Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

793 задачі
Відбіркові тести на IMO
Відбіркові тести на IMOTST-2018-007

Дотична до описаного кола перпендикулярна до сторони

Дано трикутник △ABC\triangle A B C з ∠C=90∘\angle C=90^{\circ}. Середину катета ACA C позначимо через DD, а ортогональну проєкцію CC на пряму BDB D позначимо через EE. Доведіть, що дотична в CC до описаного кола трикутника △AEC\triangle A E C перпендикулярна до гіпотенузи ABA B.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2018-008

Центр описаного кола на медіані трикутника

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а OO — центр його описаного кола. Пряма OAOA перетинає висоту hbh_{b} в точці PP, а висоту hch_{c} в точці QQ. Нехай HH — ортоцентр трикутника ABCABC. Доведіть, що центр описаного кола трикутника PQHPQH лежить на медіані трикутника ABCABC, що проходить через AA.
10–11 класиОзнаки подібності
Відбіркові тести на IMOTST-2018-031

Орієнтований 2-регулярний граф і його 1-регулярні підграфи

У країні Однобамії деякі пари міст сполучені дорогами з одностороннім рухом. Кожна дорога сполучає рівно два міста (дорогам дозволено перетинатися, наприклад, через мости), а між кожною парою міст є не більше однієї дороги. Ба більше, з кожного міста виходять рівно дві дороги і в кожне місто входять рівно дві дороги. Ми хочемо закрити половину доріг Однобамії так, щоб з кожного міста виходила рівно одна дорога і в кожне місто входила рівно одна дорога. Доведіть, що кількість способів зробити це є степенем двійки, більшим за 1 (тобто має вигляд 2n2^n для деякого цілого числа n≥1n \ge 1).
10–11 класиДвочасткові графи
Відбіркові тести на IMOTST-2018-041

Функціональне рівняння з композицією

Знайдіть усі функції f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, що задовольняють f(xy+f(xy))=2xf(y)f(xy + f(xy)) = 2x f(y) для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2018-011

Перестановка з різними остачами часткових добутків

Нехай pp — просте число. Доведіть, що можна вибрати перестановку a1,a2,…,apa_{1}, a_{2}, \ldots, a_{p} чисел 1,2,…,p1,2, \ldots, p так, щоб числа a1,a1a2,a1a2a3,…,a1a2a3⋯apa_{1}, a_{1} a_{2}, a_{1} a_{2} a_{3}, \ldots, a_{1} a_{2} a_{3} \cdots a_{p} давали всі різні остачі при діленні на pp.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Відбіркові тести на IMOTST-2018-014

Висоти трикутника з рівними відстанями

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник і нехай DD — основа висоти з AA. На відрізку ADAD лежать різні точки EE і FF такі, що ∣AE∣=∣BE∣|AE| = |BE| і ∣AF∣=∣CF∣|AF| = |CF|. Точка T≠DT \neq D така, що ∠BTE=∠CTF=90∘\angle BTE = \angle CTF = 90^\circ. Доведіть, що ∣TA∣2=∣TB∣⋅∣TC∣|TA|^2 = |TB| \cdot |TC|. Розглядаємо конфігурацію з порядком точок як на малюнку.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2018-015

Степінь двійки з кубів суми

Знайдіть усі пари (a,b)(a, b) натуральних чисел, для яких (a+b)3−2a3−2b3(a+b)^3-2 a^3-2 b^3 є степенем двійки.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Відбіркові тести на IMOTST-2018-012

Різниці послідовності з квадратичними сумами

Нехай n≥0n \geq 0 — ціле число. Послідовність a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots цілих чисел визначається так: a0=na_{0}=n, а для k≥1k \geq 1 число aka_{k} є найменшим цілим числом, більшим за ak−1a_{k-1}, для якого ak+ak−1a_{k}+a_{k-1} є квадратом цілого числа. Доведіть, що існує рівно ⌊2n⌋\lfloor\sqrt{2 n}\rfloor додатних цілих чисел, які не можна записати у вигляді ak−aℓa_{k}-a_{\ell}, де k>ℓ≥0k>\ell \geq 0.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2018-013

Циклічна перевага сіл у змаганнях бійців

Вздовж узбережжя круглого острова розташовано 20 різних сіл. У кожному з цих сіл є 20 бійців, причому всі 400 бійців мають різну силу. Кожні два сусідні села AA і BB проводять змагання, у якому кожен із 20 бійців села AA міряється силою з кожним із 20 бійців села BB. При цьому перемагає сильніший боєць. Кажемо, що село AA сильніше за село BB, якщо принаймні у kk з 400 поєдинків перемагає боєць села AA. Виявляється, що кожне село сильніше за своє сусіднє село за годинниковою стрілкою. Знайдіть найбільше значення kk, за якого таке можливе.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2018-032

Конкурентність дотичних на описаному колі трикутника

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник із центром вписаного кола II, центром описаного кола OO та описаним колом Γ\Gamma. Нехай MM — середина сторони AB‾\overline{AB}. Промінь AIAI перетинає BC‾\overline{BC} у точці DD. Позначимо через ω\omega і γ\gamma описані кола трикутників △BIC\triangle BIC і △BAD\triangle BAD відповідно. Пряма MOMO перетинає ω\omega у точках XX і YY, а пряма COCO перетинає ω\omega у точках CC і QQ. Припустімо, що точка QQ лежить усередині △ABC\triangle ABC і що ∠AQM=∠ACB\angle AQM = \angle ACB. Проведено дотичні до кола ω\omega у точках XX і YY та дотичні до кола γ\gamma у точках AA і DD. За умови ∠BAC≠60∘\angle BAC \neq 60^\circ доведіть, що ці чотири прямі перетинаються в одній точці, що лежить на колі Γ\Gamma.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові тести на IMOTST-2018-019

Розбиття графа знайомств на кліку та незалежну множину

У класі, де є принаймні чотири людини, виконується таке: якщо будь-які четверо з них сідають за круглий стіл, то завжди знайдеться хтось, хто знає обох своїх сусідів або не знає жодного з них. Доведіть, що людей можна розподілити на дві групи (одна з яких може бути порожньою) так, щоб в одній групі кожен знав кожного, а в іншій, навпаки, ніхто нікого не знав. (Якщо особа AA знає особу BB, то BB також знає AA.)
10–11 класиКласичні теореми теорії графів2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2018-016

Функціональне рівняння із замкненістю множини

Дано множину AA функцій f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}. Для всіх f1,f2∈Af_1, f_2 \in A існує f3∈Af_3 \in A така, що f1(f2(y)−x)+2x=f3(x+y)f_1\left(f_2(y)-x\right)+2 x=f_3(x+y) для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}. Доведіть, що для всіх f∈Af \in A виконується: f(x−f(x))=0f(x-f(x))=0
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові тести на IMOTST-2018-020

Дотик у трикутнику з вписаним колом

У нерівнобедреному трикутнику ABCABC точка II — центр вписаного кола. Бісектриса кута ∠BAC\angle BAC перетинає описане коло трикутника △ABC\triangle ABC ще раз у точці DD. Пряма через точку II, перпендикулярна до прямої ADAD, перетинає BCBC у точці FF. Середину дуги BCBC, на якій лежить AA, позначимо через MM. Пряма MIMI перетинає коло через B,IB, I і CC ще раз у точці NN. Доведіть, що пряма FNFN дотикається до кола через B,IB, I і CC.
10–11 класиТеорема про тризуб2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2018-017

Сума кутів у трикутнику з бісектрисою і центром описаного кола

У нерівнобедреному трикутнику △ABC\triangle A B C виконується ∠BAC=60∘\angle B A C=60^{\circ}. Нехай DD — точка перетину бісектриси кута ∠BAC\angle B A C зі стороною BCB C, OO — центр описаного кола трикутника △ABC\triangle A B C, а EE — точка перетину прямої AOA O з прямою BCB C. Доведіть, що ∠AED+∠ADO=90∘\angle A E D+\angle A D O=90^{\circ}.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові тести на IMOTST-2018-018

Розбиття чисел до квадрата з відношенням сум

Нехай nn — парне натуральне число. Розіб'ємо числа 1,2,…,n21,2, \ldots, n^{2} на дві множини AA і BB однакового розміру так, щоб кожне з n2n^{2} чисел належало рівно одній з цих двох множин. Нехай SAS_{A} і SBS_{B} — суми всіх елементів у множинах AA і BB відповідно. Визначте всі nn, для яких існує таке розбиття, що SASB=3964\frac{S_{A}}{S_{B}}=\frac{39}{64}
10–11 класиТеорема Ферма-Ейлера про суму дво…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2018-033

Цілі корені квадратного тричлена з послідовними коефіцієнтами

Для цілого числа n>0n > 0 позначимо через F(n)\mathcal{F}(n) множину цілих чисел m>0m > 0, для яких многочлен p(x)=x2+mx+np(x) = x^2 + mx + n має цілий корінь. a. Нехай SS — множина цілих чисел n>0n > 0, для яких F(n)\mathcal{F}(n) містить два послідовні цілі числа. Доведіть, що SS нескінченна, але ∑n∈S1n≤1.\sum_{n \in S} \frac{1}{n} \le 1. b. Доведіть, що існує нескінченно багато натуральних чисел nn, для яких F(n)\mathcal{F}(n) містить три послідовні цілі числа.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Відбіркові тести на IMOTST-2018-039

Найбільше яскраве число з різними цифрами

Натуральне число nn, усі цифри якого різні, назвемо яскравим, якщо або nn — одноцифрове число, або існує дільник числа nn, який можна отримати викресленням однієї цифри числа nn і який сам є яскравим. Знайдіть найбільше яскраве натуральне число. (Вважаємо, що числа не починаються з нуля.)
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Відбіркові тести на IMOTST-2018-021

Сума раціональних дробів дорівнює квадратному виразу

Нехай nn — натуральне число. Знайдіть усі додатні дійсні числа xx, для яких nx2+22x+1+32x+2+…+(n+1)2x+n=nx+n(n+3)2.n x^{2} + \frac{2^{2}}{x+1} + \frac{3^{2}}{x+2} + \ldots + \frac{(n+1)^{2}}{x+n} = n x + \frac{n(n+3)}{2}.
10–11 класиПеретворення дробів
Відбіркові тести на IMOTST-2018-022

Оцінка кількості чорних клітинок на дошці

Нехай для натурального числа nn дано дошку n×nn \times n. Пофарбуємо kk клітинок у чорний колір так, щоб для будь-яких трьох стовпців існував щонайбільше один рядок, у якому всі клітинки на перетині з цими трьома стовпцями пофарбовано в чорний колір. Доведіть, що виконується: 2kn≤8n−7+1\frac{2 k}{n} \leq \sqrt{8 n-7}+1
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові тести на IMOTST-2018-034

Рівні кола з рівних хорд

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з описаним колом ω\omega, а HH — основа висоти, опущеної з AA на сторону BC‾\overline{BC}. Нехай PP і QQ — точки на колі ω\omega, для яких PA=PHPA = PH і QA=QHQA = QH. Дотична до кола ω\omega в точці PP перетинає прямі ACAC і ABAB у точках E1E_1 і F1F_1 відповідно; дотична до кола ω\omega в точці QQ перетинає прямі ACAC і ABAB у точках E2E_2 і F2F_2 відповідно. Доведіть, що описані кола трикутників △AE1F1\triangle AE_1F_1 і △AE2F2\triangle AE_2F_2 рівні, а пряма, що проходить через їхні центри, паралельна дотичній до кола ω\omega в точці AA.
10–11 класиМетричні співвідношення в колі
Відбіркові тести на IMOTST-2018-042

Послідовність фібоначчієвого типу з рекурентною сумою

Послідовність додатних дійсних чисел a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dots задовольняє an=an−1+an−2a_n = a_{n-1} + a_{n-2} для всіх n≥3n \ge 3. Послідовність b1,b2,b3,…b_1, b_2, b_3, \dots задано рівностями b1=a1b_1 = a_1, bn=an+(b1+b2+⋯+bn−1)b_n = a_n + (b_1 + b_2 + \dots + b_{n-1}) для парних n>1n > 1, bn=an+(b2+b4+⋯+bn−1)b_n = a_n + (b_2 + b_4 + \dots + b_{n-1}) для непарних n>1n > 1. Доведіть, що якщо n≥3n \ge 3, то 13<bnn⋅an<1\frac{1}{3} < \frac{b_n}{n \cdot a_n} < 1.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2018-023

Відношення хорд за умов про середини

Нехай AA, BB, CC і DD — чотири точки, що лежать на колі в цьому порядку. Припустимо, що існує точка KK на відрізку ABA B, така, що BDB D ділить навпіл відрізок KCK C, а ACA C ділить навпіл відрізок KDK D. Знайдіть найменше можливе значення, якого може набувати ∣ABCD∣\left|\frac{A B}{C D}\right|.
10–11 класиВідношення площ трикутників
Відбіркові тести на IMOTST-2018-035

Червоне розфарбування та парність кортежів

Нехай S={1,…,100}S = \{1, \dots, 100\}, і для кожного натурального числа nn визначимо Tn={(a1,…,an)∈Sn∣a1+⋯+an≡0(mod100)}.T_n = \{(a_1, \dots, a_n) \in S^n \mid a_1 + \dots + a_n \equiv 0 \pmod{100}\}. Визначте, для яких nn виконується така властивість: якщо пофарбувати будь-які 75 елементів множини SS у червоний колір, то принаймні половина nn-елементних кортежів із TnT_n має парну кількість координат із червоними елементами.
10–11 класиКомплексні числа
Відбіркові тести на IMOTST-2018-043

Сторони трикутника з позначеними точками та умовами з'єднання

Нехай kk — додатне ціле число. Знайдіть усі додатні цілі числа nn такі, що можна позначити nn точок на сторонах трикутника (відмінних від його вершин) і з'єднати деякі з них лінією таким чином, щоб виконувалися такі умови: 1) на кожній стороні є принаймні 1 позначена точка; 2) для кожної пари точок XX і YY, позначених на різних сторонах, на третій стороні існує рівно kk позначених точок, які з'єднані як з XX, так і з YY, і рівно kk точок, які не з'єднані ні з XX, ні з YY.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові тести на IMOTST-2018-024

Мінімальна кількість обмінів для збалансованих послідовностей

Нехай nn — натуральне число. Послідовність, що складається з 3n3 n літер, назвемо румунською, якщо літери I,MI, M і OO трапляються кожна рівно nn разів. Обмін — це переставлення двох сусідніх літер. Доведіть, що для кожної румунської послідовності XX існує румунська послідовність YY така, що для отримання послідовності YY з послідовності XX потрібно щонайменше 3n22\frac{3 n^{2}}{2} обмінів.
10–11 класиПерестановки2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.