Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

279 задач
Шорт-лист IMO
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-007

Розбиття на групи з сумою не більше одиниці

Нехай nn — натуральне число. Знайдіть найменше ціле число kk з такою властивістю: для будь-яких дійсних чисел a1,…,ada_{1}, \ldots, a_{d} таких, що a1+a2+⋯+ad=na_{1}+a_{2}+\cdots+a_{d}=n і 0⩽ai⩽10 \leqslant a_{i} \leqslant 1 при i=1,2,…,di=1,2, \ldots, d, ці числа можна розбити на kk груп (деякі з яких можуть бути порожніми) так, щоб сума чисел у кожній групі не перевищувала 11.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-013

Функції з подільністю mf(m)+n на m²+f(n)

Нехай Z>0\mathbb{Z}_{>0} — множина натуральних чисел. Знайдіть усі функції f:Z>0→Z>0f: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{Z}_{>0} такі, що m2+f(n)∣mf(m)+nm^{2}+f(n) \mid m f(m)+n для всіх натуральних чисел mm і nn.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-001

Симетрія в рекурентно заданих послідовностях

Нехай nn — натуральне число, а a1,…,an−1a_{1}, \ldots, a_{n-1} — довільні дійсні числа. Визначимо послідовності u0,…,unu_{0}, \ldots, u_{n} та v0,…,vnv_{0}, \ldots, v_{n} індуктивно рівностями u0=u1=v0=1u_{0}=u_{1}=v_{0}=1 і uk+1=uk+akuk−1,vk+1=vk+an−kvk−1 для k=1,…,n−1.u_{k+1}=u_{k}+a_{k} u_{k-1}, \quad v_{k+1}=v_{k}+a_{n-k} v_{k-1} \quad \text{ для } k=1, \ldots, n-1 . Доведіть, що un=vnu_{n}=v_{n}.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-005

Середини сторін, середина дуги і рівність відрізків

Нехай ω\omega — описане коло трикутника ABCA B C. Позначимо через MM і NN середини сторін ABA B і ACA C відповідно, а через TT — середину дуги BCB C кола ω\omega, яка не містить AA. Описані кола трикутників AMTA M T і ANTA N T перетинають серединні перпендикуляри до сторін ACA C і ABA B у точках XX і YY відповідно; припустимо, що XX і YY лежать усередині трикутника ABCA B C. Прямі MNM N і XYX Y перетинаються в точці KK. Доведіть, що KA=KTK A=K T.
10–11 класиСиметрія2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-008

Відокремлення різнокольорових точок прямими

На площині позначено 2013 червоних точок і 2014 синіх точок так, що жодні три з позначених точок не лежать на одній прямій. Треба провести kk прямих, які не проходять через позначені точки й розбивають площину на кілька областей. Мета — зробити це так, щоб жодна область не містила точок обох кольорів. Знайдіть найменше значення kk, при якому мети можна досягти для будь-якої можливої конфігурації з 4027 точок.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-006

Ромб, вписаний у чотирикутник бісектрис

У трикутнику ABCA B C нехай DD і EE — основи бісектрис кутів AA і BB відповідно. У чотирикутник AEDBA E D B вписано ромб (усі вершини ромба лежать на різних сторонах чотирикутника AEDBA E D B). Нехай φ\varphi — нетупий кут ромба. Доведіть, що φ⩽max⁡{∠BAC,∠ABC}\varphi \leqslant \max \{\angle B A C, \angle A B C\}.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-009

Операції над графом з видаленням вершин непарного степеня

Божевільний фізик відкрив новий вид частинок, які він назвав імонами, після того, як деякі з них загадково з'явилися в його лабораторії. Деякі пари імонів у лабораторії можуть бути заплутаними, і кожен імон може брати участь у багатьох відношеннях заплутаності. Фізик знайшов спосіб виконувати з цими частинками такі два види операцій, по одній операції за раз. (i) Якщо деякий імон заплутаний з непарною кількістю інших імонів у лабораторії, то фізик може його знищити. (ii) У будь-який момент він може подвоїти все сімейство імонів у своїй лабораторії, створивши копію I′I^{\prime} кожного імона II. Під час цієї процедури дві копії I′I^{\prime} і J′J^{\prime} стають заплутаними тоді й лише тоді, коли вихідні імони II і JJ заплутані, і кожна копія I′I^{\prime} стає заплутаною зі своїм вихідним імоном II; жодні інші заплутаності в цей момент не виникають і не зникають. Доведіть, що фізик може застосувати послідовність таких операцій, у результаті якої дістане сімейство імонів, жодні два з яких не заплутані.
10–11 класиСтепені вершин2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-002

Періодична послідовність з обмеженням на суму

Нехай nn — натуральне число, і розглянемо послідовність a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} з натуральних чисел. Продовжимо її періодично до нескінченної послідовності a1,a2,…a_{1}, a_{2}, \ldots, визначивши an+i=aia_{n+i}=a_{i} для всіх i⩾1i \geqslant 1. Якщо a1⩽a2⩽⋯⩽an⩽a1+na_{1} \leqslant a_{2} \leqslant \cdots \leqslant a_{n} \leqslant a_{1}+n і aai⩽n+i−1 для i=1,2,…,na_{a_{i}} \leqslant n+i-1 \quad \text{ для } i=1,2, \ldots, n доведіть, що a1+⋯+an⩽n2.a_{1}+\cdots+a_{n} \leqslant n^{2} .
10–11 класиПідрахунок двома способами3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-014

Нескінченна послідовність із квадратами-суфіксами

З'ясуйте, чи існує нескінченна послідовність ненульових цифр a1,a2,a3,…a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots і натуральне число NN такі, що для кожного цілого k>Nk > N число akak−1…a1‾\overline{a_{k} a_{k-1} \ldots a_{1}} є повним квадратом.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-010

Різні частини в оптимальному розбитті

Нехай nn — натуральне число, а AA — підмножина {1,…,n}\{1, \ldots, n\}. AA-розбиттям nn на kk частин називається подання nn у вигляді суми n=a1+⋯+akn=a_{1}+\cdots+a_{k}, де частини a1,…,aka_{1}, \ldots, a_{k} належать AA і не обов’язково різні. Кількістю різних частин у такому розбитті називається кількість (різних) елементів множини {a1,a2,…,ak}\left\{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}\right\}. Будемо казати, що AA-розбиття nn на kk частин є оптимальним, якщо не існує AA-розбиття nn на rr частин із r<kr<k. Доведіть, що будь-яке оптимальне AA-розбиття nn містить не більше ніж 6n3\sqrt[3]{6 n} різних частин.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-011

Періодичність послідовності з рівності сум

Нехай rr — натуральне число, а a0,a1,…a_{0}, a_{1}, \ldots — нескінченна послідовність дійсних чисел. Припустімо, що для всіх невід’ємних цілих чисел mm і ss існує натуральне число n∈[m+1,m+r]n \in [m+1, m+r] таке, що am+am+1+⋯+am+s=an+an+1+⋯+an+sa_{m}+a_{m+1}+\cdots+a_{m+s}=a_{n}+a_{n+1}+\cdots+a_{n+s} Доведіть, що послідовність є періодичною, тобто існує таке p⩾1p \geqslant 1, що an+p=ana_{n+p}=a_{n} для всіх n⩾0n \geqslant 0.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-003

Функціональне рівняння на невід'ємних цілих числах

Нехай Z⩾0\mathbb{Z}_{\geqslant 0} — множина всіх невід'ємних цілих чисел. Знайдіть усі функції f:Z⩾0→Z⩾0f: \mathbb{Z}_{\geqslant 0} \rightarrow \mathbb{Z}_{\geqslant 0}, які задовольняють співвідношення f(f(f(n)))=f(n+1)+1f(f(f(n)))=f(n+1)+1 для всіх n∈Z⩾0n \in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-004

Функціональне рівняння для многочлена з кубічними коефіцієнтами

Нехай m≠0m \neq 0 — ціле число. Знайдіть усі многочлени P(x)P(x) з дійсними коефіцієнтами такі, що (x3−mx2+1)P(x+1)+(x3+mx2+1)P(x−1)=2(x3−mx+1)P(x)\left(x^{3}-m x^{2}+1\right) P(x+1)+\left(x^{3}+m x^{2}+1\right) P(x-1)=2\left(x^{3}-m x+1\right) P(x) для всіх дійсних чисел xx.
10–11 класиМетод допоміжних функцій: g(x) =…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-015

Цілозначна функція із симетрією раціонального аргументу

Знайдіть усі функції f:Q⟶Zf: \mathbb{Q} \longrightarrow \mathbb{Z}, які задовольняють f(f(x)+ab)=f(x+ab)f\left(\frac{f(x)+a}{b}\right)=f\left(\frac{x+a}{b}\right) для всіх x∈Qx \in \mathbb{Q}, a∈Za \in \mathbb{Z} і b∈Z>0b \in \mathbb{Z}_{>0}. (Тут Z>0\mathbb{Z}_{>0} позначає множину натуральних чисел.)
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-016

Відмінні пари та сума дільників

Нехай ν\nu — ірраціональне додатне число, а mm — натуральне число. Пару (a,b)(a, b) натуральних чисел називають хорошою, якщо a⌈bν⌉−b⌊aν⌋=ma\lceil b \nu\rceil-b\lfloor a \nu\rfloor=m Хорошу пару (a,b)(a, b) називають відмінною, якщо жодна з пар (a−b,b)(a-b, b) і (a,b−a)(a, b-a) не є хорошою. (Як звичайно, через ⌊x⌋\lfloor x\rfloor і ⌈x⌉\lceil x\rceil позначаємо цілі числа такі, що x−1<⌊x⌋⩽xx-1<\lfloor x\rfloor \leqslant x і x⩽⌈x⌉<x+1x \leqslant\lceil x\rceil<x+1.) Доведіть, що кількість відмінних пар дорівнює сумі додатних дільників числа mm.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-012

Покриття відрізка двійковими інтервалами

Гравці AA і BB грають у фарбувальну гру на дійсній прямій. Гравець AA має горщик із фарбою з чотирма одиницями чорного чорнила. Кількості pp цього чорнила достатньо, щоб зачорнити (замкнений) дійсний проміжок довжини pp. У кожному раунді гравець AA вибирає деяке натуральне число mm і видає 1/2m1 / 2^{m} одиниць чорнила з горщика. Потім гравець BB вибирає ціле число kk і зачорнює проміжок від k/2mk / 2^{m} до (k+1)/2m(k+1) / 2^{m} (деякі частини цього проміжку могли бути зачорнені раніше). Мета гравця AA — досягти ситуації, коли горщик порожній, а проміжок [0,1][0,1] зачорнено не повністю. Визначте, чи існує стратегія гравця AA, що дає перемогу за скінченну кількість ходів.
10–11 класиІнші інваріанти
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-007

Скінченний процес із сусідніми парами чисел

У ряд записано декілька натуральних чисел. Послідовно Аліса вибирає два сусідні числа xx і yy такі, що x>yx > y і xx стоїть ліворуч від yy, і замінює пару (x,y)(x, y) або на (y+1,x)(y+1, x), або на (x−1,x)(x-1, x). Доведіть, що вона може виконати лише скінченну кількість таких ітерацій.
10–11 класиНапівінваріанти3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-012

Допустимі множини з квадратичним замиканням

Назвемо допустимою множину AA цілих чисел, яка має таку властивість: Якщо x,y∈Ax, y \in A (можливо, x=yx = y), то x2+kxy+y2∈Ax^{2} + k x y + y^{2} \in A для кожного цілого kk. Знайдіть усі пари m,nm, n ненульових цілих чисел таких, що єдина допустима множина, яка містить одночасно mm і nn, — це множина всіх цілих чисел.
10–11 класиНСД та НСК
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-008

Неперетинні пари з обмеженими сумами

Нехай n≥1n \geq 1 — ціле число. Яка найбільша можлива кількість попарно неперетинних пар елементів множини {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\} таких, що суми різних пар є різними цілими числами, які не перевищують nn?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-002

Чотири точки на одному колі у вписаному чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник, діагоналі ACAC і BDBD якого перетинаються в точці EE. Продовження сторін ADAD і BCBC за точки AA і BB перетинаються в точці FF. Нехай GG — точка така, що ECGDECGD — паралелограм, а HH — образ точки EE при відбитті відносно прямої ADAD. Доведіть, що точки DD, HH, FF, GG лежать на одному колі.
10–11 класиОзнаки подібності
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-003

Паралельні прямі через інцентри та центри описаних кіл

У гострокутному трикутнику ABCA B C точки DD, EE і FF — основи висот, проведених з вершин AA, BB і CC відповідно. Інцентри трикутників AEFA E F і BDFB D F — це I1I_{1} і I2I_{2} відповідно; центри описаних кіл трикутників ACI1A C I_{1} і BCI2B C I_{2} — це O1O_{1} і O2O_{2} відповідно. Доведіть, що прямі I1I2I_{1} I_{2} і O1O2O_{1} O_{2} паралельні.
10–11 класиРадикальна вісь
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-009

Максимум трійок у розфарбованій таблиці

У квадратній таблиці 999×999999 \times 999 деякі клітинки білі, а решта — червоні. Нехай TT — кількість трійок (C1,C2,C3)(C_{1}, C_{2}, C_{3}) клітинок, з яких перші дві стоять в одному рядку, а останні дві — в одному стовпці, причому C1C_{1} і C3C_{3} білі, а C2C_{2} червона. Знайдіть найбільше можливе значення TT.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-010

Мінімальна кількість монет для гри з коробками по колу

Гравці AA і BB грають у гру з N≥2012N \geq 2012 монетами та 20122012 коробками, розташованими по колу. Спочатку AA розкладає монети по коробках так, щоб у кожній коробці була принаймні 11 монета. Потім вони роблять ходи в порядку B,A,B,A,…B, A, B, A, \ldots за такими правилами: - Кожним своїм ходом BB перекладає по 11 монеті з кожної коробки до сусідньої коробки. - Кожним своїм ходом AA вибирає кілька монет, які не були задіяні в попередньому ході BB і лежать у різних коробках. Кожну вибрану монету вона перекладає до сусідньої коробки. Мета гравчині AA — забезпечити принаймні по 11 монеті в кожній коробці після кожного її ходу, незалежно від того, як грає BB і скільки ходів буде зроблено. Знайдіть найменше NN, за якого вона може досягти успіху.
10–11 класиНапівінваріанти
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-004

Вписаний чотирикутник з відбиттям точки на бісектрисі

Нехай ABCAB C — трикутник, у якому AB≠ACAB \neq AC, з центром описаного кола OO. Бісектриса ∠BAC\angle BAC перетинає BCBC в точці DD. Нехай EE — точка, симетрична DD відносно середини сторони BCBC. Прямі, які проходять через DD і EE та перпендикулярні до BCBC, перетинають прямі AOAO і ADAD у точках XX і YY відповідно. Доведіть, що чотирикутник BXCYBX CY є вписаним.
10–11 класиСиметрія
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-013

Дружні цілі числа з кубічного рівняння

Ціле число aa називається дружнім, якщо рівняння (m2+n)(n2+m)=a(m−n)3(m^{2}+n)(n^{2}+m)=a(m-n)^{3} має розв'язок у натуральних числах. a. Доведіть, що в множині {1,2,…,2012}\{1,2, \ldots, 2012\} є принаймні 500 дружніх цілих чисел. b. З'ясуйте, чи є a=2a=2 дружнім.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.