Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

143 задачі
Міжнародна математична олімпіада
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2012-001

Точки дотику зовнівписаного кола та перетини на BC

Нехай точка JJ — центр зовнівписаного кола трикутника ABCABC, яке дотикається до сторони BCBC трикутника. Позначимо точку дотику кола до сторони BCBC через MM, а до прямих ABAB та ACAC — через KK та LL відповідно. Прямі LMLM і BJBJ перетинаються в точці FF, а прямі KMKM і CJCJ перетинаються в точці GG. Нехай SS — точка перетину прямих AFAF та BCBC, а TT — точка перетину прямих AGAG та BCBC. Доведіть, що точка MM ділить відрізок STST навпіл.
10–11 класиЗовнівписане коло
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2012-005

Висота прямокутного трикутника і точки K і L

Нехай ABCABC — прямокутний трикутник із прямим кутом CC, а DD — основа висоти, опущеної з вершини CC на гіпотенузу. На висоті CDCD деяким чином позначили внутрішню точку XX, на відрізку AXAX позначили точку KK так, що BK=BCBK = BC, а на відрізку BXBX позначили точку LL, для якої AL=ACAL = AC. Нехай MM — точка перетину прямих ALAL і BKBK. Доведіть, що MK=MLMK = ML.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2011-001

Максимальна кількість пар дільників суми чотирьох чисел

Для множини A={a1,a2,a3,a4}A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}, яка складається з чотирьох попарно різних натуральних чисел, позначимо через sAs_A суму a1+a2+a3+a4a_1 + a_2 + a_3 + a_4. Через nAn_A позначимо кількість пар індексів (i,j)(i, j), 1⩽i<j⩽41 \leqslant i < j \leqslant 4, таких що sA⋮(ai+aj)s_A \vdots (a_i + a_j). Знайдіть усі множини AA, що складаються з чотирьох попарно різних натуральних чисел, для яких nAn_A набуває максимально можливого значення.
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2011-002

Млин і кожна точка центром безліч разів

Нехай SS — скінченна множина точок на площині, яка складається принаймні з двох точок. Відомо, що жодні три точки множини SS не лежать на одній прямій. Млином назвемо такий процес. Спочатку вибираємо пряму ll, на якій лежить рівно одна точка P∈SP \in S. Пряма ll обертається за годинниковою стрілкою навколо центра PP, доки вона не пройде через іншу точку QQ множини SS. У цей момент точка QQ стає новим центром, і пряма продовжує обертатись за рухом годинникової стрілки навколо точки QQ, доки вона знову не пройде через точку множини SS. Цей процес триває нескінченно, при цьому кожного разу центром стає чергова точка з множини SS. Доведіть, що можна вибрати точку PP множини SS та деяку пряму ll, що проходить через PP, так, що для млина, який починатиметься з прямої ll, кожна точка множини SS буде центром безліч разів.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2011-003

Функціональна нерівність і значення при недодатних x

Нехай функція f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} така, що для довільних x∈Rx \in \mathbb{R}, y∈Ry \in \mathbb{R} вона задовольняє умову f(x+y)⩽yf(x)+f(f(x)).f(x + y) \leqslant yf(x) + f\bigl(f(x)\bigr). Доведіть, що f(x)=0f(x) = 0 для всіх x⩽0x \leqslant 0.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2011-004

Степені двійки на шальках терезів без переваги справа

Задано натуральне число nn. Маємо шалькові терези та nn гир, ваги яких дорівнюють 20,21,…,2n−12^0, 2^1, \ldots, 2^{n - 1}. Усі гирі послідовно викладають на терези за nn кроків. На першому кроці вибирають довільну гирю та викладають її на ліву шальку терезів. На кожному наступному кроці вибирають одну з гир, що залишились, і додають або на ліву, або на праву шальку терезів. Знайдіть кількість способів виконати ці nn кроків таким чином, щоби права шалька терезів жодного разу не переважила ліву.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2011-005

Функція з цілих у натуральні та подільність значень

Нехай f:Z→Nf : \mathbb{Z} \to \mathbb{N} — деяка функція. Відомо, що для довільних цілих mm і nn різниця f(m)−f(n)f(m) - f(n) ділиться на f(m−n)f(m - n). Доведіть, що для довільних цілих mm і nn таких, що f(m)⩽f(n)f(m) \leqslant f(n), число f(n)f(n) ділиться на f(m)f(m).
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2011-006

Дотична до описаного кола та її відбиття від сторін

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а Γ\Gamma — описане навколо нього коло. Нехай пряма ll — деяка дотична до кола Γ\Gamma і lal_a, lbl_b та lcl_c — прямі, які симетричні прямій ll відносно прямих BCBC, CACA та ABAB відповідно. Доведіть, що коло, описане навколо трикутника, що утворений прямими lal_a, lbl_b та lcl_c, дотикається до кола Γ\Gamma.
10–11 класиКола, що дотикаються
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2010-001

Функціональне рівняння з цілою частиною аргументу

Знайдіть усі функції f:R→Rf : \mathbf{R} \to \mathbf{R} такі, що для всіх дійсних x,yx, y задовольняють умову f([x]y)=f(x)[f(y)].f([x]y) = f(x)[f(y)].
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2010-002

Перетин прямих DG та EI на описаному колі

Точка II — центр кола, вписаного в трикутник ABCABC, а Γ\Gamma — коло, описане навколо цього трикутника. Пряма AIAI перетинає коло Γ\Gamma в точках AA і DD. Точка EE обрана на дузі BDCBDC, а точка FF — на стороні BCBC так, що ∠BAF=∠CAE<12∠BAC\angle BAF = \angle CAE < \frac{1}{2}\angle BAC. Точка GG — середина відрізка IFIF. Доведіть, що прямі DGDG і EIEI перетинаються в точці, що належить колу Γ\Gamma.
10–11 класиТеорема про тризуб
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2010-003

Функції, для яких добуток є квадратом

Знайдіть усі функції g ⁣:N→Ng\colon \mathbf{N} \to \mathbf{N}, такі, що для довільних натуральних чисел m, nm,\, n число (g(m)+n)(m+g(n))(g(m) + n)(m + g(n)) є квадратом натурального числа.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2010-004

Внутрішня точка трикутника з умовою SC = SP

Нехай PP — точка всередині трикутника ABCABC. Прямі APAP, BPBP і CPCP удруге перетинають коло Γ\Gamma, описане навколо трикутника ABCABC, у точках KK, LL і MM відповідно. Дотична до кола Γ\Gamma, проведена через точку CC, перетинає пряму ABAB у точці SS. Відомо, що SC=SPSC = SP. Доведіть, що MK=MLMK = ML.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2010-005

Можливість зібрати всі монети в шостій коробці

У початковий момент часу в кожній із шести коробок B1B_1, B2B_2, B3B_3, B4B_4, B5B_5, B6B_6 міститься по одній монеті. Дозволяється виконувати операції двох типів: - вибрати непорожню коробку BjB_j, де 1≤j≤51 \le j \le 5, видалити з неї одну монету і додати дві монети в коробку Bj+1B_{j+1}; - вибрати непорожню коробку BkB_k, де 1≤k≤41 \le k \le 4, видалити з неї одну монету і поміняти місцями вміст коробки Bk+1B_{k+1} (можливо порожньої) із вмістом коробки Bk+2B_{k+2} (можливо порожньої). Чи існує скінченна послідовність таких операцій, за якої коробки B1B_1, B2B_2, B3B_3, B4B_4, B5B_5 стануть порожніми, а в коробці B6B_6 міститиметься рівно 2010201020102010^{2010^{2010}} монет?
10–11 класиКонструкція за індукцією
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2010-006

Послідовність з максимумом сум двох попередніх членів

Задано послідовність (an)(a_n), яка складається з додатних дійсних чисел. Відомо, що для деякого фіксованого натурального ss при всіх n>sn > s має місце рівність an=max⁡{ak+an−k∣1≤k≤n−1}.a_n = \max\left\{ a_k + a_{n-k} \mid 1 \le k \le n-1 \right\}. Доведіть, що існують натуральні числа ll і NN, такі, що l≤sl \le s і an=al+an−la_n = a_l + a_{n-l} при всіх n≥Nn \ge N.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2009-001

Ланцюжок різних чисел з подільністю на n

Дано натуральне число nn та попарно різні натуральні числа a1,...,aka_1, ..., a_k (k≥2)(k \ge 2) з множини {1,...,n}\{1, ..., n\} такі, що для кожного i=1,...,k−1i = 1, ..., k-1 число ai(ai+1−1)a_i(a_{i+1} - 1) ділиться на nn. Доведіть, що число ak(a1−1)a_k(a_1 - 1) не ділиться на nn.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2009-002

Дотик кола KLM до PQ і OP = OQ

Точка OO – центр кола, що описане навколо трикутника ABCABC. Нехай PP та QQ – внутрішні точки сторін CACA та ABAB відповідно. Точки K,LK, L та MM – середини відрізків BP,CQBP, CQ та PQPQ відповідно, а Γ\Gamma – це коло, що проходить через точки K,LK, L та MM. Відомо, що пряма PQPQ дотикається до кола Γ\Gamma. Доведіть, що OP=OQOP = OQ.
10–11 класиДотична кола
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2009-003

Строго зростаюча послідовність та дві арифметичні прогресії

Дано строго зростаючу послідовність натуральних чисел s1,s2,s3,...s_1, s_2, s_3, ... таку, що кожна з двох послідовностей ss1, ss2, ss3, ...таss1+1, ss2+1, ss3+1, ...s_{s_1},\ s_{s_2},\ s_{s_3},\ ... \quad \text{та} \quad s_{s_1+1},\ s_{s_2+1},\ s_{s_3+1},\ ... є арифметичною прогресією. Доведіть, що послідовність s1,s2,s3,...s_1, s_2, s_3, ... теж є арифметичною прогресією.
10–11 класиАрифметична прогресія
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2009-004

Рівнобедрений трикутник з бісектрисами та кутом BEK

Трикутник ABCABC такий, що AB=ACAB = AC. Бісектриси кутів CABCAB та ABCABC перетинають сторони BCBC та CACA в точках DD та EE відповідно. Позначимо через KK центр кола, що вписане в трикутник ADCADC. Виявилось, що ∠BEK=45∘\angle BEK = 45^\circ. Знайдіть усі можливі значення кута CABCAB.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2009-005

Функції з трикутником зі сторонами a, f(b) і f(b + f(a) - 1)

Знайдіть усі функції f:N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N} (тобто функції, що визначені на множині усіх натуральних чисел та приймають натуральні значення) такі, що для будь-яких двох натуральних чисел aa та bb існує невироджений трикутник, довжини сторін якого дорівнюють трьом числам aa, f(b)f(b) та f(b+f(a)−1)f\left(b + f(a) - 1\right). (Трикутник називається невиродженим, якщо його вершини не лежать на одній прямій).
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2009-006

Порядок стрибків коника поза точками множини M

Дані попарно різні натуральні числа a1a_1, a2a_2,..., ana_n, а також множина MM, яка складається з (n−1)(n - 1) натурального числа, але не містить число s=a1+a2+...+ans = a_1 + a_2 + ... + a_n. Коник має зробити nn стрибків праворуч вздовж числової прямої, починаючи з точки з координатою 00. При цьому довжини його стрибків мають дорівнювати числам a1a_1, a2a_2,..., ana_n, узятим у деякому порядку. Доведіть, що цей порядок можна вибрати таким чином, щоб коник жодного разу не приземлився у точці, яка має координату з множини MM.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2008-001

Шість точок кіл через ортоцентр на сторонах трикутника

Нехай HH – точка перетину висот гострокутного трикутника ABCABC. Коло з центром у середині сторони BCBC проходить через точку HH та перетинає пряму BCBC у точках A1A_1 та A2A_2. Аналогічно, коло з центром у середині сторони CACA проходить через точку HH та перетинає пряму CACA у точках B1B_1 та B2B_2, коло з центром у середині сторони ABAB проходить через точку HH та перетинає пряму ABAB у точках C1C_1 та C2C_2. Доведіть, що точки A1,A2,B1,B2,C1,C2A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2 лежать на одному колі.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2008-002

Сума квадратів дробів при xyz = 1

а) Доведіть, що нерівність x2(x−1)2+y2(y−1)2+z2(z−1)2≥1\frac{x^2}{(x-1)^2} + \frac{y^2}{(y-1)^2} + \frac{z^2}{(z-1)^2} \ge 1 виконується для усіх відмінних від 11 дійсних чисел x,y,zx, y, z таких, що xyz=1xyz = 1. б) Доведіть, що вказана нерівність обертається на рівність для нескінченої кількості трійок відмінних від 11 раціональних чисел x,y,zx, y, z таких, що xyz=1xyz = 1.
10–11 класиПеретворення симетричних виразів
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2008-003

Нескінченно багато n із великим простим дільником n²+1

Доведіть, що існує нескінченно багато таких натуральних чисел nn, що число n2+1n^2 + 1 має простий дільник, більший за 2n+2n2n + \sqrt{2n}.
10–11 класиТеорема Евкліда про нескінченніст…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2008-004

Функціональне рівняння з рівністю добутків wx = yz

Знайдіть усі функції f:(0,+∞)↦(0,+∞)f : (0, +\infty) \mapsto (0, +\infty) (тобто функції, що визначені на множині усіх додатних чисел та приймають додатні значення) такі, що (f(w))2+(f(x))2f(y2)+f(z2)=w2+x2y2+z2\frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f\left(y^2\right) + f\left(z^2\right)} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} для довільних додатних w,x,y,zw, x, y, z які задовольняють рівність wx=yzwx = yz.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2008-005

Послідовності перемикань 2n ламп і відношення кількостей

Нехай nn та kk – такі натуральні числа, що k≥nk \ge n, а число k−nk-n парне. Є 2n2n ламп, які занумеровані числами 1,2,…,2n1, 2, \ldots, 2n, кожна з яких може знаходитись у одному з двох станів: увімк. (увімкнена) або вимк. (вимкнена). Спочатку всі лампи були вимкнені. Розглядаються впорядковані послідовності кроків: на кожному кроці рівно одна лампа змінює свій стан на протилежний (з увімк. на вимк. або з вимк. на увімк.). Позначимо через NN число таких послідовностей з kk кроків, що приводять до стану: усі лампи з 11-ї по nn-ту увімкнені, а усі лампи з (n+1)(n+1)-ї по (2n)(2n)-у вимкнені. Позначимо через MM число таких послідовностей з kk кроків, що приводять до стану: усі лампи з 11-ї по nn-ту увімкнені, усі лампи з (n+1)(n+1)-ї по (2n)(2n)-у вимкнені, але при цьому жодна з ламп з (n+1)(n+1)-ї по (2n)(2n)-у жодного разу не змінювала свого стану. Знайдіть значення відношення NM\dfrac{N}{M}.
10–11 класиБієкції

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.