Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

279 задач
Шорт-лист IMO
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-018

Кореневі множини, що містять різниці степенів двійки

Множину SS цілих чисел називаємо кореневою, якщо для будь-якого натурального числа nn та будь-яких a0,a1,…,an∈Sa_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n} \in S усі цілі корені многочлена a0+a1x+⋯+anxna_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n} x^{n} також належать SS. Знайдіть усі кореневі множини цілих чисел, які містять усі числа виду 2a−2b2^{a}-2^{b} для натуральних чисел aa і bb.
10–11 класиТеорема Ейлера2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-012

Лабіринт з кольоровими стінами

На плоскій рівнині в Камелоті король Артур будує лабіринт L\mathfrak{L}, що складається з nn стін, кожна з яких є нескінченною прямою. Жодні дві стіни не паралельні, і жодні три стіни не мають спільної точки. Потім Мерлін фарбує один бік кожної стіни повністю в червоний колір, а другий бік — повністю в синій. На перетині двох стін утворюються чотири кути: два діаметрально протилежні кути, де сходяться червоний і синій боки, один кут, де сходяться два червоні боки, і один кут, де сходяться два сині боки. У кожному такому перетині є двосторонні двері, що з'єднують два діаметрально протилежні кути, в яких сходяться боки різних кольорів. Після того як Мерлін пофарбує стіни, Моргана розставляє в лабіринті кількох лицарів. Лицарі можуть проходити крізь двері, але не можуть проходити крізь стіни. Нехай k(L)k(\mathfrak{L}) — найбільше число kk таке, що, як би Мерлін не пофарбував лабіринт L\mathfrak{L}, Моргана завжди може розмістити принаймні kk лицарів так, щоб жодні двоє з них ніколи не змогли зустрітися. Для кожного nn знайдіть усі можливі значення k(L)k(\mathfrak{L}), де L\mathfrak{L} — лабіринт з nn стінами.
10–11 класиЗв’язність2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-007

Точки-подвоєння чевіан і описане коло

Нехай PP — точка всередині трикутника ABCABC. Нехай пряма APAP перетинає сторону BCBC в A1A_{1}, нехай пряма BPBP перетинає сторону CACA в B1B_{1}, а нехай пряма CPCP перетинає сторону ABAB в C1C_{1}. Нехай A2A_{2} — така точка, що A1A_{1} є серединою відрізка PA2PA_{2}, нехай B2B_{2} — така точка, що B1B_{1} є серединою відрізка PB2PB_{2}, а нехай C2C_{2} — така точка, що C1C_{1} є серединою відрізка PC2PC_{2}. Доведіть, що точки A2,B2A_{2}, B_{2} і C2C_{2} не можуть усі лежати строго всередині описаного кола трикутника ABCABC.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-008

Точка п'ятикутника з рівними відстанями

Нехай ABCDEA B C D E — опуклий п’ятикутник, у якому CD=DEC D = D E і ∠EDC≠2⋅∠ADB\angle E D C \neq 2 \cdot \angle A D B. Припустимо, що точка PP розташована всередині п’ятикутника так, що AP=AEA P = A E і BP=BCB P = B C. Доведіть, що PP лежить на діагоналі CEC E тоді й лише тоді, коли area⁡(BCD)+area⁡(ADE)=area⁡(ABD)+area⁡(ABP)\operatorname{area}(B C D) + \operatorname{area}(A D E) = \operatorname{area}(A B D) + \operatorname{area}(A B P).
10–11 класиРозбиття і перекидання площ2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-019

Простота числа з біноміальної подільності

Нехай aa — натуральне число. Будемо казати, що натуральне число bb є aa-хорошим, якщо (anb)−1\binom{a n}{b}-1 ділиться на an+1a n+1 для всіх натуральних чисел nn, для яких an⩾ba n \geqslant b. Припустимо, що bb — натуральне число таке, що bb є aa-хорошим, але b+2b+2 не є aa-хорошим. Доведіть, що b+1b+1 — просте число.
10–11 класиФакторизація біноміальних коефіці…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-002

Сума добутків дробів для n різних дійсних чисел

Нехай x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} — різні дійсні числа. Доведіть, що ∑1⩽i⩽n∏j≠i1−xixjxi−xj={0, якщо n парне 1, якщо n непарне \sum_{1 \leqslant i \leqslant n} \prod_{j \neq i} \frac{1-x_{i} x_{j}}{x_{i}-x_{j}}= \begin{cases}0, & \text{ якщо } n \text{ парне } \\ 1, & \text{ якщо } n \text{ непарне }\end{cases}
10–11 класиІнтерполяційні многочлени
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-013

Розбиття кутів многокутника на рівні суми

Нехай n>1n>1 — ціле число. Припустимо, що на площині дано 2n2n точок, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Ці точки треба позначити A1,A2,…,A2nA_{1}, A_{2}, \ldots, A_{2n} у деякому порядку. Далі розглянемо 2n2n кутів ∠A1A2A3,∠A2A3A4,…,∠A2n−2A2n−1A2n,∠A2n−1A2nA1,∠A2nA1A2\angle A_{1}A_{2}A_{3}, \angle A_{2}A_{3}A_{4}, \ldots, \angle A_{2n-2}A_{2n-1}A_{2n}, \angle A_{2n-1}A_{2n}A_{1}, \angle A_{2n}A_{1}A_{2}. Кожен кут вимірюємо так, щоб дістати найменше додатне значення (тобто між 0∘0^{\circ} і 180∘180^{\circ}). Доведіть, що існує таке впорядкування даних точок, що утворені 2n2n кутів можна розбити на дві групи так, щоб сума кутів однієї групи дорівнювала сумі кутів іншої групи.
10–11 класиГеометричні конфігурації точок4 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-003

Симетричний многочлен з кубічною інваріантністю

Многочлен P(x,y,z)P(x, y, z) від трьох змінних з дійсними коефіцієнтами задовольняє тотожності P(x,y,z)=P(x,y,xy−z)=P(x,zx−y,z)=P(yz−x,y,z)P(x, y, z) = P(x, y, x y - z) = P(x, z x - y, z) = P(y z - x, y, z) Доведіть, що існує многочлен F(t)F(t) від однієї змінної такий, що P(x,y,z)=F(x2+y2+z2−xyz)P(x, y, z) = F\left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y z\right)
10–11 класиМногочлени багатьох змінних
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-020

Множина різниць, що уникає послідовності Бітті

Нехай H={⌊i2⌋:i∈Z>0}={1,2,4,5,7,…}H=\{\lfloor i \sqrt{2}\rfloor: i \in \mathbb{Z}_{>0}\}=\{1,2,4,5,7, \ldots\}, і нехай nn — натуральне число. Доведіть, що існує стала CC така, що якщо A⊂{1,2,…,n}A \subset\{1,2, \ldots, n\} задовольняє ∣A∣⩾Cn|A| \geqslant C \sqrt{n}, то існують a,b∈Aa, b \in A такі, що a−b∈Ha-b \in H. (Тут Z>0\mathbb{Z}_{>0} — множина натуральних чисел, а ⌊z⌋\lfloor z\rfloor позначає найбільше ціле число, яке не перевищує zz.)
10–11 класиЦіла та дробова частини числа4 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-009

Хорда вписаного кола і кути описаного кола

Нехай II — центр вписаного кола гострокутного трикутника ABCA B C. Нехай вписане коло дотикається до сторін BCB C, CAC A і ABA B у точках DD, EE і FF відповідно. Нехай пряма EFE F перетинає описане коло трикутника в точках PP і QQ, причому FF лежить між EE і PP. Доведіть, що ∠DPA+∠AQD=∠QIP\angle D P A + \angle A Q D = \angle Q I P.
10–11 класиПоворотна гомотетія3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-021

Сума попарно взаємно простих степенів

Доведіть, що існує стала c>0c>0 і нескінченно багато натуральних чисел nn з такою властивістю: існує нескінченно багато натуральних чисел, які не можна подати у вигляді суми менше ніж cnlog⁡(n)c n \log (n) попарно взаємно простих n-хn^{\text{-х}} степенів.
10–11 класиТеорема Ейлера
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-014

Гра з камінцями та розбиттям коробок

На столі в ряд стоїть 60 порожніх коробок B1,…,B60B_{1}, \ldots, B_{60}, а також є необмежений запас камінців. Для заданого натурального числа nn Аліса та Боб грають у таку гру. У першому раунді Аліса бере nn камінців і розкладає їх у 60 коробок на свій розсуд. Кожен наступний раунд складається з двох кроків: a. Боб вибирає ціле число kk, де 1⩽k⩽591 \leqslant k \leqslant 59 і розбиває коробки на дві групи B1,…,BkB_{1}, \ldots, B_{k} та Bk+1,…,B60B_{k+1}, \ldots, B_{60}. b. Аліса вибирає одну з цих двох груп, додає по одному камінцю в кожну коробку цієї групи та забирає по одному камінцю з кожної коробки іншої групи. Боб виграє, якщо наприкінці будь-якого раунду деяка коробка виявляється порожньою. Знайдіть найменше nn, при якому Аліса може не дати Бобу виграти.
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-004

Цілозначна функція з рідкісними значеннями

Нехай Z\mathbb{Z} — множина цілих чисел. Розглянемо функції f:Z→Zf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, які задовольняють f(f(x+y)+y)=f(f(x)+y)f(f(x+y)+y)=f(f(x)+y) для всіх цілих чисел xx і yy. Для такої функції кажемо, що ціле число vv є ff-рідкісним, якщо множина Xv={x∈Z:f(x)=v}X_{v}=\{x \in \mathbb{Z}: f(x)=v\} є скінченною і непорожньою. a. Доведіть, що існує така функція ff, для якої існує ff-рідкісне ціле число. b. Доведіть, що жодна така функція ff не може мати більше одного ff-рідкісного цілого числа.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-015

Турніри з малою кількістю вихідних доріг

Аліса має карту Дивокраю — країни, що складається з n⩾2n \geqslant 2 міст. Для кожної пари міст існує вузька дорога, що веде від одного міста до іншого. Одного дня всі дороги оголошено односторонніми. Аліса не має інформації про напрямки доріг, але Червовий Король запропонував їй допомогти. Їй дозволено ставити йому низку запитань. У кожному запитанні по черзі Аліса обирає пару міст, а Червовий Король повідомляє їй напрямок дороги, що з'єднує ці два міста. Аліса хоче дізнатися, чи існує хоча б одне місто в Дивокраї з не більш ніж однією вихідною дорогою. Доведіть, що вона завжди може це з'ясувати, поставивши не більше ніж 4n4 n запитань.
10–11 класиОрієнтовані графи
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-016

Множина з обмеженими масштабами відстаней

Для будь-яких двох різних дійсних чисел xx і yy визначимо D(x,y)D(x, y) як єдине ціле число dd, що задовольняє 2d⩽∣x−y∣<2d+12^{d} \leqslant |x-y| < 2^{d+1}. Нехай дано множину дійсних чисел F\mathcal{F} та елемент x∈Fx \in \mathcal{F}; скажемо, що масштабами xx у множині F\mathcal{F} є значення D(x,y)D(x, y) для y∈Fy \in \mathcal{F} за умови x≠yx \neq y. Нехай kk — задане натуральне число. Припустимо, що кожен елемент xx множини F\mathcal{F} має не більше ніж kk різних масштабів у множині F\mathcal{F} (зауважимо, що ці масштаби можуть залежати від xx). Який найбільший можливий розмір множини F\mathcal{F}?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист IMOIMOSL-2018-009

Добутки рядків і стовпців таблиці

Нехай n>1n > 1 — натуральне число. Кожна клітинка таблиці n×nn \times n містить ціле число. Припустімо, що виконуються такі умови: (i) Кожне число в таблиці порівнянне з 11 за модулем nn; (ii) Сума чисел у будь-якому рядку, а також сума чисел у будь-якому стовпці, порівнянна з nn за модулем n2n^{2}. Нехай RiR_{i} — добуток чисел i-гоi^{\text{-го}} рядка, а CjC_{j} — добуток чисел j-гоj^{\text{-го}} стовпця. Доведіть, що суми R1+⋯+RnR_{1} + \cdots + R_{n} і C1+⋯+CnC_{1} + \cdots + C_{n} порівнянні за модулем n4n^{4}.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2018-005

Максимальне розміщення коней, які не атакують один одного

Квіні та Горст грають у гру на шаховій дошці 20×2020 \times 20. На початку дошка порожня. У кожному турі Горст ставить чорного коня на вільну клітинку так, щоб його новий кінь не атакував жодного з попередніх коней. Потім Квіні ставить білого ферзя на вільну клітинку. Гра завершується, коли хтось із гравців не може зробити хід. Знайдіть найбільше додатне KK таке, що незалежно від стратегії Квіні Горст може поставити на дошку щонайменше KK коней.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Шорт-лист IMOIMOSL-2018-003

Суми обернених чисел з підмножин

Для будь-якої множини SS натуральних чисел доведіть, що виконується принаймні одне з двох тверджень: (1) Існують різні скінченні підмножини FF і GG множини SS такі, що ∑x∈F1/x=∑x∈G1/x\sum_{x \in F} 1 / x = \sum_{x \in G} 1 / x; (2) Існує додатне раціональне число r<1r < 1 таке, що ∑x∈F1/x≠r\sum_{x \in F} 1 / x \neq r для всіх скінченних підмножин FF множини SS.
10–11 класиГеометрична прогресія2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2018-006

Антипаскалева піраміда з великою кількістю рядків

Антипаскалевою пірамідою називають скінченну множину чисел, розміщених у трикутному масиві так, що перший рядок масиву містить одне число, другий рядок містить два числа, третій рядок містить три числа і так далі; і, крім чисел нижнього рядка, кожне число дорівнює абсолютному значенню різниці двох чисел, що стоять під ним. Наприклад, трикутник нижче — це антипаскалева піраміда з чотирма рядками, у якій кожне ціле число від 1 до 1+2+3+4=101+2+3+4=10 трапляється рівно один раз: 42 65 7 18 3 10 9.\begin{aligned} & 4 \\ & 2\ 6 \\ & 5\ 7\ 1 \\ & 8\ 3\ 10\ 9 . \end{aligned} Чи можна утворити антипаскалеву піраміду з 2018 рядками, використавши кожне ціле число від 1 до 1+2+⋯+20181+2+\cdots+2018 рівно один раз?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист IMOIMOSL-2018-007

Мінімальна вартість проживання в круговому турнірі

Нехай kk — натуральне число. Оргкомітет тенісного турніру має скласти розклад матчів для 2k2k гравців так, щоб кожні два гравці зіграли між собою один раз, кожного дня грався рівно один матч, і кожен гравець прибуває на місце турніру в день свого першого матчу, а від’їжджає в день свого останнього матчу. За кожен день присутності гравця на турнірі комітет має сплатити готелю 1 монету. Організатори хочуть скласти розклад так, щоб мінімізувати загальну вартість проживання всіх гравців. Визначте цю мінімальну вартість.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2018-001

Функціональне рівняння на додатних дійсних

Знайдіть усі функції f:(0,∞)→Rf:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, що задовольняють (x+1x)f(y)=f(xy)+f(yx)\left(x+\frac{1}{x}\right) f(y)=f(x y)+f\left(\frac{y}{x}\right) для всіх x,y>0x, y>0.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Шорт-лист IMOIMOSL-2018-008

Попарні збільшення з різними кроками

Нехай aa і bb — різні натуральні числа. На спочатку порожній дошці відбувається такий нескінченний процес. (i) Якщо на дошці є принаймні одна пара рівних чисел, ми вибираємо таку пару і збільшуємо одне з її чисел на aa, а друге — на bb. (ii) Якщо такої пари немає, ми записуємо двічі число 00. Доведіть, що незалежно від того, як ми робимо вибори в (i), операція (ii) буде виконана лише скінченну кількість разів.
10–11 класиРекурентний підрахунок2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2018-002

Многочлен, що збігається з цілою частиною суми

Нехай m,n⩾2m, n \geqslant 2 — цілі числа. Нехай f(x1,…,xn)f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) — многочлен з дійсними коефіцієнтами такий, що f(x1,…,xn)=⌊x1+…+xnm⌋ для всіх x1,…,xn∈{0,1,…,m−1}.f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\left\lfloor\frac{x_{1}+\ldots+x_{n}}{m}\right\rfloor \text{ для всіх } x_{1}, \ldots, x_{n} \in\{0,1, \ldots, m-1\} . Доведіть, що повний степінь многочлена ff не менший за nn.
10–11 класиМногочлени багатьох змінних
Шорт-лист IMOIMOSL-2018-010

Арифметична прогресія з різних дробів

Нехай n⩾2018n \geqslant 2018 — ціле число, і нехай a1,a2,…,an,b1,b2,…,bna_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n} — попарно різні натуральні числа, що не перевищують 5n5n. Припустимо, що послідовність a1b1,a2b2,…,anbn\frac{a_{1}}{b_{1}}, \frac{a_{2}}{b_{2}}, \ldots, \frac{a_{n}}{b_{n}} утворює арифметичну прогресію. Доведіть, що всі члени послідовності рівні.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Шорт-лист IMOIMOSL-2018-004

Описане коло, дотичне до прямої OP

Нехай OO — центр описаного кола, а Ω\Omega — описане коло гострокутного трикутника ABCA B C. Нехай PP — довільна точка на колі Ω\Omega, відмінна від A,B,CA, B, C та їхніх діаметрально протилежних точок на колі Ω\Omega. Позначимо центри описаних кіл трикутників AOP,BOPA O P, B O P і COPC O P через OA,OBO_{A}, O_{B} і OCO_{C} відповідно. Прямі ℓA,ℓB\ell_{A}, \ell_{B} і ℓC\ell_{C}, перпендикулярні до сторін BC,CAB C, C A і ABA B, проходять через OA,OBO_{A}, O_{B} і OCO_{C} відповідно. Доведіть, що описане коло трикутника, утвореного прямими ℓA,ℓB\ell_{A}, \ell_{B} і ℓC\ell_{C}, дотикається до прямої OPO P.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.