Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

793 задачі
Відбіркові тести на IMO
Відбіркові тести на IMOTST-2013-039

Подільність значень функції, що зберігає взаємну простість

Нехай N\mathbb{N} — множина натуральних чисел. Нехай f:N→Nf: \mathbb{N} \to \mathbb{N} — функція, що задовольняє такі дві умови: a. f(m)f(m) і f(n)f(n) взаємно прості щоразу, коли mm і nn взаємно прості. b. n≤f(n)≤n+2012n \le f(n) \le n + 2012 для всіх nn. Доведіть, що для довільного натурального числа nn і довільного простого числа pp, якщо pp ділить f(n)f(n), то pp ділить nn.
10–11 класиКитайська теорема про остачі2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2013-031

Рівні відрізки від середини сторони гострокутного трикутника

У гострокутному трикутнику основи висот, проведених з вершин AA і BB, — це DD і EE відповідно. Нехай MM — середина сторони ABAB. Пряма CMCM перетинає описане коло трикутника CDECDE вдруге в точці PP, а описане коло трикутника CABCAB вдруге — у точці QQ. Доведіть, що ∣MP∣=∣MQ∣.|MP| = |MQ|.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2013-032

Чи є вписаний чотирикутник ACPQ квадратом

Нехай DD — відмінна від BB точка на гіпотенузі ABAB прямокутного трикутника ABCABC така, що ∣CB∣=∣CD∣|CB| = |CD|. Нехай OO — центр описаного кола трикутника ACDACD. Промені ODOD і CBCB перетинаються в точці PP, а пряма, що проходить через точку OO перпендикулярно до сторони ABAB, і промінь CDCD перетинаються в точці QQ. Точки AA, CC, PP, QQ лежать на одному колі. Чи випливає з цього, що ACPQACPQ — квадрат?
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2013-016

Мінімальне покриття збалансованими прямокутниками

Нехай n≥3n \geq 3 — ціле число, і розглянемо дошку n×nn \times n, поділену на n2n^{2} одиничних квадратиків. Для кожного m≥1m \geq 1 маємо в необмеженій кількості прямокутники 1×m1 \times m (тип I) та прямокутники m×1m \times 1 (тип II). Ми покриваємо дошку NN такими прямокутниками, які не перекриваються і не виходять за межі дошки. При цьому загальна кількість прямокутників типу I на дошці має дорівнювати загальній кількості прямокутників типу II на дошці. (Зауважимо, що прямокутник 1×11 \times 1 є одночасно типу I і типу II.) Яке найменше значення NN, для якого це можливо?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2013-017

Функціональне рівняння f(x+yf(x))=f(xf(y))-x+f(y+f(x))

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, які задовольняють f(x+yf(x))=f(xf(y))−x+f(y+f(x))f(x+y f(x))=f(x f(y))-x+f(y+f(x)) для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові тести на IMOTST-2013-040

Конкурентність через середини сторін і основи висот

У різносторонньому трикутнику ABCABC нехай A1A_1, B1B_1, C1C_1 — основи перпендикулярів, опущених з AA на BCBC, з BB на CACA і з CC на ABAB відповідно. Позначимо через A2A_2 точку перетину прямих BCBC і B1C1B_1C_1. Аналогічно визначимо B2B_2 і C2C_2. Нехай DD, EE, FF — середини сторін BCBC, CACA, ABAB відповідно. Доведіть, що перпендикуляри, опущені з DD на пряму AA2AA_2, з EE на пряму BB2BB_2 і з FF на пряму CC2CC_2, перетинаються в одній точці.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові тести на IMOTST-2013-033

Граф зі щільними з'єднаннями четвірок

У Дивокраї є принаймні 5 міст. Деякі міста з'єднані безпосередньо дорогами або залізницями. Кожне місто з'єднане принаймні з одним іншим містом, і для будь-яких чотирьох міст існує безпосереднє сполучення принаймні між трьома парами міст серед цих чотирьох. Коли мандрівник входить до мережі громадського транспорту цієї країни, він повинен вкинути одну золоту монету в автомат, який дозволяє йому скористатися безпосереднім сполученням, щоб дістатися до наступного міста. Але якщо мандрівник продовжує рух з деякого міста тим самим видом транспорту, яким він туди прибув, і він заплатив золоту монету, щоб дістатися до цього міста, то переїзд до наступного міста нічого не коштує, а натомість мандрівник отримує назад монету, яку він використав останньою. В інших випадках він повинен платити так само, як на початку подорожі. Доведіть, що можна дістатися з будь-якого міста до будь-якого іншого міста, використавши не більше 2 золотих монет.
10–11 класиШляхи на графах2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2013-034

Степені у показниковій послідовності

Назвемо кортеж (bm,bm+1,…,bn)(b_m, b_{m+1}, \dots, b_n) цілих чисел досконалим, якщо виконано обидві такі умови: 1. Існує ціле число a>1a > 1 таке, що bk=ak+1b_k = a^k + 1 для всіх k=m,m+1,…,nk = m, m+1, \dots, n; 2. Для всіх k=m,m+1,…,nk = m, m+1, \dots, n існує просте число qq і невід'ємне ціле число tt такі, що bk=qtb_k = q^t. Доведіть, що якщо n−mn - m достатньо велике, то досконалих кортежів не існує, і знайдіть усі досконалі кортежі з максимальною кількістю компонентів.
10–11 класиПрості числа (базові властивості)
Відбіркові тести на IMOTST-2013-020

Центри вписаних кіл і перпендикулярність

В уписаному шестикутнику ABCDEFA B C D E F виконується AB⊥BDA B \perp B D та ∣BC∣=∣EF∣|B C|=|E F|. Позначимо через PP точку перетину прямих BCB C і ADA D, а через QQ — точку перетину прямих EFE F і ADA D. Припустимо, що PP і QQ лежать з того боку від DD, де не лежить AA. Нехай SS — середина відрізка ADA D. Нехай KK і LL — центри вписаних кіл відповідно трикутників △BPS\triangle B P S і EQSE Q S. Доведіть, що ∠KDL=90∘\angle K D L=90^{\circ}.
10–11 класиТочка перетину бісектрис
Відбіркові тести на IMOTST-2013-018

Трикутники з рівними площами та взаємно простими сторонами

Два нерівні трикутники ABCABC і XYZXYZ називають парою приятелів, якщо вони задовольняють такі умови: (a) ці два трикутники мають однакову площу; (b) нехай MM і WW — середини сторін BCBC і YZYZ відповідно. Набори довжин {AB,AM,AC}\{AB, AM, AC\} і {XY,XW,XZ}\{XY, XW, XZ\} є однаковими триелементними множинами попарно взаємно простих цілих чисел. Визначте, чи існує нескінченно багато пар трикутників, які є приятелями один одного.
10–11 класиТеорема Ферма-Ейлера про суму дво…
Відбіркові тести на IMOTST-2013-019

Пари трикутників з рівними площами та однаковими наборами довжин

Два нерівні трикутники ABCABC і XYZXYZ називають парою приятелів, якщо вони задовольняють такі умови: (a) трикутники мають однакову площу; (b) нехай MM і WW — середини сторін BCBC і YZYZ відповідно. Множини довжин {AB,AM,AC}\{AB, AM, AC\} і {XY,XW,XZ}\{XY, XW, XZ\} є однаковими триелементними множинами попарно взаємно простих цілих чисел. Визначте, чи існує нескінченно багато пар трикутників, які є приятелями один одного.
10–11 класиТеорема Ферма-Ейлера про суму дво…
Відбіркові тести на IMOTST-2013-041

Раціональна послідовність, що досягає цілого числа

Дано раціональне число xx. Доведіть, що існує послідовність x0,x1,x2,…x_0, x_1, x_2, \dots раціональних чисел з такими властивостями: a. x0=xx_0 = x; b. для кожного n≥1n \ge 1 або xn=2xn−1x_n = 2x_{n-1}, або xn=2xn−1+1nx_n = 2x_{n-1} + \frac{1}{n}; c. xnx_n є цілим числом при деякому nn.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2013-035

Діофантове рівняння із симетричними змінними

Знайдіть усі натуральні числа nn такі, що рівняння x2+y2+z2=nxyzx^2 + y^2 + z^2 = nxyz має розв'язки в додатних цілих числах.
10–11 класиСтрибки Вієта
Відбіркові тести на IMOTST-2013-036

Два хлопці і дві дівчини з першим спілкуванням в один місяць

Клас складається із 77 хлопців і 1313 дівчат. Протягом перших трьох місяців навчального року кожен хлопець поспілкувався з кожною дівчиною принаймні один раз. Доведіть, що існують двоє хлопців і двоє дівчат такі, що обидва хлопці вперше поспілкувалися з обома дівчатами в одному й тому самому місяці.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2013-021

Конкурентність прямих у трикутнику з колами на діаметрах

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник. Коло ω1\omega_1 з діаметром ACAC перетинає сторону BCBC у точці FF (відмінній від CC). Коло ω2\omega_2 з діаметром BCBC перетинає сторону ACAC у точці EE (відмінній від CC). Промінь AFAF перетинає ω2\omega_2 у точках KK і MM, причому AK<AMAK < AM. Промінь BEBE перетинає ω1\omega_1 у точках LL і NN, причому BL<BNBL < BN. Доведіть, що прямі ABAB, MLML, NKNK перетинаються в одній точці.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Відбіркові тести на IMOTST-2013-042

Нерівність із симетричним кубічним обмеженням

Додатні дійсні числа xx, yy, zz задовольняють рівність xyz+xy+yz+zx=x+y+z+1xyz + xy + yz + zx = x + y + z + 1. Доведіть, що 13(1+x21+x+1+y21+y+1+z21+z)≤(x+y+z3)5/8.\frac{1}{3} \left( \sqrt{\frac{1+x^2}{1+x}} + \sqrt{\frac{1+y^2}{1+y}} + \sqrt{\frac{1+z^2}{1+z}} \right) \le \left( \frac{x+y+z}{3} \right)^{5/8}.
10–11 класиНерівність Коші
Відбіркові тести на IMOTST-2013-043

Непарність частки суми степенів

Доведіть, що частка 11+33+55+⋯+(22012−1)(22012−1)22012\frac{1^1 + 3^3 + 5^5 + \dots + (2^{2012} - 1)^{(2^{2012} - 1)}}{2^{2012}} є непарним цілим числом.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2013-022

Таблиці нулів і одиниць з упорядкованими нулями

У таблиці з nn рядками та 2n2n стовпцями, де nn — фіксоване натуральне число, у кожну клітинку записуємо або нуль, або одиницю так, щоб кожен рядок містив nn нулів і nn одиниць. Для 1≤k≤n1 \le k \le n і 1≤i≤n1 \le i \le n означимо ak,ia_{k,i} так, що ii-й нуль у kk-му рядку стоїть у ak,ia_{k,i}-му стовпці. Нехай F\mathcal{F} — множина таких таблиць, для яких a1,i≥a2,i≥⋯≥an,ia_{1,i} \ge a_{2,i} \ge \dots \ge a_{n,i} для кожного ii з 1≤i≤n1 \le i \le n. Для C∈FC \in \mathcal{F} зіставимо іншу таблицю f(C)f(C) розміру n×2nn \times 2n так: для kk-го рядка таблиці f(C)f(C) запишемо nn одиниць у стовпцях an,k−k+1,an−1,k−k+2,…,a1,k−k+na_{n,k} - k + 1, a_{n-1,k} - k + 2, \dots, a_{1,k} - k + n (а в інші клітинки цього рядка запишемо нулі). a. Доведіть, що f(C)∈Ff(C) \in \mathcal{F}. b. Доведіть, що f(f(f(f(f(f(C))))))=Cf(f(f(f(f(f(C)))))) = C для будь-якого C∈FC \in \mathcal{F}.
10–11 класиБієкції
Відбіркові тести на IMOTST-2013-023

Цілочисельний многочлен зі значеннями неквадратами

Визначте, чи існує многочлен (від трьох змінних) P(x,y,z)P(x, y, z) з цілими коефіцієнтами, що задовольняє таку властивість: натуральне число nn не є повним квадратом тоді й лише тоді, коли існує трійка (x,y,z)(x, y, z) натуральних чисел, для якої P(x,y,z)=nP(x, y, z) = n.
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Відбіркові тести на IMOTST-2013-044

Стабільні трикутні таблиці із заданими сумами рядків

Нехай nn — натуральне число. Розглянемо трикутну таблицю з невід'ємних цілих чисел такого вигляду: Назвемо таку трикутну таблицю стабільною, якщо для всіх 0≤i<j<k≤n0 \le i < j < k \le n виконується ai,j+aj,k≤ai,k≤ai,j+aj,k+1.a_{i,j} + a_{j,k} \le a_{i,k} \le a_{i,j} + a_{j,k} + 1. Для будь-якої неспадної послідовності невід'ємних цілих чисел s1,…,sns_1, \dots, s_n доведіть, що існує єдина стабільна трикутна таблиця, у якій сума всіх елементів у рядку kk дорівнює sks_k.
10–11 класиОрієнтовані графи
Відбіркові тести на IMOTST-2013-045

Класи еквівалентності повних рядків за простої операції

Нехай SS — множина з nn змінних, бінарна операція ×\times на SS називається простою, якщо вона задовольняє (x×y)×z=x×(y×z)(x \times y) \times z = x \times (y \times z) для всіх x,y,z∈Sx, y, z \in S і x×y∈{x,y}x \times y \in \{x, y\} для всіх x,y∈Sx, y \in S. Для простої операції ×\times на SS будь-який рядок з елементів SS можна звести до одного елемента, наприклад xyz→x×(y×z)xyz \rightarrow x \times (y \times z). Рядок зі змінних з SS називається повним, якщо він містить кожну змінну з SS принаймні один раз, а два рядки називаються еквівалентними, якщо вони дають ту саму змінну незалежно від того, яку просту операцію ×\times обрано. Наприклад, xxxxxx, xxxx і xx еквівалентні, але вони повні лише якщо n=1n = 1. Нехай TT — множина рядків така, що будь-який повний рядок еквівалентний рівно одному елементу з TT. Визначте кількість елементів множини TT.
10–11 класиПерестановки
Відбіркові тести на IMOTST-2012-004

Найменша кількість змін клітинок для різних сум рядків і стовпців

Знайдіть найменше натуральне число kk, для якого виконується таке: якщо Каїн записує цілі числа в клітинки дошки 2011×20112011 \times 2011 так, що 4022 суми, які можна отримати додаванням усіх чисел рядка або стовпця, попарно збігаються, то Абель може, змінивши записи лише в kk клітинках, домогтися того, щоб ці 4022 суми стали попарно різними.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2012-001

Добутковий многочлен, подільний на велике просте число

Для дев'яти різних натуральних чисел d1,d2,…,d9d_{1}, d_{2}, \ldots, d_{9} розглянемо многочлен P(n)=(n+d1)(n+d2)⋅…⋅(n+d9)P(n)=\left(n+d_{1}\right)\left(n+d_{2}\right) \cdot \ldots \cdot\left(n+d_{9}\right). Доведіть, що існує ціле число NN з такою властивістю: для всіх цілих чисел n≥Nn \geq N число P(n)P(n) ділиться на просте число, більше за 20.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбіркові тести на IMOTST-2012-005

Квадратична композиція із заданими нулями

Чи існують квадратні многочлени P(x)P(x) і Q(x)Q(x) з дійсними коефіцієнтами такі, що многочлен P(Q(x))P(Q(x)) має рівно такі нулі: x=2,x=3,x=5x=2, x=3, x=5 і x=7x=7?
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Відбіркові тести на IMOTST-2012-006

Степені простих чисел через умову на НСД

Для натуральних чисел aa і bb означимо a⊖b=a−bНСД(a,b)a \ominus b=\frac{a-b}{\text{НСД}(a, b)}. Доведіть, що для кожного цілого числа n>1n>1 виконується: nn є степенем простого числа (тобто nn можна записати як n=pkn=p^{k}, де pp — просте число, а kk — натуральне число) тоді й лише тоді, коли для всіх натуральних m<nm<n виконується НСД(n,n⊖m)=1\text{НСД}(n, n \ominus m)=1.
10–11 класиНСД та НСК

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.