Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

793 задачі
Відбіркові тести на IMO
Відбіркові тести на IMOTST-2017-016

Функціональне рівняння з простими числами

Задано функцію f:Z>0→Zf: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{Z}, яка задовольняє властивості: (i) f(p)=1f(p)=1 для всіх простих чисел pp, (ii) f(xy)=yf(x)+xf(y)f(x y)=y f(x)+x f(y) для всіх x,y∈Z>0x, y \in \mathbb{Z}_{>0}. Знайдіть найменше n≥2016n \geq 2016, для якого f(n)=nf(n)=n.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Відбіркові тести на IMOTST-2017-009

Вибір знаків для квадратичної нерівності

Нехай n≥1n \geq 1 — натуральне число, а x1,…,xnx_{1}, \ldots, x_{n} — додатні дійсні числа. Доведіть, що можна вибрати a1,…,an∈{−1,1}a_{1}, \ldots, a_{n} \in \{-1,1\} так, щоб ∑i=1naixi2≥(∑i=1naixi)2\sum_{i=1}^{n} a_{i} x_{i}^{2} \geq \left(\sum_{i=1}^{n} a_{i} x_{i}\right)^{2}
10–11 класиЧислові нерівності
Відбіркові тести на IMOTST-2017-027

Образ інцентра при симетрії на описаному колі

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB=AC≠BCAB = AC \ne BC, а II — його інцентр. Пряма BIBI перетинає ACAC у точці DD, а пряма, що проходить через DD перпендикулярно до ACAC, перетинає AIAI у точці EE. Доведіть, що образ точки II при симетрії відносно ACAC лежить на описаному колі трикутника BDEBDE.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2017-020

Симетричний інцентру відносно сторони на описаному колі

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB=AC≠BCAB = AC \neq BC. Нехай далі II — центр вписаного кола трикутника ABCABC. Пряма BIBI перетинає ACAC у точці DD, а перпендикуляр до ACAC, проведений через DD, перетинає AIAI у точці EE. Доведіть, що точка, симетрична точці II відносно прямої ACAC, лежить на описаному колі трикутника BDEBDE.
10–11 класиТеорема про тризуб
Відбіркові тести на IMOTST-2017-021

Циклічні суми без подільності

Знайдіть усі цілі числа n≥2n \geq 2 з такою властивістю: Для довільних, не обов'язково різних цілих чисел m1,m2,…,mnm_{1}, m_{2}, \ldots, m_{n}, сума яких не ділиться на nn, існує індекс ii (1≤i≤n)(1 \leq i \leq n), такий, що жодне з чисел mi, mi+mi+1, mi+mi+1+mi+2, …, mi+mi+1+…+mi+n−1m_{i},\ m_{i}+m_{i+1},\ m_{i}+m_{i+1}+m_{i+2},\ \ldots,\ m_{i}+m_{i+1}+\ldots+m_{i+n-1} не ділиться на nn. (При цьому mi=mi−nm_{i}=m_{i-n} для i>ni>n.)
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбіркові тести на IMOTST-2017-022

Дотик зовнівписаного кола до описаного кола

Нехай ABCABC — трикутник. Зовнівписане коло ω\omega, протилежне вершині AA, дотикається до відрізка BC‾\overline{BC}, а також до променів ACAC і ABAB у точках DD, EE та FF відповідно. Описане коло трикутника AEFAEF перетинає пряму BCBC у точках PP і QQ. Нарешті, нехай MM — середина відрізка AD‾\overline{AD}. Доведіть, що коло ω\omega і описане коло трикутника MPQMPQ дотикаються.
10–11 класиІнверсія
Відбіркові тести на IMOTST-2017-023

Розбиття непарних чисел із заданим відношенням сум

Нехай k>2k > 2 — ціле число. Додатне ціле число ℓ\ell назвемо kk-пабельним, якщо числа 1,3,5,…,2k−11, 3, 5, \ldots, 2k-1 можна розбити на дві множини AA і BB так, щоб сума елементів множини AA була рівно в ℓ\ell разів більшою за суму елементів множини BB. Доведіть, що найменше kk-пабельне число взаємно просте з kk.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Відбіркові тести на IMOTST-2017-024

Паралельні прямі у прямокутному трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник із ∠A=90∘\angle A = 90^{\circ}, а DD — основа висоти, проведеної з AA. Середини відрізків ADAD і ACAC позначимо відповідно EE і FF. Нехай MM — центр описаного кола △BEF\triangle BEF. Доведіть, що AC∥BMAC \parallel BM.
10–11 класиОзнаки подібності
Відбіркові тести на IMOTST-2017-026

Сума обернених величин з кубічним рівнянням

Знайдіть усі можливі значення 1x+1y\frac{1}{x}+\frac{1}{y}, якщо xx і yy — дійсні числа (відмінні від 00), які задовольняють x3+y3+3x2y2=x3y3x^{3}+y^{3}+3 x^{2} y^{2}=x^{3} y^{3}.
10–11 класиРозкладання на множники і розкрит…
Відбіркові тести на IMOTST-2017-025

Добуток чисел з подільністю виразу з факторіалом

Знайдіть добуток усіх натуральних чисел nn, для яких 3(n!+1)3(n!+1) ділиться на 2n−52 n-5.
10–11 класиТеорема Вільсона
Відбіркові тести на IMOTST-2017-019

Найбільше діагоналей n-кутника з перпендикулярними перетинами

Нехай n≥3n \geq 3 — натуральне число. Яку найбільшу кількість діагоналей правильного nn-кутника можна провести так, щоб якщо дві діагоналі перетинаються у внутрішній області, то вони перпендикулярні одна до одної?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2017-033

Рівнобедрений трикутник із дотичною до вписаного кола

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник з вершиною AA та висотою ADAD. На стороні ABAB вибрано точку FF, відмінну від BB, таку, що пряма CFCF дотикається до вписаного кола трикутника ABDABD. Припустимо, що △BCF\triangle BCF є рівнобедреним. Доведіть, що ці умови однозначно визначають: a) яка вершина трикутника BCFBCF є його вершиною; b) величину ∠BAC\angle BAC.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові тести на IMOTST-2017-029

Функції з рівністю (y+1)f(x)+f(xf(y)+f(x+y))=y

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} такі, що (y+1)f(x)+f(xf(y)+f(x+y))=y(y+1) f(x)+f(x f(y)+f(x+y))=y для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Відбіркові тести на IMOTST-2017-032

Дотична і перетин в описаному колі трикутника

У трикутнику ABCA B C точка MM — середина сторони ABA B, а NN — середина відрізка CMC M. Нехай XX — точка, для якої ∠XMC=∠MBC\angle X M C=\angle M B C і ∠XCM=∠MCB\angle X C M=\angle M C B, причому XX і BB лежать по різні боки від прямої CMC M. Нехай Ω\Omega — описане коло трикутника AMXA M X. a) Доведіть, що пряма CMC M дотикається до кола Ω\Omega. b) Доведіть, що прямі NXN X і ACA C перетинаються на колі Ω\Omega.
10–11 класиОзнаки подібності2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2017-030

Розфарбування цілих чисел із забороненими проміжками

Четвірку (a,b,c,d)(a, b, c, d) натуральних чисел з a≤b≤c≤da \leq b \leq c \leq d називаємо хорошою, якщо кожне ціле число можна пофарбувати в червоний, синій, зелений або фіолетовий колір так, що - з будь-яких aa послідовних чисел принаймні одне червоне; - з будь-яких bb послідовних чисел принаймні одне синє; - з будь-яких cc послідовних чисел принаймні одне зелене; - з будь-яких dd послідовних чисел принаймні одне фіолетове. Знайдіть усі хороші четвірки з a=2a=2.
10–11 класиКонструкція через періодичність
Відбіркові тести на IMOTST-2017-031

Розділення точок прямими

Нехай n≥2n \geq 2 — ціле число. Знайдіть найменше натуральне число mm таке, що: для будь-яких nn точок на площині, жодні три з яких не лежать на одній прямій, існує mm прямих таких, що жодна пряма не проходить через жодну з даних точок і для кожної пари даних точок X≠YX \neq Y справджується, що існує пряма, відносно якої XX і YY лежать по різні боки.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2017-028

Геометричне місце центрів описаних кіл проєкцій

Нехай kk — коло, а ABAB — хорда кола kk, така, що центр кола kk не лежить на ABAB. Нехай CC — відмінна від AA і BB точка на колі kk. Для кожного вибору CC нехай PCP_{C} і QCQ_{C} — проєкції точки AA на пряму BCBC та точки BB на пряму ACAC відповідно. Далі нехай OCO_{C} — центр описаного кола трикутника PCQCCP_{C} Q_{C} C. Доведіть, що існує коло ω\omega таке, що OCO_{C} для кожного вибору CC лежить на ω\omega.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2017-035

Двійкові рядки з фіксованою відстанню Геммінга

Керівник команди IMO вибирає натуральні числа nn і kk з n>kn > k і повідомляє їх заступнику керівника та учаснику. Потім керівник таємно повідомляє заступнику nn-значний двійковий рядок, а заступник виписує всі nn-значні двійкові рядки, які відрізняються від рядка керівника рівно в kk позиціях. (Наприклад, якщо n=3n = 3 і k=1k = 1, і керівник вибрав 101, то заступник випише 001, 111 і 100.) Учасник, який може переглянути рядки, виписані заступником, намагається вгадати рядок керівника. Яка найменша кількість спроб (залежно від nn і kk) потрібна, щоб гарантовано отримати правильну відповідь?
10–11 класиКомбінації
Відбіркові тести на IMOTST-2017-034

Пари простих чисел із квадратичною сумою

Знайдіть усі пари простих чисел (p,q)(p, q) такі, що p2+5pq+4q2p^{2}+5 p q+4 q^{2} є квадратом цілого числа.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Відбіркові тести на IMOTST-2017-037

Рівняння з xf(x²)f(f(y)) та f(xy)

Нехай R+\mathbb{R}^+ — множина додатних дійсних чисел. Знайдіть усі функції f:R+→R+f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+, які задовольняють рівняння xf(x2)f(f(y))+f(yf(x))=f(xy)(f(f(x2))+f(f(y2))).xf(x^2)f(f(y)) + f(yf(x)) = f(xy)(f(f(x^2)) + f(f(y^2))). для всіх x,y∈R+x, y \in \mathbb{R}^+.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові тести на IMOTST-2017-036

Рівняння f(x) - f(x+y) = f(x²f(y) + x)

Знайдіть усі функції f:R>0→R≥0f: \mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0} такі, що для всіх x,y∈R>0x, y \in \mathbb{R}_{>0}: f(x)−f(x+y)=f(x2f(y)+x)f(x)-f(x+y)=f\left(x^{2} f(y)+x\right)
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Відбіркові тести на IMOTST-2017-039

Заповнення таблиці n×n з умовами подільності на суми

Нехай nn — натуральне число. Скількома способами можна заповнити таблицю n×nn \times n цілими числами від 00 до 55 так, щоб а) сума кожного рядка ділилася на 22, а сума кожного стовпця ділилася на 33; б) сума кожного рядка ділилася на 22, сума кожного стовпця ділилася на 33, а сума кожної з двох діагоналей ділилася на 66?
10–11 класиПравила суму та добутку
Відбіркові тести на IMOTST-2017-038

Двійкові послідовності з фіксованою відстанню Геммінга

Бразильський керівник команди на IMO вибирає два натуральні числа nn і kk, де n>kn>k, і повідомляє їх своєму заступнику та одному учаснику. Потім керівник шепоче заступнику на вухо двійкову послідовність довжини nn. Заступник виписує всі двійкові послідовності довжини nn, які відрізняються від послідовності керівника рівно в kk місцях. (Приклад для n=3n=3 і k=1k=1: якщо керівник вибирає 101, то заступник виписує 001, 100, 111.) Учасник дивиться на послідовності, які виписав заступник. Тепер учасник намагається з’ясувати початкову послідовність керівника. Скільки щонайменше разів йому доведеться вгадувати (залежно від nn і kk), щоб напевно хоч раз вгадати правильно?
10–11 класиКомбінації
Відбіркові тести на IMOTST-2017-040

Монотонна послідовність з рівною кількістю дільників

Знайдіть усі неспадні послідовності a1,a2,a3,…a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots натуральних чисел, такі, що i+ji+j і ai+aja_{i}+a_{j} для всіх i,j∈Ni, j \in \mathbb{N} мають однакову кількість дільників.
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Відбіркові тести на IMOTST-2017-042

Геометричне місце центрів подібності трикутників

Нехай B=(−1,0)B = (-1,0) і C=(1,0)C = (1,0) — фіксовані точки координатної площини. Непорожню обмежену підмножину SS площини називають гарною, якщо (i) існує точка T∈ST \in S така, що для кожної точки Q∈SQ \in S відрізок TQTQ цілком міститься в SS; та (ii) для будь-якого трикутника P1P2P3P_1P_2P_3 існує єдина точка A∈SA \in S і перестановка σ\sigma індексів {1,2,3}\{1,2,3\}, для яких трикутники ABCABC і Pσ(1)Pσ(2)Pσ(3)P_{\sigma(1)}P_{\sigma(2)}P_{\sigma(3)} подібні. Доведіть, що існують дві різні гарні підмножини SS і S′S' множини {(x,y):x≥0,y≥0}\{(x,y): x \ge 0, y \ge 0\} такі, що якщо A∈SA \in S і A′∈S′A' \in S' — єдині точки з (ii), то добуток BA⋅BA′BA \cdot BA' є сталою, незалежною від трикутника P1P2P3P_1P_2P_3.
10–11 класиПоворотна гомотетія

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.