Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

143 задачі
Міжнародна математична олімпіада
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2016-004

Найменше b для тендітної множини значень P

Множину натуральних чисел називають тендітною, якщо вона містить не менше двох елементів і кожен елемент цієї множини має спільний простий дільник з принаймні одним іншим елементом цієї множини. Нехай P(n)=n2+n+1P(n) = n^2 + n + 1. Для якого найменшого натурального числа bb існує ціле невід'ємне число aa таке, що множина {P(a+1); P(a+2); …; P(a+b)}\{P(a+1);\ P(a+2);\ \ldots;\ P(a+b)\} є тендітною.
10–11 класиНСД та НСК
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2016-005

Найменша кількість витертих множників рівняння без дійсних коренів

Рівняння (x−1)(x−2)…(x−2016)=(x−1)(x−2)…(x−2016),(x - 1)(x - 2) \ldots (x - 2016) = (x - 1)(x - 2) \ldots (x - 2016), ліва і права частини якого містять по 20162016 лінійних множників, записано на дошці. Знайдіть найменше можливе значення kk, при якому можна витерти з дошки рівно kk із цих 40324032 лінійних множників так, щоб хоча б один множник залишиться в кожній частині рівняння, а рівняння, що залишиться, не матиме дійсних коренів.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2016-006

Жабеня на відрізках, що попарно перетинаються

На площині задано n⩾2n \geqslant 2 відрізків таким чином, що довільні два з них перетинаються у внутрішній точці та жодні три не перетинаються в одній точці. Дід Панас має вибрати кінець кожного відрізка та посадити в нього жабеня очима в напрямку другого кінця. Після цього він плескає в долоні n−1n - 1 раз. Щоразу, коли він плескає, кожне жабеня одразу перестрибує в наступну точку перетину свого відрізка. Жабенята ніколи не змінюють напрямку стрибків. Дід Панас хоче розсадити їх таким чином, щоб жодна пара жабенят не опинилася в одній точці перетину в жодний момент часу. Доведіть, що дід Панас: а) може завжди так зробити, коли nn — непарне число; б) не зможе цього зробити, коли nn — парне число.
10–11 класиПарність і непарність
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2015-001

Збалансовані та ексцентричні множини з n точок

Скінченну множину точок SS назвемо збалансованою, якщо для будь-яких різних точок AA та BB із множини SS знайдеться така точка CC із множини SS, що AC=BCAC = BC. Множину SS називатимемо ексцентричною, якщо для будь-яких трьох різних точок AA, BB та CC із множини SS не існує такої точки PP із множини SS, що PA=PB=PCPA = PB = PC. а) Доведіть, що для будь-якого цілого n⩾3n \geqslant 3 існує збалансована множина, що складається з nn точок. б) Знайдіть усі цілі n⩾3n \geqslant 3, для яких існує збалансована ексцентрична множина, що складається з nn точок.
10–11 класиГеометричні приклади і контрприкл…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2015-002

Трійки з виразами ab - c — степені двійки

Знайдіть усі такі трійки натуральних чисел (a,b,c)(a, b, c), що кожне із чисел ab−c, bc−a, ca−bab - c,\ bc - a,\ ca - b є степенем двійки. Примітка. Степенем двійки називають число вигляду 2n2^n, де nn — ціле невід’ємне число.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2015-003

Описані кола трикутників KQH і FKM

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якому AB>ACAB > AC, Γ\Gamma — описане коло, а точка HH — ортоцентр цього трикутника. Нехай точка FF — основа висоти, що проведена з вершини AA, а точка MM — середина сторони BCBC. Нехай QQ — точка на колі Γ\Gamma така, що ∠HQA=90∘\angle HQA = 90^\circ, KK — точка на колі Γ\Gamma така, що ∠HKQ=90∘\angle HKQ = 90^\circ. Нехай точки AA, BB, CC, KK та QQ різні та лежать на колі Γ\Gamma у наведеному порядку. Доведіть, що описані кола трикутників KQHKQH та FKMFKM дотикаються одне до одного.
10–11 класиКола, що дотикаються
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2015-004

Перетин прямих FK і GL та пряма AO

Нехай Ω\Omega — описане коло трикутника ABCABC, а точка OO — його центр. Коло Γ\Gamma із центром AA перетинає відрізок BCBC у точках DD і EE так, що точки BB, DD, EE і CC — усі різні та лежать на прямій BCBC у наведеному порядку. Нехай FF і GG — точки перетину кіл Γ\Gamma та Ω\Omega, при цьому точки AA, FF, BB, CC і GG лежать на колі Ω\Omega у наведеному порядку. Нехай KK — друга точка перетину описаного кола трикутника BDFBDF та відрізка ABAB, а LL — друга точка перетину описаного кола трикутника CGECGE та відрізка ACAC. Нехай прямі FKFK і GLGL різні та перетинаються в точці XX. Доведіть, що точка XX лежить на прямій AOAO.
10–11 класиСиметрія
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2015-005

Функціональне рівняння з сумою та добутком аргументів

Знайдіть усі функції f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, що задовольняють рівність f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x) для довільних дійсних чисел xx і yy.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2015-006

Цілочисельна послідовність з різними сумами і обмеженими відхиленнями

Послідовність цілих чисел a1,a2,…a_1, a_2, \ldots задовольняє такі умови: 1⩽aj⩽2015для всіх j⩾1;1 \leqslant a_j \leqslant 2015 \quad \text{для всіх } j \geqslant 1; k+ak≠l+alдля всіх 1⩽k<l.k + a_k \ne l + a_l \quad \text{для всіх } 1 \leqslant k < l. Доведіть, що існують два натуральних числа bb та NN таких, що ∣∑j=m+1n(aj−b)∣⩽10072\left|\displaystyle\sum_{j=m+1}^{n} (a_j - b)\right| \leqslant 1007^2 для всіх цілих чисел mm і nn, що задовольняють умову n>m⩾Nn > m \geqslant N.
10–11 класиОрієнтовані графи
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2014-001

Нескінченна зростаюча послідовність і її середнє арифметичне

Нехай a0<a1<a2<…a_0 < a_1 < a_2 < \ldots — нескінченна послідовність натуральних чисел. Доведіть, що існує єдине натуральне число nn таке, що an<a0+a1+…+ann⩽an+1.a_n < \frac{a_0 + a_1 + \ldots + a_n}{n} \leqslant a_{n+1}.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2014-002

Мирні тури та порожній квадрат k × k

Нехай n⩾2n \geqslant 2 — натуральне число. Дано шахівницю розміром n×nn \times n, яка складається з n2n^2 одиничних клітинок. Розміщення nn тур у клітинках дошки називають мирним, якщо в кожному горизонтальному та кожному вертикальному ряду стоїть рівно по одній турі. Знайдіть найбільше натуральне kk таке, що для кожного мирного розміщення nn тур знайдеться клітчастий квадрат розміром k×kk \times k, у жодній із k2k^2 клітинок якого немає тури.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2014-003

Чотирикутник з двома прямими кутами та дотична до кола

Дано опуклий чотирикутник ABCDABCD, у якому ∠ABC=∠CDA=90∘\angle ABC = \angle CDA = 90^\circ. Точка HH — основа перпендикуляра, опущеного з точки AA на пряму BDBD. Точки SS і TT вибрали на відрізках ABAB і ADAD відповідно таким чином, що точка HH знаходиться всередині трикутника SCTSCT і виконуються рівності ∠CHS−∠CSB=90∘,∠THC−∠DTC=90∘.\angle CHS - \angle CSB = 90^\circ, \quad \angle THC - \angle DTC = 90^\circ. Доведіть, що пряма BDBD дотикається до кола, описаного навколо трикутника TSHTSH.
10–11 класиІнверсія
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2014-004

Перетин прямих BM і CN на описаному колі

Точки PP і QQ вибрали на стороні BCBC гострокутного трикутника ABCABC так, що ∠PAB=∠BCA\angle PAB = \angle BCA і ∠CAQ=∠ABC\angle CAQ = \angle ABC. Точки MM і NN вибрали на променях APAP і AQAQ відповідно таким чином, що точка PP — середина відрізка AMAM, а точка QQ — середина відрізка ANAN. Доведіть, що прямі BMBM і CNCN перетинаються на колі, описаному навколо трикутника ABCABC.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2014-005

Монети з номіналами 1/n та розбиття на групи

Банк Кейптауна випустив монети номіналом 1n\frac{1}{n} для кожного натурального nn. Задано скінченний набір таких монет, сума номіналів яких не перевищує 99+1299+\frac{1}{2} (номінали монет не обов’язково різні). Доведіть, що всі монети можна розбити на 100100 або меншу кількість груп так, що сума номіналів монет у кожній групі не перевищуватиме 11.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2014-006

Сині прямі загального положення та межі обмежених частин

Будемо казати, що прямі на площині є прямими загального положення, якщо жодні дві з них не паралельні, а жодні три з них не проходять через одну точку. Довільні декілька прямих загального положення розбивають площину на частини. Обмеженими частинами розбиття будемо називати ті з них, які мають скінченну площу. Доведіть, що для достатньо великих значень nn справджується таке твердження: у кожній множині з nn прямих загального положення на площині можна пофарбувати не менше n\sqrt{n} прямих у синій колір так, щоб межа кожної обмеженої частини розбиття не була повністю синьою. Примітка. За доведення твердження задачі, у якому n\sqrt{n} замінено на cnc\sqrt{n}, бали нараховують залежно від константи cc.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2013-001

Добуток k множників вигляду 1 + 1/m

Доведіть, що для будь-якої пари натуральних чисел kk і nn існують kk (не обов'язково різних) натуральних чисел m1m_1, m2m_2, …\ldots, mkm_k таких, що виконується рівність 1+2k−1n=(1+1m1)⋅(1+1m2)⋅…⋅(1+1mk).1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1+\frac{1}{m_k}\right).
10–11 класиМетод математичної індукції
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2013-002

Найменша кількість прямих для розділення чорних і сірих точок

Колумбійською конфігурацією будемо називати такий набір з 40274027 точок на площині, що жодні три з них не лежать на одній прямій, при цьому 20132013 з них пофарбовано в чорний колір, а решту 20142014 — у сірий. Розглянемо набір прямих, що розділяють площину на декілька областей. Назвемо цей набір прямих гарним для даної колумбійської конфігурації точок, якщо виконуються такі умови: - жодна пряма не проходить через жодну точку конфігурації; - жодна область розбиття не містить точок обох кольорів. Знайдіть найменше можливе значення kk таке, що для довільної колумбійської конфігурації з 40274027 точок існує гарний набір з kk прямих.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2013-003

Точки дотику зовнівписаних кіл і описані кола

Нехай зовнівписане коло трикутника ABCABC, що лежить навпроти вершини AA, дотикається до сторони BCBC у точці A1A_1. Точки B1B_1 на стороні ACAC і C1C_1 на стороні ABAB визначаються аналогічним чином з використанням зовнівписаних кіл, що лежать навпроти вершин BB і CC відповідно. Відомо, що центр описаного кола трикутника A1B1C1A_1B_1C_1 лежить на колі, описаному навколо трикутника ABCABC. Доведіть, що трикутник ABCABC прямокутний.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2013-004

Пряма через ортоцентр і кінці діаметрів

Нехай HH — точка перетину висот гострокутного трикутника ABCABC. Нехай WW — довільна точка на відрізку BCBC, що відмінна від точок BB та CC. Позначимо через MM і NN основи висот трикутника ABCABC, що проведені з вершин BB і CC відповідно. Нехай w1w_1 — описане коло трикутника BWNBWN, а XX — така точка на w1w_1, що WXWX — діаметр кола w1w_1. Аналогічно нехай w2w_2 — описане коло трикутника CWMCWM та YY — така точка на w2w_2, що WYWY — діаметр кола w2w_2. Доведіть, що точки XX, YY і HH лежать на одній прямій.
10–11 класиРадикальна вісь
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2013-005

Функція на додатних раціональних числах з нерівностями

Позначимо через Q+\mathbb{Q}^+ множину всіх додатних раціональних чисел. Нехай f ⁣:Q+→Rf\colon \mathbb{Q}^+ \to \mathbb{R} — функція, що задовольняє такі умови: - для всіх x,y∈Q+x, y \in \mathbb{Q}^+ виконується нерівність f(x) f(y)⩾f(xy)f(x)\,f(y) \geqslant f(xy); - для всіх x,y∈Q+x, y \in \mathbb{Q}^+ виконується нерівність f(x)+f(y)⩽f(x+y)f(x) + f(y) \leqslant f(x+y); - існує раціональне число a>1a > 1 таке, що f(a)=af(a) = a. Доведіть, що f(x)=xf(x) = x для всіх x∈Q+x \in \mathbb{Q}^+.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2013-006

Чудові позначення точок кола числами від 0 до n

Нехай n⩾3n \geqslant 3 — ціле число. Розглянемо коло і n+1n + 1 точку на ньому, що ділять його на рівні дуги. Розглянемо всі способи позначити ці точки числами 0,1,…,n0, 1, \ldots, n так, що кожне число використовується рівно один раз. Два способи, що відрізняються поворотом, вважаються однаковими. Спосіб позначення назвемо чудовим, якщо для довільних чотирьох міток a<b<c<da < b < c < d таких, що a+d=b+ca + d = b + c, хорда, що сполучає вершини з мітками aa і dd, не перетинає хорду, що сполучає точки з мітками bb і cc. Нехай MM — кількість чудових способів позначення. Нехай NN — кількість упорядкованих пар (x,y)(x, y) натуральних чисел, що задовольняють умови x+y⩽nx + y \leqslant n і (x,y)=1(x, y) = 1. Доведіть, що M=N+1.M = N + 1.
10–11 класиМетод математичної індукції
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2012-003

Вгадування числа запитаннями про множини з брехнею

Алла та Богдан грають у гру під назвою «Ти ж мене підманула». У правилах гри фігурують два натуральних числа kk й nn, відомих до початку гри обом гравцям. Гра проходить так. Спершу Алла вибирає два натуральних числа xx та NN, які задовольняють умову 1⩽x⩽N1 \leqslant x \leqslant N. Вона повідомляє Богдану число NN, але значення xx тримає в таємниці. Богдан намагається дізнатися щось про число xx у такий спосіб: він називає довільну множину SS натуральних чисел (можливо, уже названу раніше) та питає Аллу, чи належить число xx щойно названій множині. Богдан може змінювати множину SS (і повторювати запитання) як завгодно багато разів. На кожне поставлене Богданом запитання Алла повинна відразу ж відповісти «так» або «ні». При цьому вона може брехати як завгодно багато разів за єдиної умови: серед відповідей Алли на довільне k+1k+1 послідовне запитання хоча б одна відповідь має бути правдивою. Після того як Богдан поставить Аллі стільки запитань, скільки йому потрібно, він повинен назвати деяку множину XX, що містить не більше за nn натуральних чисел. Якщо x∈Xx \in X, то Богдан перемагає, інакше він програє. Доведіть такі твердження: а) Якщо n⩾2kn \geqslant 2^k, то Богдан може забезпечити собі перемогу. б) Для довільного достатньо великого kk знайдеться таке ціле число n⩾1,99kn \geqslant 1{,}99^k, при якому Богдан не зможе забезпечити собі перемогу.
10–11 класиІнші інваріанти
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2012-004

Цілочислові функції з рівністю для трійок з нульовою сумою

Знайдіть усі такі функції f:Z→Zf:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, для яких при довільних цілих значеннях aa, bb, cc, що задовольняють умову a+b+c=0a+b+c=0, справджується рівність f2(a)+f2(b)+f2(c)=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a).f^2(a)+f^2(b)+f^2(c)=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a).
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2012-002

Нерівність для добутку степенів 1 + aᵢ

Задано натуральне число n⩾3n \geqslant 3 та додатні дійсні числа a2,a3,…,ana_2, a_3, \ldots, a_n, причому відомо, що a2⋅a3⋅…⋅an=1a_2 \cdot a_3 \cdot \ldots \cdot a_n=1. Доведіть нерівність (1+a2)2(1+a3)3⋅…⋅(1+an)n>nn.(1+a_2)^2 (1+a_3)^3 \cdot \ldots \cdot (1+a_n)^n>n^n.
10–11 класиНерівність Коші
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2012-006

Натуральні n з двома сумами, що дорівнюють одиниці

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких існують такі цілі невід'ємні числа a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, що 12a1+12a2+…+12an=13a1+23a2+…+n3an=1.\frac{1}{2^{a_1}}+\frac{1}{2^{a_2}}+\ldots+\frac{1}{2^{a_n}}=\frac{1}{3^{a_1}}+\frac{2}{3^{a_2}}+\ldots+\frac{n}{3^{a_n}}=1.
10–11 класиПарність та непарність

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.