Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

279 задач
Шорт-лист IMO
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-008

Вписаний чотирикутник з дотичними колами

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник, усі сторони якого попарно різні. Нехай OO — центр описаного кола чотирикутника ABCDABCD. Внутрішні бісектриси кутів ∠ABC\angle ABC і ∠ADC\angle ADC перетинають ACAC у точках B1B_{1} і D1D_{1} відповідно. Нехай OBO_{B} — центр кола, яке проходить через BB і дотикається до прямої ACAC у точці D1D_{1}. Аналогічно, нехай ODO_{D} — центр кола, яке проходить через DD і дотикається до прямої ACAC у точці B1B_{1}. Припустимо, що BD1∥DB1B D_{1} \parallel D B_{1}. Доведіть, що OO лежить на прямій OBODO_{B} O_{D}.
10–11 класиГомотерія і подібність
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-002

Нерівність для суми нормованих дійсних чисел

Нехай n⩾2n \geqslant 2 — ціле число, а a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} — додатні дійсні числа такі, що a1+a2+⋯+an=1a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=1. Доведіть, що ∑k=1nak1−ak(a1+a2+⋯+ak−1)2<13.\sum_{k=1}^{n} \frac{a_{k}}{1-a_{k}}\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k-1}\right)^{2}<\frac{1}{3} .
10–11 класиСуми послідовностей3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-019

Подільність зваженої суми для перестановок

Знайдіть усі цілі числа n⩾2n \geqslant 2 з такою властивістю: будь-які nn попарно різних цілих чисел, сума яких не ділиться на nn, можна розташувати в деякому порядку a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} так, щоб nn ділило 1⋅a1+2⋅a2+⋯+n⋅an1 \cdot a_{1}+2 \cdot a_{2}+\cdots+n \cdot a_{n}.
10–11 класиРозв’язування конгруенцій ax ≡ b…
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-009

Рівносторонні трикутники в многокутниках зі стороною 1

Знайдіть усі цілі числа n⩾3n \geqslant 3, які мають таку властивість: кожен опуклий nn-кутник, усі сторони якого мають довжину 11, містить рівносторонній трикутник зі стороною 11. (Вважається, що кожен многокутник містить свою межу.)
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-015

Кролик на розфарбованій нескінченній сітці

Мисливець і невидимий кролик грають у гру на нескінченній клітинній дошці. Спочатку мисливець фіксує розфарбування клітин у скінченну кількість кольорів. Потім кролик таємно обирає клітину, з якої стартує. Щохвилини кролик повідомляє мисливцеві колір клітини, в якій він перебуває, а потім таємно переміщується в сусідню клітину, в якій він ще не був (дві клітини сусідні, якщо мають спільну сторону). Мисливець виграє, якщо через деякий скінченний час або - кролик не може ходити; або - мисливець може визначити клітину, з якої кролик стартував. Визначте, чи існує виграшна стратегія для мисливця.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-003

Нерівність для послідовності з квадратичною умовою

Нехай n⩾1n \geqslant 1 — ціле число, а x0,x1,…,xn+1x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n+1} — n+2n+2 невід'ємних дійсних чисел, які задовольняють xixi+1−xi−12⩾1x_{i} x_{i+1}-x_{i-1}^{2} \geqslant 1 для всіх i=1,2,…,ni=1,2, \ldots, n. Доведіть, що x0+x1+⋯+xn+xn+1>(2n3)3/2x_{0}+x_{1}+\cdots+x_{n}+x_{n+1}>\left(\frac{2 n}{3}\right)^{3 / 2}
10–11 класиНерівність Коші
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-020

Періодичність послідовності з умовою подільності

Нехай a1,a2,a3,…a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots — нескінченна послідовність натуральних чисел така, що an+2ma_{n+2m} ділить an+an+ma_{n} + a_{n+m} для всіх натуральних чисел nn і mm. Доведіть, що ця послідовність зрештою періодична, тобто існують натуральні числа NN і dd такі, що an=an+da_{n} = a_{n+d} для всіх n>Nn > N.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-016

Мінімальні блокувальні множини на дошці

Розглянемо клітчастий квадрат 3m×3m3m \times 3m, де mm — ціле число, більше за 11. Жабка сидить у лівій нижній кутовій клітинці SS і хоче дістатися до правої верхньої кутової клітинки FF. Жабка може стрибати з будь-якої клітинки або в наступну клітинку праворуч, або в наступну клітинку вгору. Деякі клітинки можуть бути липкими, і жабка потрапляє в пастку, щойно стрибає на таку клітинку. Множину XX клітинок називають блокувальною, якщо жабка не може дістатися з SS до FF, коли всі клітинки з XX липкі. Блокувальну множину називають мінімальною, якщо вона не містить меншої блокувальної множини. a. Доведіть, що існує мінімальна блокувальна множина, яка містить принаймні 3m2−3m3m^{2} - 3m клітинок. b. Доведіть, що кожна мінімальна блокувальна множина містить не більше ніж 3m23m^{2} клітинок. Зауваження. Приклад мінімальної блокувальної множини для m=2m=2 наведено нижче. Клітинки множини XX позначено літерами xx. | | | | | | FF | |:--- |:--- |:--- |:--- |:--- |:--- | | xx | xx | | | | | | | | xx | | | | | | | | xx | | | | | | | | xx | | | SS | | xx | | | |
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-017

Перестановки з попарним розділенням у стовпцях

Визначте найбільше NN, для якого існує таблиця TT цілих чисел з NN рядками та 100 стовпцями, що має такі властивості: (i) Кожен рядок містить числа 1,2,…,1001,2, \ldots, 100 у деякому порядку. (ii) Для будь-яких двох різних рядків rr і ss існує стовпець cc такий, що ∣T(r,c)−T(s,c)∣⩾2|T(r, c)-T(s, c)| \geqslant 2. Тут T(r,c)T(r, c) означає число на перетині рядка rr та стовпця cc.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-004

Циклічне функціональне рівняння на дійсних числах

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, які задовольняють (f(a)−f(b))(f(b)−f(c))(f(c)−f(a))=f(ab2+bc2+ca2)−f(a2b+b2c+c2a)(f(a)-f(b))(f(b)-f(c))(f(c)-f(a))=f\left(a b^{2}+b c^{2}+c a^{2}\right)-f\left(a^{2} b+b^{2} c+c^{2} a\right) для всіх дійсних чисел a,b,ca, b, c.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-010

Перпендикуляр з перетину дотичних

Нехай ω\omega — описане коло трикутника ABCA B C, а ΩA\Omega_{A} — його зовнівписане коло, яке дотикається до відрізка BCB C. Нехай XX і YY — точки перетину кіл ω\omega і ΩA\Omega_{A}. Нехай PP і QQ — проєкції AA на дотичні до кола ΩA\Omega_{A} у точках XX і YY відповідно. Дотична в точці PP до описаного кола трикутника APXA P X перетинає дотичну в точці QQ до описаного кола трикутника AQYA Q Y у точці RR. Доведіть, що AR⊥BCA R \perp B C.
10–11 класиПроєктивна геометрія2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-021

Ітерований многочлен за модулем

Для многочлена P(x)P(x) з цілими коефіцієнтами покладемо P1(x)=P(x)P^{1}(x)=P(x) і Pk+1(x)=P(Pk(x))P^{k+1}(x)= P\left(P^{k}(x)\right) при k⩾1k \geqslant 1. Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких існує многочлен P(x)P(x) з цілими коефіцієнтами такий, що для кожного цілого m⩾1m \geqslant 1 числа Pm(1),…,Pm(n)P^{m}(1), \ldots, P^{m}(n) дають рівно ⌈n/2m⌉\left\lceil n / 2^{m}\right\rceil різних остач при діленні на nn.
10–11 класиКитайська теорема про остачі
Шорт-лист IMOIMOSL-2020-005

Перестановки зі зваженими нерівностями

Нехай nn — натуральне число. Знайдіть кількість перестановок a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} послідовності 1,2,…,n1,2, \ldots, n, що задовольняють a1⩽2a2⩽3a3⩽…⩽nana_{1} \leqslant 2 a_{2} \leqslant 3 a_{3} \leqslant \ldots \leqslant n a_{n}
10–11 класиРекурентний підрахунок2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2020-001

Оптимальна стала в нерівності з коренем

Варіант 1. Нехай nn — натуральне число, і покладемо N=2nN=2^{n}. Знайдіть найменше дійсне число ana_{n} таке, що для всіх дійсних xx, x2N+12N⩽an(x−1)2+x.\sqrt[N]{\frac{x^{2 N}+1}{2}} \leqslant a_{n}(x-1)^{2}+x . Варіант 2. Для кожного натурального числа NN знайдіть найменше дійсне число bNb_{N} таке, що для всіх дійсних xx, x2N+12N⩽bN(x−1)2+x\sqrt[N]{\frac{x^{2 N}+1}{2}} \leqslant b_{N}(x-1)^{2}+x
10–11 класиНерівність Коші
Шорт-лист IMOIMOSL-2020-002

Одночлени в симетричному ідеалі

Нехай A\mathcal{A} позначає множину всіх многочленів від трьох змінних x,y,zx, y, z з цілими коефіцієнтами. Нехай B\mathcal{B} позначає підмножину A\mathcal{A}, утворену всіма многочленами, які можна подати у вигляді (x+y+z)P(x,y,z)+(xy+yz+zx)Q(x,y,z)+xyzR(x,y,z)(x+y+z) P(x, y, z)+(x y+y z+z x) Q(x, y, z)+x y z R(x, y, z) для деяких P,Q,R∈AP, Q, R \in \mathcal{A}. Знайдіть найменше невід'ємне ціле число nn таке, що xiyjzk∈Bx^{i} y^{j} z^{k} \in \mathcal{B} для всіх невід'ємних цілих чисел i,j,ki, j, k, які задовольняють i+j+k⩾ni+j+k \geqslant n.
10–11 класиЕлементарні симетричні многочлени
Шорт-лист IMOIMOSL-2020-006

Неперетинні чотирикутники з вершинами різного кольору

У правильному 100-кутнику 41 вершину пофарбовано в чорний колір, а решту 59 вершин пофарбовано в білий колір. Доведіть, що існують 24 опуклі чотирикутники Q1,…,Q24Q_{1}, \ldots, Q_{24}, вершини яких є вершинами 100-кутника, такі, що - чотирикутники Q1,…,Q24Q_{1}, \ldots, Q_{24} попарно не перетинаються, і - кожен чотирикутник QiQ_{i} має три вершини одного кольору й одну вершину іншого кольору.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Шорт-лист IMOIMOSL-2020-003

Відновлення многочлена за впорядкованими значеннями

Фокусниця збирається показати такий фокус. Вона оголошує глядачам натуральне число nn разом із 2n2n дійсними числами x1<…<x2nx_{1} < \ldots < x_{2n}. Далі один із глядачів таємно вибирає многочлен P(x)P(x) степеня nn із дійсними коефіцієнтами, обчислює 2n2n значень P(x1),…,P(x2n)P(x_{1}), \ldots, P(x_{2n}) і записує ці 2n2n значень на дошці в неспадному порядку. Після цього фокусниця оголошує глядачам таємний многочлен. Чи може фокусниця знайти стратегію, щоб виконати такий фокус?
10–11 класиЛінійні рівняння та системи
Шорт-лист IMOIMOSL-2020-004

Сума з обмеженою послідовністю та квадратними коренями

Нехай nn і kk — натуральні числа. Доведіть, що для a1,…,an∈[1,2k]a_{1}, \ldots, a_{n} \in [1,2^{k}] виконується ∑i=1naia12+…+ai2⩽4kn\sum_{i=1}^{n} \frac{a_{i}}{\sqrt{a_{1}^{2}+\ldots+a_{i}^{2}}} \leqslant 4 \sqrt{k n}
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2020-007

Мінімальні сідлові пари в матриці

Розглянемо довільну прямокутну таблицю зі скінченною кількістю рядків і стовпців, у клітинці в рядку rr і стовпці cc стоїть дійсне число a(r,c)a(r, c). Пару (R,CR, C), де RR — множина рядків, а CC — множина стовпців, називають сідловою парою, якщо виконуються такі дві умови: (i) Для кожного рядка r′r' існує r∈Rr \in R такий, що a(r,c)⩾a(r′,c)a(r, c) \geqslant a(r', c) для всіх c∈Cc \in C; (ii) Для кожного стовпця c′c' існує c∈Cc \in C такий, що a(r,c)⩽a(r,c′)a(r, c) \leqslant a(r, c') для всіх r∈Rr \in R. Сідлову пару (R,CR, C) називають мінімальною парою, якщо для кожної сідлової пари (R′,C′R', C'), для якої R′⊆RR' \subseteq R і C′⊆CC' \subseteq C, маємо R′=RR' = R і C′=CC' = C. Доведіть, що будь-які дві мінімальні пари містять однакову кількість рядків.
10–11 класиБієкції
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-005

Дотичні у точках перетину кола з трикутником

Нехай ABCABC — трикутник. Коло Γ\Gamma проходить через AA, перетинає відрізки ABAB і ACAC ще раз у точках DD і EE відповідно та перетинає відрізок BCBC у точках FF і GG так, що FF лежить між BB і GG. Дотична до кола BDFBDF у точці FF і дотична до кола CEGCEG у точці GG перетинаються в точці TT. Припустимо, що точки AA і TT різні. Доведіть, що пряма ATAT паралельна BCBC.
10–11 класиДотична кола
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-010

Послідовність з біноміальною властивістю суми

Нескінченна послідовність a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots (не обов'язково різних) цілих чисел має такі властивості: 0⩽ai⩽i0 \leqslant a_{i} \leqslant i для всіх цілих i⩾0i \geqslant 0, і (ka0)+(ka1)+⋯+(kak)=2k\binom{k}{a_{0}}+\binom{k}{a_{1}}+\cdots+\binom{k}{a_{k}}=2^{k} для всіх цілих k⩾0k \geqslant 0. Доведіть, що всі цілі числа N⩾0N \geqslant 0 трапляються в послідовності (тобто для всіх N⩾0N \geqslant 0 існує i⩾0i \geqslant 0 таке, що ai=Na_{i}=N).
10–11 класиВластивості біноміальних коефіціє…
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-017

Сума кубів дорівнює квадрату добутку

Знайдіть усі трійки (a,b,c)(a, b, c) натуральних чисел, таких, що a3+b3+c3=(abc)2a^{3} + b^{3} + c^{3} = (a b c)^{2}.
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-006

Рівні хорди в дотику вписаних кіл

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а DD, EE і FF — основи висот, проведених з AA, BB і CC на сторони BCBC, CACA і ABAB відповідно. Позначимо через ωB\omega_{B} і ωC\omega_{C} вписані кола трикутників BDFBDF і CDECDE, і нехай ці кола дотикаються до відрізків DFDF і DEDE в точках MM і NN відповідно. Нехай пряма MNMN перетинає кола ωB\omega_{B} і ωC\omega_{C} вдруге в точках P≠MP \neq M і Q≠NQ \neq N відповідно. Доведіть, що MP=NQMP = NQ.
10–11 класиОзнаки подібності
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-001

Екстремальний добуток за умови нульової суми

Нехай u1,u2,…,u2019u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{2019} — дійсні числа, які задовольняють u1+u2+⋯+u2019=0іu12+u22+⋯+u20192=1.u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{2019}=0 \quad \text{і} \quad u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+\cdots+u_{2019}^{2}=1 . Нехай a=min⁡(u1,u2,…,u2019)a=\min \left(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{2019}\right) і b=max⁡(u1,u2,…,u2019)b=\max \left(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{2019}\right). Доведіть, що ab⩽−12019a b \leqslant-\frac{1}{2019}
10–11 класиЧислові нерівності2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-011

Суми підмножин в обмеженому проміжку

Дано множину з nn блоків, кожен з яких важить принаймні 11; їхня сумарна вага дорівнює 2n2n. Доведіть, що для кожного дійсного числа rr такого, що 0⩽r⩽2n−20 \leqslant r \leqslant 2n-2, можна вибрати підмножину блоків, сумарна вага якої становить принаймні rr, але не більше за r+2r+2.
10–11 класиМетод математичної індукції2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.