Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

279 задач
Шорт-лист IMO
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-014

Многочлени з радикальною подільністю

Для невід'ємного цілого числа nn означимо rad⁡(n)=1\operatorname{rad}(n)=1, якщо n=0n=0 або n=1n=1, і rad⁡(n)=p1p2⋯pk\operatorname{rad}(n)=p_{1} p_{2} \cdots p_{k}, де p1<p2<⋯<pkp_{1}<p_{2}<\cdots<p_{k} — усі прості дільники числа nn. Знайдіть усі многочлени f(x)f(x) з невід'ємними цілими коефіцієнтами такі, що rad⁡(f(n))\operatorname{rad}(f(n)) ділить rad⁡(f(nrad⁡(n)))\operatorname{rad}\left(f\left(n^{\operatorname{rad}(n)}\right)\right) для кожного невід'ємного цілого числа nn.
10–11 класиТеорема Ейлера2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-011

Перестановка фішок із циклічною зміною кольорів

Стовпці та рядки квадратної дошки 3n×3n3n \times 3n пронумеровано числами 1,2,…,3n1, 2, \ldots, 3n. Кожну клітинку (x,y)(x, y) з 1≤x,y≤3n1 \leq x, y \leq 3n пофарбовано у спаржевий, візантійський або цитриновий колір залежно від остачі за модулем 33 числа x+yx+y, яка дорівнює 00, 11 чи 22 відповідно. На кожну клітинку покладено по одній фішці спаржевого, візантійського або цитринового кольору так, що кожного кольору є 3n23n^{2} фішок. Припустимо, що фішки можна переставити так, що кожна фішка переміститься на відстань не більше dd від свого початкового положення, кожна спаржева фішка замінить візантійську фішку, кожна візантійська фішка замінить цитринову фішку, а кожна цитринова фішка замінить спаржеву фішку. Доведіть, що фішки можна переставити так, що кожна фішка переміститься на відстань не більше d+2d+2 від свого початкового положення, і кожна клітинка міститиме фішку того самого кольору, що й клітинка.
10–11 класиКласичні теореми теорії графів
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-005

Рівність відстаней до центра описаного кола

Нехай ABCABC — трикутник з центром описаного кола OO та інцентром II. Точки DD, EE і FF на сторонах BCBC, CACA і ABAB відповідно такі, що BD+BF=CABD + BF = CA і CD+CE=ABCD + CE = AB. Описані кола трикутників BFDBFD і CDECDE перетинаються в точці P≠DP \neq D. Доведіть, що OP=OIOP = OI.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-015

Подільність степеня двійки мінус один на лінійний вираз

Нехай xx і yy — натуральні числа. Якщо x2n−1x^{2^{n}}-1 ділиться на 2ny+12^{n} y+1 для кожного натурального числа nn, доведіть, що x=1x=1.
10–11 класиТеорема Евкліда про нескінченніст…
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-001

Замкненість метаполіномів відносно множення

Функцію f:Rk→Rf: \mathbb{R}^k \rightarrow \mathbb{R} називаємо метаполіномом, якщо для деяких натуральних чисел mm і nn вона подається у вигляді f(x1,…,xk)=max⁡i=1,…,mmin⁡j=1,…,nPi,j(x1,…,xk)f\left(x_1, \ldots, x_k\right)=\max_{i=1, \ldots, m} \min_{j=1, \ldots, n} P_{i, j}\left(x_1, \ldots, x_k\right) де Pi,jP_{i, j} — многочлени від кількох змінних. Доведіть, що добуток двох метаполіномів також є метаполіномом.
10–11 класиМногочлени багатьох змінних
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-006

Описані чотирикутники з паралельними сторонами

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник з непаралельними сторонами BCBC і ADAD. Припустимо, що існує точка EE на стороні BCBC така, що чотирикутники ABEDABED і AECDAECD є описаними. Доведіть, що існує точка FF на стороні ADAD така, що чотирикутники ABCFABCF і BCDFBCDF є описаними, тоді й лише тоді, коли сторона ABAB паралельна стороні CDCD.
10–11 класиВписане коло
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-016

Зображення остач сумою квадрата й п'ятого степеня

Доведіть, що для кожного простого p>100p > 100 і кожного цілого rr існують такі цілі числа aa і bb, що pp ділить a2+b5−ra^{2} + b^{5} - r.
10–11 класиПідрахунок двома способами2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2011-001

Сума степенів дорівнює зсунутому степеню

Знайдіть усі послідовності (x1,x2,…,x2011)\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2011}\right) натуральних чисел таких, що для кожного натурального числа nn існує ціле число aa, для якого x1n+2x2n+⋯+2011x2011n=an+1+1.x_{1}^{n}+2 x_{2}^{n}+\cdots+2011 x_{2011}^{n}=a^{n+1}+1 .
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Шорт-лист IMOIMOSL-2011-009

Різниця значень функції ділить різницю непарних степенів

Нехай n≥1n \geq 1 — непарне натуральне число. Знайдіть усі функції ff з множини цілих чисел у себе такі, що для всіх цілих чисел xx і yy різниця f(x)−f(y)f(x)-f(y) ділить xn−ynx^{n}-y^{n}.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Шорт-лист IMOIMOSL-2011-002

Функціональне рівняння з ітерованими функціями

Знайдіть усі пари (f,g)(f, g) функцій з множини натуральних чисел у себе, які задовольняють fg(n)+1(n)+gf(n)(n)=f(n+1)−g(n+1)+1f^{g(n)+1}(n) + g^{f(n)}(n) = f(n+1) - g(n+1) + 1 для кожного натурального числа nn. Тут fk(n)f^{k}(n) означає f(f(…f⏟k(n)…))\underbrace{f(f(\ldots f}_{k}(n) \ldots)).
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Шорт-лист IMOIMOSL-2011-003

Колінеарність у трикутнику з дотичним колом

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з описаним колом Ω\Omega. Нехай B0B_{0} — середина сторони ACAC, а C0C_{0} — середина сторони ABAB. Нехай DD — основа висоти з AA, а GG — центроїд трикутника ABCABC. Нехай ω\omega — коло через B0B_{0} і C0C_{0}, яке дотикається до кола Ω\Omega в точці X≠AX \neq A. Доведіть, що точки DD, GG і XX колінеарні.
10–11 класиРадикальна вісь2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2011-006

Мурахи на дошці з правилами зіткнень

Нехай mm — натуральне число і розглянемо шахівницю, що складається з mm на mm одиничних квадратиків. У серединах деяких із цих одиничних квадратиків є мураха. У момент часу 0 кожна мураха починає рухатися зі швидкістю 1 паралельно до деякої сторони шахівниці. Коли дві мурахи, що рухаються в протилежних напрямках, зустрічаються, вони обидві повертають на 90∘90^{\circ} за годинниковою стрілкою і продовжують рухатися зі швидкістю 1. Коли зустрічаються більше ніж дві мурахи або коли зустрічаються дві мурахи, що рухаються у перпендикулярних напрямках, мурахи продовжують рухатися в тому самому напрямку, що й до зустрічі. Коли мураха досягає одного з країв шахівниці, вона падає з неї і більше не з'являється. Розглядаючи всі можливі початкові положення, визначте найпізніший можливий момент, у який остання мураха падає з шахівниці, або доведіть, що такий момент не обов'язково існує.
10–11 класиІнші інваріанти
Шорт-лист IMOIMOSL-2011-007

Всюдисущі слова в періодичній послідовності

Нехай nn — натуральне число, а W=…x−1x0x1x2…W = \ldots x_{-1} x_{0} x_{1} x_{2} \ldots — нескінченне періодичне слово з літер aa і bb. Припустимо, що мінімальний період NN слова WW більший за 2n2^{n}. Скінченне непорожнє слово UU зустрічається в WW, якщо існують індекси k≤ℓk \leq \ell такі, що U=xkxk+1…xℓU = x_{k} x_{k+1} \ldots x_{\ell}. Скінченне слово UU називається всюдисущим, якщо всі чотири слова UaU a, UbU b, aUa U і bUb U зустрічаються в WW. Доведіть, що існує принаймні nn всюдисущих скінченних непорожніх слів.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Шорт-лист IMOIMOSL-2011-010

Подільність, що робить многочлен сталим

Нехай P(x)P(x) і Q(x)Q(x) — два многочлени з цілими коефіцієнтами, такі, що жоден несталий многочлен з раціональними коефіцієнтами не ділить одночасно P(x)P(x) і Q(x)Q(x). Припустимо, що для кожного натурального числа nn цілі числа P(n)P(n) і Q(n)Q(n) додатні, і 2Q(n)−12^{Q(n)}-1 ділить 3P(n)−13^{P(n)}-1. Доведіть, що Q(x)Q(x) — сталий многочлен.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Шорт-лист IMOIMOSL-2011-004

Інцентр із побудови в рівнобедреному трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник з AB=ACAB = AC, а DD — середина сторони ACAC. Бісектриса кута ∠BAC\angle BAC перетинає коло, яке проходить через DD, BB і CC, у точці EE всередині трикутника ABCABC. Пряма BDBD перетинає коло, яке проходить через AA, EE і BB, у двох точках BB і FF. Прямі AFAF і BEBE перетинаються в точці II, а прямі CICI і BDBD перетинаються в точці KK. Доведіть, що II — інцентр трикутника KABKAB.
10–11 класиРадикальна вісь3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2011-011

Подільність степеневої суми на просте число

Нехай pp — непарне просте число. Для кожного цілого числа aa визначимо число Sa=a1+a22+⋯+ap−1p−1.S_{a} = \frac{a}{1} + \frac{a^{2}}{2} + \cdots + \frac{a^{p-1}}{p-1}. Нехай mm і nn — цілі числа такі, що S3+S4−3S2=mnS_{3} + S_{4} - 3 S_{2} = \frac{m}{n} Доведіть, що pp ділить mm.
10–11 класиМала теорема Ферма2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2011-008

Найбільше однорідне перекриття при покритті сітки

На квадратній дошці з 20112011 на 20112011 клітинок розміщено скінченну кількість серветок, кожна з яких покриває квадрат 5252 на 5252 клітинок. У кожну клітинку записуємо кількість серветок, що її покривають, і фіксуємо максимальну кількість kk клітинок, які містять одне й те саме ненульове число. Серед усіх можливих розташувань серветок знайдіть найбільше можливе значення kk.
10–11 класиПідрахунок двома способами2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2011-005

Дотичний шестикутник з рівними відстанями

Нехай ABCDEFA B C D E F — опуклий шестикутник, усі сторони якого дотикаються до кола ω\omega з центром OO. Припустимо, що описане коло трикутника ACEA C E концентричне з колом ω\omega. Нехай JJ — основа перпендикуляра з BB на пряму CDC D. Припустимо, що перпендикуляр з BB до прямої DFD F перетинає пряму EOE O в точці KK. Нехай LL — основа перпендикуляра з KK на пряму DED E. Доведіть, що DJ=DLD J=D L.
10–11 класиПоворот2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2011-012

Степені перестановки за модулем числа Ферма

Нехай kk — натуральне число і n=2k+1n=2^{k}+1. Доведіть, що nn є простим числом тоді й лише тоді, коли виконується таке: існує перестановка a1,…,an−1a_{1}, \ldots, a_{n-1} чисел 1,2,…,n−11,2, \ldots, n-1 і послідовність цілих чисел g1,g2,…,gn−1g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{n-1} такі, що nn ділить giai−ai+1g_{i}^{a_{i}}-a_{i+1} для кожного i∈{1,2,…,n−1}i \in\{1,2, \ldots, n-1\}, де покладемо an=a1a_{n}=a_{1}.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Шорт-лист IMOIMOSL-2010-001

Оцінки симетричної суми з обмеженнями

Нехай дійсні числа a,b,c,da, b, c, d задовольняють співвідношення a+b+c+d=6a+b+c+d=6 і a2+b2+c2+d2=12a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=12. Доведіть, що 36≤4(a3+b3+c3+d3)−(a4+b4+c4+d4)≤4836 \leq 4\left(a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}\right)-\left(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}\right) \leq 48
10–11 класиМетод Штурма3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2010-007

Прапори з одноколірною діагоналлю

На деякій планеті є 2N2^{N} країн (N≥4)(N \geq 4). Кожна країна має прапор NN одиниць завширшки та одну одиницю заввишки, складений із NN полів розміру 1×11 \times 1, кожне з яких або жовте, або синє. Жодні дві країни не мають однакового прапора. Будемо казати, що множина з NN прапорів є різноманітною, якщо ці прапори можна розташувати у квадрат N×NN \times N так, щоб усі NN полів на його головній діагоналі були одного кольору. Знайдіть найменше натуральне число MM таке, що серед будь-яких MM різних прапорів знайдуться NN прапорів, які утворюють різноманітну множину.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2010-009

Сума квадратів многочленів, що дає квадрат плюс сім

Знайдіть найменше число nn таке, що існують многочлени f1,f2,…,fnf_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n} з раціональними коефіцієнтами, які задовольняють x2+7=f1(x)2+f2(x)2+⋯+fn(x)2x^{2}+7=f_{1}(x)^{2}+f_{2}(x)^{2}+\cdots+f_{n}(x)^{2}
10–11 класиМетод нескінченного спуску
Шорт-лист IMOIMOSL-2010-005

Проєкції та відношення в опуклому многокутнику

Нехай A1A2…AnA_{1} A_{2} \ldots A_{n} — опуклий многокутник. Точку PP всередині цього многокутника вибрано так, що її проєкції P1,…,PnP_{1}, \ldots, P_{n} на прямі A1A2,…,AnA1A_{1} A_{2}, \ldots, A_{n} A_{1} відповідно лежать на сторонах многокутника. Доведіть, що для довільних точок X1,…,XnX_{1}, \ldots, X_{n} на сторонах A1A2,…,AnA1A_{1} A_{2}, \ldots, A_{n} A_{1} відповідно max⁡{X1X2P1P2,…,XnX1PnP1}≥1\max \left\{\frac{X_{1} X_{2}}{P_{1} P_{2}}, \ldots, \frac{X_{n} X_{1}}{P_{n} P_{1}}\right\} \geq 1
10–11 класиОписане коло2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2010-002

Рекурентна послідовність з невід'ємними частковими сумами

Послідовність x1,x2,…x_{1}, x_{2}, \ldots визначено умовами x1=1x_{1}=1 та x2k=−xkx_{2k}=-x_{k}, x2k−1=(−1)k+1xkx_{2k-1}=(-1)^{k+1} x_{k} для всіх k≥1k \geq 1. Доведіть, що x1+x2+⋯+xn≥0x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n} \geq 0 для всіх n≥1n \geq 1.
10–11 класиМетод математичної індукції2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2010-010

Хороші пари кубічних многочленів

Нехай a,ba, b — цілі числа, і нехай P(x)=ax3+bxP(x) = a x^{3} + b x. Для будь-якого натурального числа nn кажемо, що пара (a,b)(a, b) є nn-хорошою, якщо з n∣P(m)−P(k)n \mid P(m) - P(k) випливає n∣m−kn \mid m - k для всіх цілих чисел m,km, k. Кажемо, що (a,b)(a, b) є дуже хорошою, якщо (a,b)(a, b) є nn-хорошою для нескінченно багатьох натуральних чисел nn. a. Знайдіть пару (a,b)(a, b), яка є 5151-хорошою, але не є дуже хорошою. b. Доведіть, що всі 20102010-хороші пари є дуже хорошими.
10–11 класиКитайська теорема про остачі

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.