Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

279 задач
Шорт-лист IMO
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-013

Гра з десятковими цифрами за модулем простого числа

Нехай p⩾2p \geqslant 2 — просте число. Едуардо та Фернандо грають у таку гру, роблячи ходи по черзі: кожним ходом гравець, чия черга ходити, обирає індекс ii з множини {0,1,…,p−1}\{0,1, \ldots, p-1\}, який ще не обирали ні він, ні інший гравець, а потім обирає елемент aia_{i} з множини {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}. Едуардо ходить першим. Гра закінчується після того, як усі індекси i∈{0,1,…,p−1}i \in\{0,1, \ldots, p-1\} буде обрано. Тоді обчислюють таке число: M=a0+10⋅a1+⋯+10p−1⋅ap−1=∑j=0p−1aj⋅10jM=a_{0}+10 \cdot a_{1}+\cdots+10^{p-1} \cdot a_{p-1}=\sum_{j=0}^{p-1} a_{j} \cdot 10^{j} Метою Едуардо є зробити число MM кратним pp, а метою Фернандо — завадити цьому. Доведіть, що Едуардо має виграшну стратегію.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-001

Значення параметра для виразів із різницями й сумами

Нехай qq — дійсне число. У Гугу є серветка з десятьма різними дійсними числами, і він записує на дошці такі три рядки дійсних чисел: - У першому рядку Гугу записує кожне число виду a−ba-b, де aa та bb — два (не обов'язково різні) числа з його серветки. - У другому рядку Гугу записує кожне число виду qabq a b, де aa та bb — два (не обов'язково різні) числа з першого рядка. - У третьому рядку Гугу записує кожне число виду a2+b2−c2−d2a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}, де a,b,c,da, b, c, d — чотири (не обов'язково різні) числа з першого рядка. Визначте всі значення qq такі, що, незалежно від чисел на серветці Гугу, кожне число з другого рядка також є числом у третьому рядку.
10–11 класиМіркування за модулем2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-010

Мінімальна кількість обмінів для хамелеонів

Нехай nn — натуральне число. Хамелеоном назвемо довільну послідовність із 3n3n літер, у якій кожна з літер aa, bb і cc трапляється рівно nn разів. Обміном назвемо транспозицію двох сусідніх літер у хамелеоні. Доведіть, що для будь-якого хамелеона XX існує хамелеон YY такий, що XX не можна перетворити на YY менш ніж за 3n2/23n^{2}/2 обмінів.
10–11 класиНапівінваріанти2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-006

Дотик із перетину дуги на колі

Нехай RR і SS — різні точки кола Ω\Omega, а tt позначає дотичну до кола Ω\Omega в точці RR. Точка R′R' симетрична точці RR відносно SS. Точку II вибрано на меншій дузі RSRS кола Ω\Omega так, що описане коло Γ\Gamma трикутника ISR′ISR' перетинає tt у двох різних точках. Позначимо через AA спільну точку кола Γ\Gamma і прямої tt, найближчу до RR. Пряма AIAI перетинає Ω\Omega знову в точці JJ. Доведіть, що пряма JR′JR' дотикається до кола Γ\Gamma.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-011

Максимальна кількість ходів у двійковій грі з клітинками

Сер Алекс грає в таку гру на ряді з 9 клітинок. Спочатку всі клітинки порожні. За кожен хід Сер Алекс може виконати рівно одну з двох таких операцій: (1) Вибрати будь-яке число виду 2j2^{j}, де jj — невід'ємне ціле число, і поставити його в порожню клітинку. (2) Вибрати дві (не обов'язково сусідні) клітинки з однаковим числом у них; позначити це число через 2j2^{j}. Замінити число в одній з клітинок на 2j+12^{j+1} і стерти число в іншій клітинці. Наприкінці гри одна клітинка містить число 2n2^{n}, де nn — задане натуральне число, а решта клітинок порожні. Визначте найбільшу можливу кількість ходів, яку Сер Алекс міг зробити, залежно від nn.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-014

Десяткові періоди дробів

Раціональне число назвемо коротким, якщо воно має скінченну кількість цифр у десятковому розкладі. Для натурального числа mm скажемо, що натуральне число tt є mm-тастичним, якщо існує число c∈{1,2,3,…,2017}c \in \{1,2,3, \ldots, 2017\} таке, що 10t−1c⋅m\frac{10^{t}-1}{c \cdot m} є коротким, і таке, що 10k−1c⋅m\frac{10^{k}-1}{c \cdot m} не є коротким для жодного 1⩽k<t1 \leqslant k<t. Нехай S(m)S(m) — множина mm-тастичних чисел. Розглянемо S(m)S(m) для m=1,2,…m=1,2, \ldots. Яка найбільша можлива кількість елементів у S(m)S(m)?
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-002

Послідовність із рекурентним співвідношенням через максимум суми

Послідовність дійсних чисел a1,a2,…a_{1}, a_{2}, \ldots задовольняє співвідношення an=−max⁡i+j=n(ai+aj) для всіх n>2017a_{n} = -\max_{i+j=n} (a_{i} + a_{j}) \quad \text{ для всіх } n > 2017 Доведіть, що ця послідовність обмежена, тобто існує стала MM така, що ∣an∣⩽M|a_{n}| \leqslant M для всіх натуральних чисел nn.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-015

Прості числа, що дають ціле відношення

Знайдіть усі пари (p,q)(p, q) простих чисел з p>qp > q, для яких число (p+q)p+q(p−q)p−q−1(p+q)p−q(p−q)p+q−1\frac{(p+q)^{p+q}(p-q)^{p-q}-1}{(p+q)^{p-q}(p-q)^{p+q}-1} є цілим.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-003

Мінімальна сума попарних добутків у Блискучому n-наборі

Задано ціле число n⩾3n \geqslant 3. Ми називаємо nn-набір дійсних чисел (x1,x2,…,xn)(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}) Блискучим, якщо для кожної перестановки y1,y2,…,yny_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n} цих чисел маємо ∑i=1n−1yiyi+1=y1y2+y2y3+y3y4+⋯+yn−1yn⩾−1.\sum_{i=1}^{n-1} y_{i} y_{i+1} = y_{1} y_{2} + y_{2} y_{3} + y_{3} y_{4} + \cdots + y_{n-1} y_{n} \geqslant -1. Знайдіть найбільшу константу K=K(n)K = K(n) таку, що ∑1⩽i<j⩽nxixj⩾K\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} x_{i} x_{j} \geqslant K виконується для кожного Блискучого nn-набору (x1,x2,…,xn)(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}).
10–11 класиШляхи на графах2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-007

Послідовні вершини вкладених правильних многокутників

Нехай n⩾3n \geqslant 3 — ціле число. На площині дано два правильні nn-кутники A\mathcal{A} і B\mathcal{B}. Доведіть, що вершини многокутника A\mathcal{A}, які лежать усередині многокутника B\mathcal{B} або на його межі, є послідовними. (Тобто доведіть, що існує пряма, яка відокремлює ті вершини многокутника A\mathcal{A}, що лежать усередині многокутника B\mathcal{B} або на його межі, від інших вершин многокутника A\mathcal{A}.)
10–11 класиОпуклі множини
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-008

Дотичні та інцентри в описаному чотирикутнику

Опуклий чотирикутник ABCDABCD має вписане коло з центром II. Нехай IaI_{a}, IbI_{b}, IcI_{c} і IdI_{d} — інцентри трикутників DABDAB, ABCABC, BCDBCD і CDACDA відповідно. Припустимо, що спільні зовнішні дотичні до кіл AIbIdA I_{b} I_{d} і CIbIdC I_{b} I_{d} перетинаються в точці XX, а спільні зовнішні дотичні до кіл BIaIcB I_{a} I_{c} і DIaIcD I_{a} I_{c} перетинаються в точці YY. Доведіть, що ∠XIY=90∘\angle X I Y = 90^{\circ}.
10–11 класиГомотерія і подібність
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-004

Рекурентна послідовність зі змінним рекурентним співвідношенням

Нехай a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots — послідовність цілих чисел, а b0,b1,b2,…b_{0}, b_{1}, b_{2}, \ldots — послідовність натуральних чисел такі, що a0=0a_{0}=0, a1=1a_{1}=1, і an+1={anbn+an−1, якщо bn−1=1anbn−an−1, якщо bn−1>1 для n=1,2,…a_{n+1}=\left\{\begin{array}{ll} a_{n} b_{n}+a_{n-1}, & \text{ якщо } b_{n-1}=1 \\ a_{n} b_{n}-a_{n-1}, & \text{ якщо } b_{n-1}>1 \end{array} \quad \text{ для } n=1,2, \ldots\right. Доведіть, що принаймні одне з двох чисел a2017a_{2017} і a2018a_{2018} не менше від 20172017.
10–11 класиМетод математичної індукції2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-016

Однорідний многочлен зі значенням 1 на незвідних точках

Назвемо впорядковану пару (x,y)(x, y) цілих чисел незвідною точкою решітки, якщо xx і yy взаємно прості. Для довільної скінченної множини SS незвідних точок решітки доведіть, що існує однорідний многочлен від двох змінних f(x,y)f(x, y) з цілими коефіцієнтами степеня принаймні 1 такий, що f(x,y)=1f(x, y)=1 для кожної точки (x,y)(x, y) з множини SS. Зауваження: однорідним многочленом степеня nn називається будь-який ненульовий многочлен вигляду f(x,y)=a0xn+a1xn−1y+a2xn−2y2+⋯+an−1xyn−1+anyn.f(x, y)=a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1} y+a_{2} x^{n-2} y^{2}+\cdots+a_{n-1} x y^{n-1}+a_{n} y^{n} .
10–11 класиІнтерполяційні многочлени2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-005

Функціональне рівняння з умовою додатності

Припустимо, що функція f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} задовольняє таку умову: для будь-яких x,y∈Rx, y \in \mathbb{R} таких, що (f(x)+y)(f(y)+x)>0(f(x)+y)(f(y)+x)>0, маємо f(x)+y=f(y)+xf(x)+y=f(y)+x. Доведіть, що f(x)+y⩽f(y)+xf(x)+y \leqslant f(y)+x, коли x>yx>y.
10–11 класиМетод допоміжних функцій: g(x) =…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-017

Функція на взаємно простих парах і квадратична сума

Нехай pp — непарне просте число, а Z>0\mathbb{Z}_{>0} — множина додатних цілих чисел. Припустимо, що функція f:Z>0×Z>0→{0,1}f: \mathbb{Z}_{>0} \times \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \{0,1\} задовольняє такі властивості: - f(1,1)=0f(1,1)=0; - f(a,b)+f(b,a)=1f(a, b)+f(b, a)=1 для будь-якої пари взаємно простих додатних цілих чисел (a,b)(a, b), не обох рівних 11; - f(a+b,b)=f(a,b)f(a+b, b)=f(a, b) для будь-якої пари взаємно простих додатних цілих чисел (a,b)(a, b). Доведіть, що ∑n=1p−1f(n2,p)⩾2p−2.\sum_{n=1}^{p-1} f\left(n^{2}, p\right) \geqslant \sqrt{2 p}-2 .
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-009

Дотичні відрізки між колами, що не перетинаються

На дошці намальовано 20172017 попарно зовнішніх кіл, причому жодні два не дотикаються і жодні три не мають спільної дотичної. Дотичним відрізком називається відрізок, який є спільною дотичною до двох кіл і починається в одній точці дотику, а закінчується в іншій. Лучано малює дотичні відрізки на дошці, один за одним, так, щоб жоден дотичний відрізок не перетинав жодних інших кіл чи раніше намальованих дотичних відрізків. Лучано продовжує малювати дотичні відрізки, доки це можливо. Знайдіть усі можливі кількості дотичних відрізків, коли він закінчить малювання.
10–11 класиПланарні графи2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-012

Комфортні метелики на цілочисельній решітці

Нехай nn — задане натуральне число. На декартовій площині кожна точка решітки з невід'ємними координатами спочатку містить метелика, і інших метеликів немає. Окіл точки решітки cc складається з усіх точок решітки всередині вирівняного за осями квадрата (2n+1)×(2n+1)(2 n+1) \times (2 n+1) з центром у cc, крім самого cc. Метелика називаємо самотнім, скупченим або комфортним залежно від того, чи кількість метеликів у його околі NN відповідно менша, більша або дорівнює половині кількості точок решітки в NN. Щохвилини всі самотні метелики одночасно відлітають. Цей процес триває, доки є самотні метелики. Припускаючи, що процес зрештою зупиняється, визначте кількість комфортних метеликів у кінцевому стані.
10–11 класиОпуклі множини
Шорт-лист IMOIMOSL-2016-003

Конкурентність прямих у рівнобедреній п'ятикутній конструкції

В опуклому п'ятикутнику ABCDEA B C D E нехай FF — точка на діагоналі ACA C така, що ∠FBC=90∘\angle F B C = 90^{\circ}. Припустимо, що трикутники ABFA B F, ACDA C D і ADEA D E — подібні рівнобедрені трикутники, причому ∠FAB=∠FBA=∠DAC=∠DCA=∠EAD=∠EDA.\angle F A B = \angle F B A = \angle D A C = \angle D C A = \angle E A D = \angle E D A. Нехай MM — середина відрізка CFC F. Точку XX вибрано так, що AMXEA M X E — паралелограм. Доведіть, що прямі BDB D, EME M і FXF X перетинаються в одній точці.
10–11 класиПоворотна гомотетія3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2016-004

Перетин на описаному колі через перпендикуляри

Нехай ABCABC — трикутник з описаним колом Γ\Gamma та інцентром II. Нехай MM — середина сторони BCBC. Позначимо через DD основу перпендикуляра з II на сторону BCBC. Пряма через II, перпендикулярна до прямої AIAI, перетинає сторони ABAB і ACAC у точках FF та EE відповідно. Припустімо, що описане коло трикутника AEFAEF перетинає Γ\Gamma у точці XX, відмінній від AA. Доведіть, що прямі XDXD і AMAM перетинаються на колі Γ\Gamma.
10–11 класиПоворотна гомотетія2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2016-008

Дільники в магічному прямокутнику

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких усі додатні дільники числа nn можна розставити в клітинках прямокутної таблиці за таких умов: - кожна клітинка містить окремий дільник; - суми чисел в усіх рядках рівні; та - суми чисел в усіх стовпцях рівні.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Шорт-лист IMOIMOSL-2016-002

Знакові суми з умовою одиничної норми

Знайдіть усі цілі числа n⩾3n \geqslant 3 з такою властивістю: для всіх дійсних чисел a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} і b1,b2,…,bnb_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}, які задовольняють ∣ak∣+∣bk∣=1\left|a_{k}\right|+\left|b_{k}\right|=1 при 1⩽k⩽n1 \leqslant k \leqslant n, існують x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, кожне з яких дорівнює −1-1 або 11, такі, що ∣∑k=1nxkak∣+∣∑k=1nxkbk∣⩽1\left|\sum_{k=1}^{n} x_{k} a_{k}\right|+\left|\sum_{k=1}^{n} x_{k} b_{k}\right| \leqslant 1
10–11 класиЧислові нерівності2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2016-009

Квадрат зі збалансованими рядками, стовпцями й діагоналями

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких клітинки таблиці n×nn \times n можна заповнити так, щоб виконувалися такі властивості: - кожна клітинка може бути однією з II, MM і OO; - у кожному рядку та в кожному стовпці літери II, MM і OO трапляються однакову кількість разів; і - у будь-якій діагоналі, кількість клітинок якої кратна трьом, літери II, MM і OO трапляються однакову кількість разів.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Шорт-лист IMOIMOSL-2016-005

Центр описаного кола рівновіддалений від основи висоти і середини

Нехай DD — основа перпендикуляра з AA на пряму Ейлера (пряму, що проходить через центр описаного кола та ортоцентр) гострокутного різностороннього трикутника ABCA B C. Коло ω\omega з центром SS проходить через AA і DD, і воно перетинає сторони ABA B і ACA C у точках XX і YY відповідно. Нехай PP — основа висоти з AA на сторону BCB C, а MM — середина сторони BCB C. Доведіть, що центр описаного кола трикутника XSYX S Y рівновіддалений від PP і MM.
10–11 класиПоворотна гомотетія2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2016-011

Значення квадратичних часток

Нехай aa — натуральне число, яке не є квадратом. Позначимо через AA множину всіх натуральних чисел kk таких, що k=x2−ax2−y2k = \frac{x^{2} - a}{x^{2} - y^{2}} для деяких цілих чисел xx і yy з x>ax > \sqrt{a}. Позначимо через BB множину всіх натуральних чисел kk таких, що (1) виконується для деяких цілих чисел xx і yy з 0⩽x<a0 \leqslant x < \sqrt{a}. Доведіть, що A=BA = B.
10–11 класиСтрибки Вієта3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2016-012

Функціональне рівняння з умовою подільності

Позначимо через N\mathbb{N} множину всіх натуральних чисел. Знайдіть усі функції f:N→Nf: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} такі, що для всіх натуральних чисел mm і nn число f(m)+f(n)−mnf(m)+f(n)-m n ненульове і ділить mf(m)+nf(n)m f(m)+n f(n).
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.