Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

279 задач
Шорт-лист IMO
Шорт-лист IMOIMOSL-2010-011

Максимальне розфарбування модульної таблиці

Рядки і стовпці таблиці 2n×2n2^{n} \times 2^{n} пронумеровано від 00 до 2n−12^{n}-1. Клітинки таблиці розфарбовано так, що виконується така властивість: для кожного 0≤i,j≤2n−10 \leq i, j \leq 2^{n}-1, jj-та клітинка в ii-му рядку і (i+j)(i+j)-та клітинка в jj-му рядку мають однаковий колір. (Індекси клітинок у рядку розглядаються за модулем 2n2^{n}.) Доведіть, що максимально можлива кількість кольорів дорівнює 2n2^{n}.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Шорт-лист IMOIMOSL-2010-006

Інцентр у рівносторонньому вписаному трикутнику

Вершини XX, YY, ZZ рівностороннього трикутника XYZXYZ лежать відповідно на сторонах BCBC, CACA, ABAB гострокутного трикутника ABCABC. Доведіть, що інцентр трикутника ABCABC лежить усередині трикутника XYZXYZ. Вершини XX, YY, ZZ рівностороннього трикутника XYZXYZ лежать відповідно на сторонах BCBC, CACA, ABAB трикутника ABCABC. Доведіть, що якщо інцентр трикутника ABCABC лежить поза трикутником XYZXYZ, то один із кутів трикутника ABCABC більший за 120∘120^{\circ}.
10–11 класиВписане коло3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2010-003

Взаємно рекурентні цілочисельні функції

Нехай ff і gg — дві функції, визначені на множині натуральних чисел, які набувають натуральних значень. Припустимо також, що рівності f(g(n))=f(n)+1f(g(n))=f(n)+1 і g(f(n))=g(n)+1g(f(n))= g(n)+1 виконуються для всіх натуральних чисел. Доведіть, що f(n)=g(n)f(n)=g(n) для всіх натуральних чисел nn.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2010-008

Покриття цілих чисел арифметичними прогресіями

Нехай P1,…,PsP_{1}, \ldots, P_{s} — арифметичні прогресії цілих чисел, які задовольняють такі умови: (i) кожне ціле число належить принаймні одній з них; (ii) кожна прогресія містить число, яке не належить іншим прогресіям. Позначимо через nn найменше спільне кратне кроків цих прогресій; нехай n=p1α1…pkαkn=p_{1}^{\alpha_{1}} \ldots p_{k}^{\alpha_{k}} — його розклад на прості множники. Доведіть, що s≥1+∑i=1kαi(pi−1)s \geq 1+\sum_{i=1}^{k} \alpha_{i}\left(p_{i}-1\right)
10–11 класиКласичні теореми теорії графів2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2010-004

Нерівність з упорядкованими сумами

Дано шість додатних чисел a,b,c,d,e,fa, b, c, d, e, f таких, що a<b<c<d<e<fa < b < c < d < e < f. Нехай a+c+e=Sa + c + e = S і b+d+f=Tb + d + f = T. Доведіть, що 2ST>3(S+T)(S(bd+bf+df)+T(ac+ae+ce))2 S T > \sqrt{3(S + T)(S(b d + b f + d f) + T(a c + a e + c e))}
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-014

Орієнтований граф із модульною умовою на ребра

Соціальний клуб має nn членів. Вони мають членські номери 1,2,…,n1, 2, \ldots, n відповідно. Час від часу члени надсилають подарунки іншим членам, у тому числі речі, які вони вже отримали як подарунки від інших членів. Щоб уникнути незручної ситуації, коли член може отримати подарунок, який він сам надсилав іншим членам, клуб на одних зі своїх щорічних загальних зборів додає до статуту таке правило: «Член із членським номером aa може надіслати подарунок членові із членським номером bb тоді й лише тоді, коли a(b−1)a(b-1) кратне nn.» Доведіть, що якщо кожен член дотримується цього правила, то ніхто не отримає від іншого члена подарунок, який він сам уже надсилав іншим членам. Інше формулювання: Нехай GG — орієнтований граф з nn вершинами v1,v2,…,vnv_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}, такий, що ребро з vav_{a} до vbv_{b} існує тоді й лише тоді, коли aa і bb різні та a(b−1)a(b-1) кратне nn. Доведіть, що цей граф не містить орієнтованого циклу.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-007

Гра з перевертанням блоків карток

На довгому столі паралельно лежать 20092009 карток, кожна з яких має золоту сторону й чорну сторону. Спочатку всі картки лежать золотими сторонами догори. Двоє гравців, які стоять з того самого довгого боку столу, грають по черзі. Кожен хід полягає у виборі блока з 5050 послідовних карток, найлівіша з яких показує золото, і перевертанні їх усіх, так що ті, які показували золото, тепер показують чорний бік, і навпаки. Останній гравець, який може зробити дозволений хід, перемагає. a. Чи обов'язково гра закінчиться? b. Чи існує виграшна стратегія для гравця, який починає?
10–11 класиНапівінваріанти
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-008

Різні розбиття числа на трійки

Для будь-якого цілого n≥2n \geq 2 нехай N(n)N(n) — максимальна кількість трійок (ai,bi,ci)(a_{i}, b_{i}, c_{i}), i=1,…,N(n)i=1, \ldots, N(n), що складаються з невід'ємних цілих чисел ai,bia_{i}, b_{i} і cic_{i} і задовольняють такі дві умови: (1) ai+bi+ci=na_{i}+b_{i}+c_{i}=n для всіх i=1,…,N(n)i=1, \ldots, N(n), (2) якщо i≠ji \neq j, то ai≠aj,bi≠bja_{i} \neq a_{j}, b_{i} \neq b_{j} і ci≠cjc_{i} \neq c_{j}. Знайдіть N(n)N(n) для всіх n≥2n \geq 2.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-001

Сума 1/(2a+b+c)² за умови 1/a+1/b+1/c=a+b+c

Нехай aa, bb, cc — додатні дійсні числа, такі, що 1a+1b+1c=a+b+c\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = a + b + c. Доведіть, що 1(2a+b+c)2+1(2b+c+a)2+1(2c+a+b)2≤316\frac{1}{(2a + b + c)^2} + \frac{1}{(2b + c + a)^2} + \frac{1}{(2c + a + b)^2} \leq \frac{3}{16}
10–11 класиНерівність Коші2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-009

Симетрія рекурентно заданих послідовностей

Нехай nn — натуральне число. Задано послідовність ε1,…,εn−1\varepsilon_{1}, \ldots, \varepsilon_{n-1}, де εi=0\varepsilon_{i}=0 або εi=1\varepsilon_{i}=1 для кожного i=1,…,n−1i=1, \ldots, n-1; послідовності a0,…,ana_{0}, \ldots, a_{n} і b0,…,bnb_{0}, \ldots, b_{n} будуються за такими правилами: a0=b0=1,a1=b1=7ai+1={2ai−1+3ai, якщо εi=0,3ai−1+ai, якщо εi=1, для кожного i=1,…,n−1,bi+1={2bi−1+3bi, якщо εn−i=0,3bi−1+bi, якщо εn−i=1, для кожного i=1,…,n−1\begin{gathered} a_{0}=b_{0}=1, \quad a_{1}=b_{1}=7 \\ a_{i+1}=\left\{\begin{array}{ll} 2 a_{i-1}+3 a_{i}, & \text{ якщо } \varepsilon_{i}=0, \\ 3 a_{i-1}+a_{i}, & \text{ якщо } \varepsilon_{i}=1, \end{array}\right. \quad \text{ для кожного } i=1, \ldots, n-1, \\ b_{i+1}=\left\{\begin{array}{ll} 2 b_{i-1}+3 b_{i}, & \text{ якщо } \varepsilon_{n-i}=0, \\ 3 b_{i-1}+b_{i}, & \text{ якщо } \varepsilon_{n-i}=1, \end{array}\right. \text{ для кожного } i=1, \ldots, n-1 \end{gathered} Доведіть, що an=bna_{n}=b_{n}.
10–11 класиМетод математичної індукції
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-015

Подільність значень цілочислової функції

Нехай ff — непостійна функція з множини натуральних чисел у множину натуральних чисел, така, що a−ba-b ділить f(a)−f(b)f(a)-f(b) для всіх різних натуральних чисел a,ba, b. Доведіть, що існує нескінченно багато простих чисел pp таких, що pp ділить f(c)f(c) для деякого натурального числа cc.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-010

Розбиття шахової дошки з мінімальною сумою периметрів

Для цілого m≥1m \geq 1 розглядаємо розбиття шахової дошки 2m×2m2^{m} \times 2^{m} на прямокутники, складені з клітинок дошки, у якому кожна з 2m2^{m} клітинок уздовж однієї діагоналі утворює окремий прямокутник зі стороною 1. Визначте найменшу можливу суму периметрів прямокутників у такому розбитті.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-003

Відношення площ для симетричного опуклого многокутника

Нехай PP — опуклий многокутник, симетричний відносно деякої точки OO. Доведіть, що для деякого паралелограма RR, для якого виконується P⊂RP \subset R, маємо ∣R∣∣P∣≤2\frac{|R|}{|P|} \leq \sqrt{2} де ∣R∣|R| і ∣P∣|P| позначають площі множин RR і PP відповідно.
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-002

Існування нерівності для довільної дійсної функції

Нехай ff — довільна функція, яка відображає множину дійсних чисел у множину дійсних чисел. Доведіть, що існують дійсні числа xx і yy такі, що f(x−f(y))>yf(x)+x.f(x-f(y))>y f(x)+x .
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-011

П'ять відер у вершинах п'ятикутника та переповнення

П'ять однакових порожніх відер місткістю 2 літри стоять у вершинах правильного п'ятикутника. Попелюшка та її зла Мачуха проводять послідовність раундів: на початку кожного раунду Мачуха бере один літр води із сусідньої річки та довільно розподіляє його по п'яти відрах. Потім Попелюшка вибирає пару сусідніх відер, виливає їх у річку та ставить назад. Потім починається наступний раунд. Мета Мачухи — домогтися переповнення одного з цих відер. Мета Попелюшки — цьому запобігти. Чи може зла Мачуха змусити відро переповнитися?
10–11 класиІнші інваріанти2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-004

Конкурентність середин відрізків Ейлера

Нехай сторони ADAD і BCBC чотирикутника ABCDABCD (такого, що сторона ABAB не паралельна стороні CDCD) перетинаються в точці PP. Точки O1O_{1} і O2O_{2} — центри описаних кіл, а точки H1H_{1} і H2H_{2} — ортоцентри трикутників ABPABP і DCPDCP відповідно. Позначимо середини відрізків O1H1O_{1}H_{1} і O2H2O_{2}H_{2} через E1E_{1} і E2E_{2} відповідно. Доведіть, що перпендикуляр з E1E_{1} на пряму CDCD, перпендикуляр з E2E_{2} на пряму ABAB і пряма H1H2H_{1}H_{2} проходять через одну точку.
10–11 класиКоло Ейлера (коло 9 точок)2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-012

Найдовший циклічний шлях кульгавої тури

На дошці 999×999999 \times 999 кульгава тура може ходити так: з будь-якої клітинки вона може піти на будь-яку сусідню клітинку, тобто клітинку, що має з нею спільну сторону, причому кожен хід має бути поворотом, тобто напрями будь-яких двох послідовних ходів мають бути перпендикулярними. Маршрут кульгавої тури без самоперетинів складається з послідовності попарно різних клітинок, які кульгава тура може відвідати в такому порядку допустимою послідовністю ходів. Такий маршрут без самоперетинів називається циклічним, якщо кульгава тура після досягнення останньої клітинки маршруту може перейти безпосередньо на першу клітинку маршруту і почати спочатку. Скільки клітинок відвідує найдовший можливий циклічний маршрут кульгавої тури без самоперетинів?
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-016

Добуток степенів мінус один не є повним квадратом

Нехай aa і bb — різні цілі числа, більші за 11. Доведіть, що існує натуральне число nn таке, що (an−1)(bn−1)(a^{n}-1)(b^{n}-1) не є повним квадратом.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-005

Рівносторонній трикутник з інцентрів

Нехай ABCABC — трикутник з інцентром II, а XX, YY і ZZ — інцентри трикутників BICBIC, CIACIA і AIBAIB відповідно. Нехай трикутник XYZXYZ — рівносторонній. Доведіть, що трикутник ABCABC також рівносторонній.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-013

Функція розбиття і подвоєння цифр

Для будь-якого цілого n≥2n \geq 2 обчислюємо ціле число h(n)h(n), застосовуючи таку процедуру до його десяткового запису. Нехай rr — найправіша цифра числа nn. (1) Якщо r=0r=0, то десятковий запис числа h(n)h(n) одержується з десяткового запису числа nn вилученням цієї найправішої цифри 00. (2) Якщо 1≤r≤91 \leq r \leq 9, розбиваємо десятковий запис числа nn на максимальну праву частину RR, що складається лише з цифр, не менших за rr, і на ліву частину LL, яка або порожня, або закінчується цифрою, строго меншою за rr. Тоді десятковий запис числа h(n)h(n) складається з десяткового запису LL, за яким ідуть дві копії десяткового запису R−1R-1. Наприклад, для числа n=17,151,345,543n=17,151,345,543 матимемо L=17,151L=17,151, R=345,543R=345,543 і h(n)=17,151,345,542,345,542h(n)=17,151,345,542,345,542. Доведіть, що, починаючи з довільного цілого n≥2n \geq 2, ітероване застосування hh дає ціле число 11 за скінченну кількість кроків.
10–11 класиНапівінваріанти3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-006

Ортоцентр трикутника інцентрів

Нехай ABCDABCD — описаний чотирикутник. Нехай gg — пряма через AA, яка перетинає відрізок BCBC в точці MM, а пряму CDCD — в точці NN. Позначимо через I1,I2I_{1}, I_{2} та I3I_{3} інцентри трикутників △ABM\triangle ABM, △MNC\triangle MNC і △NDA\triangle NDA відповідно. Доведіть, що ортоцентр трикутника △I1I2I3\triangle I_{1} I_{2} I_{3} лежить на прямій gg.
10–11 класиВписане коло2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2008-011

Рівність цілих чисел із симетричних степенів

Нехай nn — натуральне число, а pp — просте число. Доведіть, що якщо a,b,ca, b, c — цілі числа (не обов’язково додатні), які задовольняють рівняння an+pb=bn+pc=cn+pa,a^{n}+p b=b^{n}+p c=c^{n}+p a, то a=b=ca=b=c.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2008-008

Бокси із заданим графом перетинів

На площині розглядаємо прямокутники, сторони яких паралельні осям координат і мають додатну довжину. Такий прямокутник називатимемо боксом. Два бокси перетинаються, якщо вони мають спільну точку всередині або на межі. Знайдіть найбільше nn, для якого існують nn боксів B1,…,BnB_{1}, \ldots, B_{n} таких, що BiB_{i} і BjB_{j} перетинаються тоді й лише тоді, коли i≢j±1( mod n)i \not \equiv j \pm 1(\bmod n).
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист IMOIMOSL-2008-009

Кількість перестановок з умовою 2(a1+…+ak) ділиться на k

Для кожного натурального числа nn визначте кількість перестановок (a1,a2,…,an)(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}) множини {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\} з такою властивістю: 2(a1+a2+⋯+ak)ділиться на kдля k=1,2,…,n.2(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}) \quad \text{ділиться на} \ k \quad \text{для} \ k=1,2, \ldots, n.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Шорт-лист IMOIMOSL-2008-005

Трапеція та умова належності описаним колам

Дано трапецію ABCDA B C D з паралельними сторонами ABA B і CDC D. Припустимо, що існують точки EE на прямій BCB C поза відрізком BCB C та FF всередині відрізка ADA D такі, що ∠DAE=∠CBF\angle D A E=\angle C B F. Позначимо через II точку перетину прямих CDC D і EFE F, а через JJ — точку перетину прямих ABA B і EFE F. Нехай KK — середина відрізка EFE F; припустимо, що вона не лежить на прямій ABA B. Доведіть, що II належить описаному колу трикутника ABKA B K тоді й лише тоді, коли KK належить описаному колу трикутника CDJC D J.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.