Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

279 задач
Шорт-лист IMO
Шорт-лист IMOIMOSL-2008-012

Послідовність з умовою зростання НСД

Нехай a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots — послідовність натуральних чисел така, що найбільший спільний дільник будь-яких двох сусідніх членів більший за попередній член; символічно НСД(ai,ai+1)>ai−1\text{НСД}\left(a_{i}, a_{i+1}\right)>a_{i-1}. Доведіть, що an≥2na_{n} \geq 2^{n} для всіх n≥0n \geq 0.
10–11 класиМетод математичної індукції
Шорт-лист IMOIMOSL-2008-010

Ґратчаста кліка з фіксованою площею трикутника

На координатній площині розглянемо множину SS всіх точок із цілими координатами. Для натурального числа kk дві різні точки A,B∈SA, B \in S називатимемо kk-друзями, якщо існує така точка C∈SC \in S, що площа трикутника ABCA B C дорівнює kk. Множину T⊂ST \subset S називатимемо kk-клікою, якщо будь-які дві точки з TT є kk-друзями. Знайдіть найменше натуральне число kk, для якого існує kk-кліка з більш ніж 200 елементів.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Шорт-лист IMOIMOSL-2008-001

Рекурсивно задана функція на кратних 3

Для цілого mm позначимо через t(m)t(m) єдине число з {1,2,3}\{1,2,3\} таке, що m+t(m)m+t(m) кратне 33. Функція f:Z→Zf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} задовольняє f(−1)=0f(-1)=0, f(0)=1f(0)=1, f(1)=−1f(1)=-1 і f(2n+m)=f(2n−t(m))−f(m) для всіх цілих m,n≥0 при 2n>m.f\left(2^{n}+m\right)=f\left(2^{n}-t(m)\right)-f(m) \quad \text{ для всіх цілих } m, n \geq 0 \text{ при } 2^{n}>m. Доведіть, що f(3p)≥0f(3p) \geq 0 виконується для всіх цілих p≥0p \geq 0.
10–11 класиМетод математичної індукції
Шорт-лист IMOIMOSL-2008-013

Біноміальні коефіцієнти за модулем степеня двійки

Нехай nn — натуральне число. Доведіть, що числа (2n−10),(2n−11),(2n−12),…,(2n−12n−1−1)\binom{2^{n}-1}{0}, \quad\binom{2^{n}-1}{1}, \quad\binom{2^{n}-1}{2}, \quad \ldots, \quad\binom{2^{n}-1}{2^{n-1}-1} конгруентні за модулем 2n2^{n} числам 1,3,5,…,2n−11,3,5, \ldots, 2^{n}-1 у деякому порядку.
10–11 класиФакторизація біноміальних коефіці…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2008-006

Червоні точки перетину прямих

Нехай kk і nn — цілі числа, для яких 0≤k≤n−20 \leq k \leq n-2. Розглянемо множину LL з nn прямих на площині таких, що жодні дві з них не є паралельними і жодні три не мають спільної точки. Позначимо через II множину точок перетину прямих з LL. Нехай OO — точка площини, яка не лежить на жодній прямій з LL. Точку X∈IX \in I пофарбовано в червоний колір, якщо відкритий відрізок OXO X перетинає не більше ніж kk прямих з LL. Доведіть, що II містить принаймні 12(k+1)(k+2)\frac{1}{2}(k+1)(k+2) червоних точок.
10–11 класиДискретні набори точок та прямих…
Шорт-лист IMOIMOSL-2008-014

Функція із заданою кількістю дільників

Для кожного n∈Nn \in \mathbb{N} нехай d(n)d(n) позначає кількість (додатних) дільників числа nn. Знайдіть усі функції f:N→Nf: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} з такими властивостями: (i) d(f(x))=xd(f(x))=x для всіх x∈Nx \in \mathbb{N}; (ii) f(xy)f(x y) ділить (x−1)yxy−1f(x)(x-1) y^{x y-1} f(x) для всіх x,y∈Nx, y \in \mathbb{N}.
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Шорт-лист IMOIMOSL-2008-002

Нерівність для змінних з одиничним добутком

Нехай aa, bb, cc, dd — додатні дійсні числа такі, що abcd=1 і a+b+c+d>ab+bc+cd+daa b c d = 1 \quad \text{ і } \quad a + b + c + d > \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a} Доведіть, що a+b+c+d<ba+cb+dc+ada + b + c + d < \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{d}{c} + \frac{a}{d}
10–11 класиНерівність Коші
Шорт-лист IMOIMOSL-2008-003

Функціональне рівняння з пропущеним значенням

Нехай f:R→Nf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{N} — функція, яка задовольняє f(x+1f(y))=f(y+1f(x)) для всіх x,y∈Rf\left(x+\frac{1}{f(y)}\right)=f\left(y+\frac{1}{f(x)}\right) \quad \text{ для всіх } x, y \in \mathbb{R} Доведіть, що існує натуральне число, яке не є значенням функції ff.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Шорт-лист IMOIMOSL-2008-007

Точка з рівними сумами кутів у чотирикутнику

Дано опуклий чотирикутник ABCDA B C D. Доведіть, що існує точка PP всередині чотирикутника така, що \angle P A B+\angle P D C=\angle P B C+\angle P A D=\angle P C D+\angle P B A=\angle P D A+\angle P C B=90^{\circ} \tag{1} тоді і тільки тоді, коли діагоналі ACA C і BDB D перпендикулярні.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист IMOIMOSL-2008-004

Симетрична нерівність для чотирьох дійсних чисел

Доведіть, що для будь-яких чотирьох додатних дійсних чисел aa, bb, cc, dd виконується нерівність (a−b)(a−c)a+b+c+(b−c)(b−d)b+c+d+(c−d)(c−a)c+d+a+(d−a)(d−b)d+a+b≥0\frac{(a-b)(a-c)}{a+b+c}+\frac{(b-c)(b-d)}{b+c+d}+\frac{(c-d)(c-a)}{c+d+a}+\frac{(d-a)(d-b)}{d+a+b} \geq 0 Знайдіть усі випадки рівності.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Шорт-лист IMOIMOSL-2007-009

Бінарна послідовність з нерівністю для ковзних сум

Нехай n>1n > 1 — ціле число. Знайдіть усі послідовності a1,a2,…,an2+na_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n^{2}+n}, що задовольняють такі умови: (a) ai∈{0,1}a_{i} \in \{0,1\} для всіх 1≤i≤n2+n1 \leq i \leq n^{2}+n; (b) ai+1+ai+2+…+ai+n<ai+n+1+ai+n+2+…+ai+2na_{i+1}+a_{i+2}+\ldots+a_{i+n} < a_{i+n+1}+a_{i+n+2}+\ldots+a_{i+2n} для всіх 0≤i≤n2−n0 \leq i \leq n^{2}-n.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2007-016

Подільність на різницю степенів

Знайдіть усі пари (k,n)(k, n) натуральних чисел, для яких 7k−3n7^{k}-3^{n} ділить k4+n2k^{4}+n^{2}.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Шорт-лист IMOIMOSL-2007-010

Внутрішній прямокутник у розбитті одиничного квадрата

Одиничний квадрат розбито на n>1n>1 прямокутників так, що їхні сторони паралельні сторонам квадрата. Будь-яка пряма, паралельна стороні квадрата, яка перетинає його внутрішність, перетинає також внутрішність деякого прямокутника. Доведіть, що в цьому розбитті існує прямокутник, який не має жодної точки на межі квадрата.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2007-001

Функції з нерівністю f(m + n) і значення f(2007)

Розглянемо функції f:N→Nf: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, які задовольняють умову f(m+n)≥f(m)+f(f(n))−1f(m+n) \geq f(m)+f(f(n))-1 для всіх m,n∈Nm, n \in \mathbb{N}. Знайдіть усі можливі значення f(2007)f(2007). (N\mathbb{N} позначає множину всіх натуральних чисел.)
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Шорт-лист IMOIMOSL-2007-011

Розфарбування чисел з подільністю суми

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких числа з множини S={1,2,…,n}S=\{1,2, \ldots, n\} можна пофарбувати в червоний і синій кольори так, щоб виконувалася така умова: множина S×S×SS \times S \times S містить рівно 20072007 впорядкованих трійок (x,y,z)(x, y, z) таких, що (i) x,y,zx, y, z мають однаковий колір і (ii) x+y+zx+y+z ділиться на nn.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Шорт-лист IMOIMOSL-2007-017

Підмножина, що уникає подільності знакозмінної суми на 47

Нехай XX — множина з 1000010000 цілих чисел, жодне з яких не ділиться на 4747. Доведіть, що існує 20072007-елементна підмножина YY множини XX така, що a−b+c−d+ea-b+c-d+e не ділиться на 4747 для будь-яких a,b,c,d,e∈Ya, b, c, d, e \in Y.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Шорт-лист IMOIMOSL-2007-005

Точка між основами трапеції та рівність кутів

Діагоналі трапеції ABCDABCD перетинаються в точці PP. Точка QQ лежить між паралельними прямими BCBC і ADAD так, що ∠AQD=∠CQB\angle AQD = \angle CQB, а пряма CDCD розділяє точки PP і QQ. Доведіть, що ∠BQP=∠DAQ\angle BQP = \angle DAQ.
10–11 класиГомотерія і подібність
Шорт-лист IMOIMOSL-2007-004

Нерівність суми-добутку для степенів

Нехай nn — натуральне число, а xx і yy — додатні дійсні числа такі, що xn+yn=1x^{n}+y^{n}=1. Доведіть, що (∑k=1n1+x2k1+x4k)(∑k=1n1+y2k1+y4k)<1(1−x)(1−y).\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1+x^{2 k}}{1+x^{4 k}}\right)\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1+y^{2 k}}{1+y^{4 k}}\right)<\frac{1}{(1-x)(1-y)} .
10–11 класиГеометрична прогресія2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2007-012

Ітероване розбиття з мінімізацією різниці сум

Нехай A0=(a1,…,an)A_{0} = (a_{1}, \ldots, a_{n}) — скінченна послідовність дійсних чисел. Для кожного k≥0k \geq 0 з послідовності Ak=(x1,…,xn)A_{k} = (x_{1}, \ldots, x_{n}) будуємо нову послідовність Ak+1A_{k+1} таким чином. 1. Вибираємо розбиття {1,…,n}=I∪J\{1, \ldots, n\} = I \cup J, де II і JJ — дві множини, що не перетинаються, так, щоб вираз ∣∑i∈Ixi−∑j∈Jxj∣\left|\sum_{i \in I} x_{i} - \sum_{j \in J} x_{j}\right| набував найменшого можливого значення. (Дозволяємо множинам II або JJ бути порожніми; у цьому випадку відповідна сума дорівнює 00.) Якщо таких розбиттів декілька, вибираємо довільне з них. 2. Покладаємо Ak+1=(y1,…,yn)A_{k+1} = (y_{1}, \ldots, y_{n}), де yi=xi+1y_{i} = x_{i} + 1, якщо i∈Ii \in I, і yi=xi−1y_{i} = x_{i} - 1, якщо i∈Ji \in J. Доведіть, що для деякого kk послідовність AkA_{k} містить елемент xx такий, що ∣x∣≥n/2|x| \geq n / 2.
10–11 класиНапівінваріанти
Шорт-лист IMOIMOSL-2007-018

Двійковий показник різниці біноміальних коефіцієнтів

Для кожного цілого k≥2k \geq 2, доведіть, що 23k2^{3k} ділить число (2k+12k)−(2k2k−1)\binom{2^{k+1}}{2^{k}} - \binom{2^{k}}{2^{k-1}}
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Шорт-лист IMOIMOSL-2007-002

Обмеженість із субадитивності та спадання на степенях двійки

Нехай c>2c>2, і нехай a(1),a(2),…a(1), a(2), \ldots — послідовність невід'ємних дійсних чисел така, що a(m+n) \leq 2 a(m)+2 a(n) \quad \text{ для всіх } m, n \geq 1, \tag{1} і a\left(2^{k}\right) \leq \frac{1}{(k+1)^{c}} \quad \text{ для всіх } k \geq 0 \tag{2} Доведіть, що послідовність a(n)a(n) обмежена.
10–11 класиСуми послідовностей
Шорт-лист IMOIMOSL-2007-006

Незмінна площа трикутника з хорд описаного кола

Нехай ABCABC — фіксований трикутник, а A1,B1,C1A_{1}, B_{1}, C_{1} — середини сторін BC,CA,ABBC, CA, AB відповідно. Нехай PP — змінна точка на описаному колі. Нехай прямі PA1,PB1,PC1PA_{1}, PB_{1}, PC_{1} перетинають описане коло знову в точках A′,B′,C′A', B', C' відповідно. Припустимо, що точки A,B,C,A′,B′,C′A, B, C, A', B', C' різні, і прямі AA′,BB′,CC′AA', BB', CC' утворюють трикутник. Доведіть, що площа цього трикутника не залежить від PP.
10–11 класиПроєктивна геометрія2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2007-019

Сюр'єктивна функція з подільністю на прості числа

Знайдіть усі сюр'єктивні функції f:N→Nf: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} такі, що для будь-яких m,n∈Nm, n \in \mathbb{N} і кожного простого числа pp число f(m+n)f(m+n) ділиться на pp тоді й лише тоді, коли f(m)+f(n)f(m)+f(n) ділиться на pp. (N\mathbb{N} — множина всіх натуральних чисел.)
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Шорт-лист IMOIMOSL-2007-013

Одноколірний прямокутник у пофарбованих смугах

У декартовій координатній площині означимо смугу Sn={(x,y)∣n≤x<n+1}S_{n}=\{(x, y) \mid n \leq x<n+1\} для кожного цілого nn. Припустимо, що кожна смуга SnS_{n} пофарбована або в червоний, або в синій колір, і нехай aa і bb — два різні натуральні числа. Доведіть, що існує прямокутник зі сторонами aa і bb такий, що його вершини мають однаковий колір.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Шорт-лист IMOIMOSL-2007-020

Дільник виду 8kn-1 числа (4k²-1)²

Нехай kk — натуральне число. Доведіть, що число (4k2−1)2\left(4 k^{2}-1\right)^{2} має додатний дільник вигляду 8kn−18 k n-1 тоді й лише тоді, коли kk парне.
10–11 класиСтрибки Вієта

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.