконує регулярний трансфер (без пересадок) з однієї станції на іншу, розташовану вище. kk трансферів компанії AA починаються на kk різних станціях; закінчуються вони також на kk різних станціях; при цьому трансфер, який починається вище, закінчується також вище. Ті самі умови виконано й для компанії BB. Казатимемо, що дві станції сполучені компанією, якщо можна дістатися з нижньої станції на верхню, використовуючи один чи декілька трансферів цієї компанії (інші пересування між станціями заборонено). Знайдіть найменше kk, при якому гарантовано знайдуться дві станції, що сполучені обома компаніями.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2020-005

При яких n середні на картках дають рівні числа

Маємо n>1n > 1 карток, на кожній з яких записано натуральне число. Виявилося, що для довільних двох карток середнє арифметичне записаних на них чисел дорівнює середньому геометричному чисел, записаних на картках деякого набору, що складається з однієї або більше карток. При яких nn із цього випливає, що всі числа, записані на картках, рівні?
10–11 класиПрості числа (базові властивості)
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2020-006

Розділяюча пряма, віддалена від точок множини

Доведіть, що існує константа cc, для якої справджується таке твердження. Нехай SS — множина з n>1n > 1 точок площини, у якій відстані між довільними двома точками не менші за 11. Тоді існує пряма ll, яка розділяє множину SS точок таким чином, що відстань від довільної точки множини SS до прямої ll не менша ніж cn−13cn^{-\frac{1}{3}}. Пряма ll розділяє множину SS, якщо вона перетинає деякій відрізок, кінці якого належать множині SS. Примітка. Більш слабкі результати із заміною cn−13cn^{-\frac{1}{3}} на cn−αcn^{-\alpha} можна оцінювати залежно від значень константи α>13\alpha > \frac{1}{3}.
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2019-001

Функціональне рівняння f(2a) + 2f(b) = f(f(a+b))

Нехай ZZ — множина всіх цілих чисел. Знайдіть усі функції f:Z→Zf : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} такі, що для будь-яких цілих чисел aa і bb справджується рівність f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)).f(2a) + 2f(b) = f(f(a+b)).
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2019-002

Точки на чевіанах трикутника на одному колі

У трикутнику ABCABC точка A1A_1 лежить на відрізку BCBC, а точка B1B_1 — на відрізку ACAC. Нехай точки PP і QQ вибрано на відрізках AA1AA_1 та BB1BB_1 відповідно так, що пряма PQ∥ABPQ \parallel AB. Точку P1P_1 вибрано на прямій PB1PB_1 так, що точка B1B_1 розміщується строго між точками PP і P1P_1, при цьому ∠PP1C=∠BAC\angle PP_1C = \angle BAC. Аналогічно точку Q1Q_1 вибрано на прямій QA1QA_1 так, що точка A1A_1 розміщується строго між точками QQ і Q1Q_1, при цьому ∠QQ1C=∠CBA\angle QQ_1C = \angle CBA. Доведіть, що точки PP, QQ, P1P_1 і Q1Q_1 належать одному колу.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2019-003

Соціальна мережа з 2019 користувачів і зміни дружби

У соціальній мережі є 20192019 користувачів. Деякі користувачі товаришують з деякими іншими, при цьому якщо користувач AA є другом користувача BB, то BB також є другом AA. Зміни наступного типу здійснюються послідовно, по одній зміні за раз: обирають трьох користувачів AA, BB та CC таких, що AA є другом BB та CC, але BB і CC не є друзями; після цього BB та CC стають друзями, але AA перестає бути другом BB і CC. У всіх інших парах відношення не змінюються. Спочатку 10101010 користувачів мають по 10091009 друзів кожен, а 10091009 користувачів мають по 10101010 друзів кожен. Доведіть, що існує послідовність змін, після яких кожен користувач матиме не більш як одного друга.
10–11 класиЗв’язність
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2019-004

Факторіал, що дорівнює добутку різниць степенів двійки

Знайдіть усі пари натуральних чисел (k,n)(k, n) таких, що k!=(2n−1)(2n−2)(2n−4)…(2n−2n−1).k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\ldots(2^n-2^{n-1}).
10–11 класиФормула Лежандра
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2019-005

Перевертання k-ї монети в ряді та середня тривалість процесу

Банк міста Бат карбує монети з літерою HH на одному боці та літерою TT на другому боці. Гаррі виклав nn таких монет у ряд зліва направо. Він послідовно виконує таку операцію: якщо в ряду рівно k>0k > 0 монет лежать догори літерою HH, то він перевертає kk-ту зліва монету; інакше всі монети лежать догори літерою TT, і він зупиняється. Наприклад, якщо n=3n = 3 і процес перегортання монет починається з конфігурації THTTHT, то послідовність операцій матиме такий вигляд: THT→HHT→HTT→TTTTHT \to HHT \to HTT \to TTT, тобто процес припиниться після трьох операцій. а) Доведіть, що для будь-якої початкової конфігурації процес припиниться після скінченної кількості операцій. б) Для кожної початкової конфігурації CC позначимо за L(C)L(C) кількість операцій, після яких процес припиниться, наприклад L(THT)=3L(THT) = 3 та L(TTT)=0L(TTT) = 0. Знайдіть середнє арифметичне значень L(C)L(C), якщо CC пробігає всі 2n2^n можливих початкових конфігурацій.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2019-006

Перетин прямих DI і PQ на перпендикулярі до AI

Нехай точка II — центр вписаного кола гострокутного трикутника ABCABC та AB≠ACAB \neq AC. Вписане коло ww трикутника ABCABC дотикається до сторін BCBC, ACAC і ABAB у точках DD, EE та FF відповідно. Пряма, що проходить через точку DD перпендикулярно до прямої EFEF, удруге перетинає коло ww у точці RR. Пряма ARAR удруге перетинає коло ww у точці PP. Описані кола трикутників PCEPCE та PBFPBF удруге перетинаються в точці QQ. Доведіть, що прямі DIDI та PQPQ перетинаються на прямій, яка проходить через вершину AA перпендикулярно до прямої AIAI.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2018-001

Рівні відрізки на сторонах трикутника та серединні перпендикуляри

Нехай Γ\Gamma — описане коло гострокутного трикутника ABCABC. Точки DD і EE лежать на відрізках ABAB і ACAC відповідно, при цьому AD=AEAD = AE. Проведено серединні перпендикуляри до відрізків BDBD і CECE кола Γ\Gamma у точках FF і GG відповідно. Доведіть, що прямі DEDE і FGFG паралельні або збігаються.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2018-002

Цілі n з циклічною послідовністю дійсних чисел

Знайдіть усі цілі числа n⩾3n \geqslant 3, для яких існують дійсні числа a1,a2,…,an+2a_1, a_2, \ldots, a_{n+2} такі, що an+1=a1a_{n+1} = a_1, an+2=a2a_{n+2} = a_2 і aiai+1+1=ai+2a_i a_{i+1} + 1 = a_{i+2} при всіх i=1,n‾i = \overline{1, n}.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2018-003

Антипаскалів трикутник із 2018 рядків з усіма натуральними числами

Антипаскалів трикутник — це таблиця, що має вигляд рівностороннього трикутника, у якій кожне число, за винятком чисел нижнього рядка, дорівнює модулю різниці двох чисел, що стоять безпосередньо під ним. Нижче наведено приклад антипаскалева трикутника із чотирьох рядків, у якому є всі натуральні числа від 1 до 10 (рис. 6.1). Чи існує антипаскалів трикутник із 2018 рядків, у якому стоять усі натуральні числа від 1 до 1+2+…+20181 + 2 + \ldots + 2018?
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2018-004

Гарантована кількість червоних камінців у грі на сітці

На координатній площині відмічено всі точки (x,y)(x, y) з натуральними координатами xx і yy, що не перевищують 20. Спочатку кожна із 400 відмічених точок не зайнята. Аліна і Богдан грають у таку гру: вони по черзі кладуть камінці у відмічені, ще не зайняті точки, Аліна розпочинає першою. Своїм ходом Аліна має покласти новий червоний камінець у відмічену незайняту точку таким чином, щоб відстань між довільними двома точками із червоними камінцями не дорівнювала 5\sqrt{5}. Богдан своїм ходом кладе синій камінець у довільну відмічену незайняту точку (точка із синім камінцем може знаходитися на будь-якій відстані від довільної іншої зайнятої точки). Гра припиняється, коли один із гравців не може покласти камінець. Знайдіть найбільше значення KK, при якому Аліна гарантовано зможе покласти принаймні KK червоних камінців, незважаючи на ходи Богдана.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2018-005

Нескінченна послідовність з цілими циклічними сумами відношень

Нехай a1,a2,…a_1, a_2, \ldots — нескінченна послідовність натуральних чисел. Припустимо, що існує ціле число N>1N>1 таке, що для кожного n⩾Nn\geqslant N число a1a2+a2a3+…+an−1an+ana1\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\ldots+\frac{a_{n-1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_1} є цілим. Доведіть, що існує натуральне число MM таке, що am=am+1a_m=a_{m+1} для всіх m⩾Mm\geqslant M.
10–11 класиНСД та НСК
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2018-006

Чотирикутник з рівними добутками сторін і рівними кутами

Опуклий чотирикутник ABCDABCD задовольняє умову AB⋅CD=BC⋅DAAB\cdot CD=BC\cdot DA. Точка XX усередині чотирикутника ABCDABCD є такою, що ∠XAB=∠XCD\angle XAB=\angle XCD і ∠XBC=∠XDA\angle XBC=\angle XDA. Доведіть, що ∠BXA+∠DXC=180∘\angle BXA+\angle DXC=180^\circ.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2016-001

Прямокутний трикутник і перетин прямих BD, FX, ME

Задано прямокутний трикутник BFCBFC із прямим кутом BB. Нехай AA — точка на прямій FCFC така, що FA=FBFA = FB, а точка FF лежить між точками AA і CC. Точку DD вибрано так, що DA=DCDA = DC і ACAC — бісектриса кута DABDAB. Точку EE вибрано так, що EA=EDEA = ED і ADAD — бісектриса кута EACEAC. Нехай точка MM — середина FCFC, а точка XX така, що AMXEAMXE — паралелограм (у якому AM∥XEAM \parallel XE та AE∥MXAE \parallel MX). Доведіть, що прямі BDBD, FXFX і MEME перетинаються в одній точці.
10–11 класиСиметрія
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2016-002

Заповнення дошки n × n літерами І, М, О

Знайдіть усі натуральні nn, для яких у кожну клітинку дошки розміром n×nn \times n можна помістити одну з літер — І, М або О — так, що: - у кожному рядку та в кожному стовпчику буде розташована рівно третина літер І, рівно третина літер М та рівно третина літер О; - у кожній діагоналі, кількість клітинок якої ділиться на три, буде розташована рівно третина літер І, рівно третина літер М та рівно третина літер О. Зауваження. Якщо рядки та стовпчики таблиці n×nn \times n занумеровано числами від 11 до nn природним чином, то кожній клітинці відповідає пара натуральних чисел (i,j)(i, j), для яких 1⩽i, j⩽n1 \leqslant i,\ j \leqslant n. При n>1n > 1 таблиця має 4n−24n - 2 діагоналі двох типів. Діагональ першого типу складається з усіх клітинок (i,j)(i, j), для яких i+ji + j є константою, а діагональ другого типу — з усіх клітинок (i,j)(i, j), для яких i−ji - j є константою.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2016-003

Вписаний цілочисельний многокутник і подільність подвоєної площі

Нехай P=A1A2…AkP = A_1A_2\ldots A_k — опуклий многокутник на декартовій площині. Вершини A1,A2,…,AkA_1, A_2, \ldots, A_k мають цілі координати й лежать на одному колі. Нехай SS — площа многокутника PP. Непарне натуральне число nn таке, що квадрати довжин сторін PP є цілими числами, які діляться на nn. Доведіть, що 2S2S є цілим числом, яке ділиться на nn.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.