Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

279 задач
Шорт-лист IMO
Шорт-лист IMOIMOSL-2007-007

Мінімальне відношення для суми площ чотирикутника

Знайдіть найменше додатне дійсне число kk з такою властивістю. Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник, а точки A1,B1,C1A_{1}, B_{1}, C_{1} і D1D_{1} лежать на сторонах AB,BCAB, BC, CDCD і DADA відповідно. Розглянемо площі трикутників AA1D1,BB1A1,CC1B1AA_{1}D_{1}, BB_{1}A_{1}, CC_{1}B_{1} і DD1C1DD_{1}C_{1}; нехай SS — сума двох найменших з них, а S1S_{1} — площа чотирикутника A1B1C1D1A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}. Тоді завжди виконується kS1≥Sk S_{1} \geq S.
10–11 класиВідношення площ трикутників
Шорт-лист IMOIMOSL-2007-003

Циклічна сума з квадратичною умовою

Нехай a1,a2,…,a100a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{100} — невід'ємні дійсні числа такі, що a12+a22+…+a1002=1a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots+a_{100}^{2}=1. Доведіть, що a12a2+a22a3+…+a1002a1<1225a_{1}^{2} a_{2}+a_{2}^{2} a_{3}+\ldots+a_{100}^{2} a_{1}<\frac{12}{25}
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Шорт-лист IMOIMOSL-2007-014

Перетинні сім'ї підмножин понад оцінку

Нехай α<3−52\alpha < \frac{3 - \sqrt{5}}{2} — додатне дійсне число. Доведіть, що існують натуральні числа nn і p>α⋅2np > \alpha \cdot 2^{n}, для яких можна вибрати 2p2p попарно різних підмножин S1,…,Sp,T1,…,TpS_{1}, \ldots, S_{p}, T_{1}, \ldots, T_{p} множини {1,2,…,n}\{1, 2, \ldots, n\} таких, що Si∩Tj≠∅S_{i} \cap T_{j} \neq \varnothing для всіх 1≤i,j≤p1 \leq i, j \leq p.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист IMOIMOSL-2007-021

Кратність показників простих чисел у факторіалі

Для простого pp і натурального числа nn позначимо через νp(n)\nu_{p}(n) показник входження pp у розклад числа n!n! на прості множники. Нехай дано натуральне число dd і скінченну множину {p1,…,pk}\{p_{1}, \ldots, p_{k}\} простих чисел. Доведіть, що існує нескінченно багато натуральних чисел nn таких, що d∣νpi(n)d \mid \nu_{p_{i}}(n) для всіх 1≤i≤k1 \leq i \leq k.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2007-008

Дотик вписаних кіл і колінеарність у чотирикутнику

Точка PP лежить на стороні ABAB опуклого чотирикутника ABCDABCD. Нехай ω\omega — вписане коло трикутника CPDCPD, а II — його інцентр. Припустімо, що ω\omega дотикається до вписаних кіл трикутників APDAPD і BPCBPC в точках KK і LL відповідно. Нехай прямі ACAC і BDBD перетинаються в точці EE, а прямі AKAK і BLBL перетинаються в точці FF. Доведіть, що точки EE, II і FF лежать на одній прямій.
10–11 класиГомотерія і подібність
Шорт-лист IMOIMOSL-2007-015

Одиничні рівносторонні трикутники в опуклому многокутнику

Дано опуклий nn-кутник PP на площині. Для кожних трьох вершин многокутника PP розглянемо трикутник, визначений ними. Назвемо такий трикутник хорошим, якщо всі його сторони мають одиничну довжину. Доведіть, що хороших трикутників не більше ніж 23n\frac{2}{3} n.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-012

Перемикання ламп за станом сусідів

Маємо n≥2n \geq 2 ламп L1,…,LnL_{1}, \ldots, L_{n} в ряд, кожна з яких або увімкнена, або вимкнена. Щосекунди ми одночасно змінюємо стан кожної лампи за таким правилом: - якщо лампа LiL_{i} та її сусіди (лише один сусід для i=1i=1 або i=ni=n, два сусіди для інших ii) перебувають в однаковому стані, то LiL_{i} вимикається; - інакше LiL_{i} вмикається. Спочатку всі лампи вимкнені, крім найлівішої, яка увімкнена. a. Доведіть, що існує нескінченно багато цілих чисел nn, для яких усі лампи зрештою виявляться вимкненими. b. Доведіть, що існує нескінченно багато цілих чисел nn, для яких лампи ніколи не будуть усі вимкненими.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-001

Послідовність із цілою та дробовою частинами

Послідовність дійсних чисел a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots задано формулою ai+1=⌊ai⌋⋅⟨ai⟩ при i≥0a_{i+1}=\left\lfloor a_{i}\right\rfloor \cdot\left\langle a_{i}\right\rangle \quad \text{ при } \quad i \geq 0 де a0a_{0} — довільне дійсне число, ⌊ai⌋\left\lfloor a_{i}\right\rfloor позначає найбільше ціле число, яке не перевищує aia_{i}, а ⟨ai⟩=ai−⌊ai⌋\left\langle a_{i}\right\rangle=a_{i}-\left\lfloor a_{i}\right\rfloor. Доведіть, що ai=ai+2a_{i}=a_{i+2} для достатньо великих ii.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-019

Раціональність підпослідовності десяткових цифр

Для x∈(0,1)x \in (0,1) нехай y∈(0,1)y \in (0,1) — число, nn-та цифра якого після десяткової коми дорівнює (2n)\left(2^{n}\right)-й цифрі числа xx після десяткової коми. Доведіть, що якщо xx — раціональне число, то yy — також раціональне.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-013

Рівнобедрені трикутники з непарними сторонами

Діагональ правильного 2006-кутника називається непарною, якщо її кінці ділять межу на дві частини, кожна з яких складається з непарної кількості сторін. Сторони також вважаються непарними діагоналями. Припустимо, що 2006-кутник розбито на трикутники 2003 неперетинними діагоналями. Знайдіть найбільшу можливу кількість рівнобедрених трикутників з двома непарними сторонами.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-006

Точки на одному колі в побудові з трапецією

Нехай ABCDABCD — трапеція з паралельними сторонами AB>CDAB > CD. Точки KK і LL лежать на відрізках ABAB і CDCD відповідно так, що AK/KB=DL/LCAK / KB = DL / LC. Припустимо, що на відрізку KLKL існують точки PP і QQ, які задовольняють ∠APB=∠BCDі∠CQD=∠ABC.\angle APB = \angle BCD \quad \text{і} \quad \angle CQD = \angle ABC. Доведіть, що точки PP, QQ, BB і CC лежать на одному колі.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-002

Рекурентно задана додатна послідовність

Послідовність дійсних чисел a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots визначено рекурентно так: a0=−1,∑k=0nan−kk+1=0 при n≥1a_{0}=-1, \quad \sum_{k=0}^{n} \frac{a_{n-k}}{k+1}=0 \quad \text{ при } \quad n \geq 1 Доведіть, що an>0a_{n}>0 при n≥1n \geq 1.
10–11 класиМетод математичної індукції
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-005

Лінійні нерівності для сум Фібоначчі

Послідовність c0,c1,…,cn,…c_{0}, c_{1}, \ldots, c_{n}, \ldots задано умовами c0=1c_{0}=1, c1=0c_{1}=0 і cn+2=cn+1+cnc_{n+2}=c_{n+1}+c_{n} для n≥0n \geq 0. Розглянемо множину SS впорядкованих пар (x,y)(x, y), для яких існує скінченна множина JJ натуральних чисел така, що x=∑j∈Jcjx=\sum_{j \in J} c_{j}, y=∑j∈Jcj−1y=\sum_{j \in J} c_{j-1}. Доведіть, що існують дійсні числа α\alpha, β\beta і mm, MM з такою властивістю: впорядкована пара невід'ємних цілих чисел (x,y)(x, y) задовольняє нерівність m<αx+βy<Mm<\alpha x+\beta y<M тоді й лише тоді, коли (x,y)∈S(x, y) \in S. N. B. Сума за елементами порожньої множини вважається рівною 00.
10–11 класиЧисла Фібоначі
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-014

Опуклі многокутники зі зваженою сумою

Нехай SS — скінченна множина точок на площині, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Для кожного опуклого многокутника PP, вершини якого належать SS, нехай a(P)a(P) — кількість вершин PP, а b(P)b(P) — кількість точок SS, які лежать поза PP. Доведіть, що для кожного дійсного числа xx ∑Pxa(P)(1−x)b(P)=1,\sum_{P} x^{a(P)}(1-x)^{b(P)}=1, де сума береться за всіма опуклими многокутниками з вершинами в SS. Зауваження. Відрізок, точка й порожня множина вважаються опуклими многокутниками з 2, 1 і 0 вершинами відповідно.
10–11 класиБієкції2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-020

Монотонність послідовності із сумою цілих частин

Послідовність f(1),f(2),f(3),…f(1), f(2), f(3), \ldots задано формулою f(n)=1n(⌊n1⌋+⌊n2⌋+⋯+⌊nn⌋),f(n)=\frac{1}{n}\left(\left\lfloor\frac{n}{1}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{n}{n}\right\rfloor\right), де ⌊x⌋\lfloor x\rfloor позначає цілу частину числа xx. a. Доведіть, що нерівність f(n+1)>f(n)f(n+1)>f(n) виконується нескінченно часто. b. Доведіть, що нерівність f(n+1)<f(n)f(n+1)<f(n) виконується нескінченно часто.
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-015

Матриці перестановок через перемикання прямокутників

Торт має форму квадрата n×nn \times n, складеного з n2n^2 одиничних квадратиків. Полуниці лежать на деяких одиничних квадратиках так, що кожен рядок і кожен стовпчик містить рівно одну полуницю; назвемо таке розташування A\mathcal{A}. Нехай B\mathcal{B} — інше таке розташування. Припустимо, що кожен клітчастий прямокутник з однією вершиною у верхньому лівому куті торта містить не менше полуниць розташування B\mathcal{B}, ніж розташування A\mathcal{A}. Доведіть, що розташування B\mathcal{B} можна отримати з A\mathcal{A}, виконавши кілька перемикань, означених так: Перемикання полягає у виборі клітчастого прямокутника лише з двома полуницями, розташованими в його верхньому правому куті та нижньому лівому куті, і переміщенні цих двох полуниць до двох інших кутів цього прямокутника.
10–11 класиНапівінваріанти
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-003

Нерівність для суми дробів із добутками

Доведіть нерівність ∑i<jaiajai+aj≤n2(a1+a2+⋯+an)∑i<jaiaj\sum_{i<j} \frac{a_{i} a_{j}}{a_{i}+a_{j}} \leq \frac{n}{2\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)} \sum_{i<j} a_{i} a_{j} для додатних дійсних чисел a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}.
10–11 класиПеретворення симетричних виразів2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-021

Цілі розв’язки показникового діофантового рівняння

Знайдіть усі цілі розв’язки рівняння x7−1x−1=y5−1\frac{x^{7}-1}{x-1}=y^{5}-1
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-004

Нерівність із коренями зі сторін трикутника

Нехай a,b,ca, b, c — сторони трикутника. Доведіть, що b+c−ab+c−a+c+a−bc+a−b+a+b−ca+b−c≤3.\frac{\sqrt{b+c-a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{c+a-b}}{\sqrt{c}+\sqrt{a}-\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{a+b-c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}} \leq 3 .
10–11 класиЧислові нерівності2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-007

Зовнівписане коло і перпендикулярність

У трикутнику ABCA B C нехай JJ — центр зовнівписаного кола, яке дотикається до сторони BCB C в точці A1A_{1}, а до продовжень сторін ACA C і ABA B — у точках B1B_{1} і C1C_{1} відповідно. Припустимо, що прямі A1B1A_{1} B_{1} і ABA B перпендикулярні й перетинаються в точці DD. Нехай EE — основа перпендикуляра, проведеного з C1C_{1} до прямої DJD J. Знайдіть кути ∠BEA1\angle B E A_{1} і ∠AEB1\angle A E B_{1}.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-016

Існування симетричних турнірів

(n,k)(n, k)-турніром називається змагання з nn учасниками, що проводиться в kk турах, таке, що: (i) Кожен учасник грає в кожному турі, і будь-які два учасники зустрічаються не більше одного разу. (ii) Якщо учасник AA зустрічається з учасником BB у турі ii, учасник CC зустрічається з учасником DD у турі ii, а учасник AA зустрічається з учасником CC у турі jj, то учасник BB зустрічається з учасником DD у турі jj. Визначте всі пари (n,k)(n, k), для яких існує (n,k)(n, k)-турнір.
10–11 класиЗв’язність
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-022

Локальні чемпіони у лінійних діофантових вагах

Нехай a>b>1a > b > 1 — взаємно прості натуральні числа. Визначимо вагу цілого числа cc, позначену через w(c)w(c), як найменше можливе значення ∣x∣+∣y∣|x| + |y|, взяте за всіма парами цілих чисел xx і yy такими, що ax+by=c.a x + b y = c. Ціле число cc називається локальним чемпіоном, якщо w(c)≥w(c±a)w(c) \geq w(c \pm a) і w(c)≥w(c±b)w(c) \geq w(c \pm b). Знайдіть усіх локальних чемпіонів та визначте їх кількість.
10–11 класиЛінійні діофантові рівняння
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-008

Конкурентність прямих у конфігурації дотичних кіл

Кола ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} з центрами O1O_{1} і O2O_{2} зовні дотикаються в точці DD і внутрішньо дотикаються до кола ω\omega в точках EE і FF відповідно. Пряма tt — спільна дотична до кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} в точці DD. Нехай ABAB — діаметр кола ω\omega, перпендикулярний до прямої tt, причому AA, EE і O1O_{1} лежать по один бік від прямої tt. Доведіть, що прямі AO1A O_{1}, BO2B O_{2}, EFEF і tt перетинаються в одній точці.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-017

Замощення дірявого трикутника ромбами

Дірявий трикутник — це спрямований вгору рівносторонній трикутник зі стороною nn, з якого вирізано nn спрямованих вгору одиничних трикутних отворів. Ромб — це одиничний ромб з кутами 60∘60^{\circ}-120∘120^{\circ}. Доведіть, що дірявий трикутник TT можна замостити ромбами тоді й лише тоді, коли виконується така умова: кожен спрямований вгору рівносторонній трикутник зі стороною kk у TT містить не більше ніж kk отворів, при 1≤k≤n1 \leq k \leq n.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-023

Степінь двійки плюс показник за модулем

Доведіть, що для кожного натурального числа nn існує ціле число mm таке, що 2m+m2^{m}+m ділиться на nn.
10–11 класиСтепені за модулем. Періодичність…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.