Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

793 задачі
Відбіркові тести на IMO
Відбіркові тести на IMOTST-2011-032

Щільна множина пар із потрійним перекриттям

Нехай n≥1n \ge 1 — ціле число, а SS — множина пар цілих чисел (a,b)(a, b), для яких 1≤a<b≤2n1 \le a < b \le 2^n. Припустимо, що ∣S∣>n⋅2n+1|S| > n \cdot 2^{n+1}. Доведіть, що існують чотири цілі числа a<b<c<da < b < c < d такі, що SS містить усі три пари (a,c)(a, c), (b,d)(b, d) і (a,d)(a, d).
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбіркові тести на IMOTST-2011-035

Дотична до описаного кола в трикутнику

У трикутнику ABCA B C, у якому AB≠ACA B \neq A C, нехай DD — проєкція точки AA на пряму BCB C. Крім того, нехай E,FE, F — середини відрізків ADA D та BCB C відповідно, а GG — проєкція точки BB на пряму AFA F. Доведіть, що пряма EFE F є дотичною в точці FF до описаного кола трикутника GFCG F C.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2011-034

Чи існують дві різні множини з близькими сумами степенів

Визначте, чи існують дві різні множини AA, BB, кожна з яких складається щонайбільше з 201122011^2 натуральних чисел, такі, що кожне xx з 0<x<10 < x < 1 задовольняє таку нерівність: ∣∑a∈Axa−∑b∈Bxb∣<(1−x)2011.\left| \sum_{a \in A} x^a - \sum_{b \in B} x^b \right| < (1-x)^{2011}.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбіркові тести на IMOTST-2011-036

Бісектриси у квадраті та перпендикулярність

Нехай ABCDA B C D — квадрат, а MM — внутрішня точка відрізка BCB C. Бісектриса кута ∠BAM\angle B A M перетинає відрізок BCB C у точці EE. Крім того, бісектриса кута ∠MAD\angle M A D перетинає пряму CDC D у точці FF. Доведіть, що прямі AMA M і EFE F перпендикулярні.
10–11 класиОзнаки подібності
Відбіркові тести на IMOTST-2011-037

Циклічна сума з локальними обмеженнями

Нехай x1,…,x8≥0x_{1}, \ldots, x_{8} \geq 0 — дійсні числа, такі, що для i=1,…,8i=1, \ldots, 8 виконується xi+xi+1+xi+2≤1x_{i}+x_{i+1}+x_{i+2} \leq 1, де x9=x1x_{9}=x_{1} і x10=x2x_{10}=x_{2}. Доведіть нерівність ∑i=18xixi+2≤1\sum_{i=1}^{8} x_{i} x_{i+2} \leq 1 і знайдіть усі випадки, в яких досягається рівність.
10–11 класиНерівність Коші
Відбіркові тести на IMOTST-2010-005

Гра з перевертанням карток інтервалами

На столі лежать поруч в один ряд 2009 карток. Спочатку в усіх карток верхній бік білий, а нижній — чорний. Картки пронумеровано від 11 до 20092009. Два гравці AA та BB по черзі роблять хід, причому AA починає. Кожен хід полягає в тому, що гравець вибирає картку з номером kk (k<1969k < 1969), білий бік якої лежить зверху, а потім перевертає на своїх місцях картки з номерами k,k+1,k+2,…,k+40k, k+1, k+2, \ldots, k+40. Останній гравець, який зміг зробити допустимий хід, виграє гру. a) Визначте, чи ця гра обов'язково закінчується. b) Для якого з двох гравців існує виграшна стратегія?
10–11 класиПарність і непарність
Відбіркові тести на IMOTST-2010-001

Ромб з рівними відрізками та перетином

Нехай чотирикутник ABCDABCD — ромб з гострим кутом при AA. Точки MM і NN лежать на відрізках ACAC і BCBC так, що ∣DM∣=∣MN∣|DM| = |MN|. Нехай далі PP — точка перетину прямих ACAC і DNDN, а RR — точка перетину прямих ABAB і DMDM. Доведіть, що ∣RP∣=∣PD∣|RP| = |PD|.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2010-035

Трапеція з ромбом і лінією через середину

Нехай ABCDA B C D — трапеція, у якої AB∥CDA B \| C D, 2∣AB∣=∣CD∣2|A B|=|C D| і BD⊥BCB D \perp B C. Нехай MM — середина основи CDC D, а EE — точка перетину прямих BCB C і ADA D. Нехай OO — точка перетину прямих AMA M і BDB D. Нехай NN — точка перетину прямих OEO E і ABA B. а. Доведіть, що чотирикутник ABMDA B M D — ромб. б. Доведіть, що пряма DND N проходить через середину відрізка BEB E.
10–11 класиПаралельні прямі і теорема Фалеса
Відбіркові тести на IMOTST-2010-004

Трикутник з рівними відрізками

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з властивістю ∠BAC=45∘\angle BAC=45^{\circ}. Нехай DD — основа перпендикуляра з CC на ABAB. Нехай PP — внутрішня точка відрізка CDCD. Доведіть, що прямі APAP і BCBC перпендикулярні одна до одної тоді й лише тоді, коли ∣AP∣=∣BC∣|AP|=|BC|.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Відбіркові тести на IMOTST-2010-003

Перестановка із заданим заворушенням

Нехай π=(a1,a2,…,an)\pi=\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right) — перестановка чисел 1,2,…,n1,2, \ldots, n. Заворушенням перестановки π\pi називається кількість пар (i,j)(i, j) натуральних чисел таких, що 1≤i<j≤n1 \leq i<j \leq n і aj>aia_{j}>a_{i}. Доведіть, що для кожного цілого числа kk такого, що 0≤k≤(n2)0 \leq k \leq\binom{ n}{2} існує перестановка чисел 1,2,…,n1,2, \ldots, n із заворушенням kk.
10–11 класиПерестановки
Відбіркові тести на IMOTST-2010-002

НСД значень зсунутого многочлена

Нехай P(x)P(x) — многочлен із цілими коефіцієнтами такий, що P(0)=0P(0) = 0 і НСД(P(0),P(1),P(2),… )=1.\text{НСД}(P(0), P(1), P(2), \dots) = 1. Доведіть, що існує нескінченно багато натуральних чисел nn таких, що НСД(P(n)−P(0),P(n+1)−P(1),P(n+2)−P(2),… )=n.\text{НСД}(P(n) - P(0), P(n+1) - P(1), P(n+2) - P(2), \dots) = n.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Відбіркові тести на IMOTST-2010-009

Дотична до кола через перетин діагоналей

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник, діагоналі ACAC і BDBD якого перетинаються в точці EE, а прямі, що містять сторони ADAD і BCBC, перетинаються в точці FF. Середини відрізків ABAB і CDCD позначено через GG і HH відповідно. Доведіть, що пряма EFEF в точці EE дотикається до кола, яке проходить через точки EE, GG і HH.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові тести на IMOTST-2010-006

Циклічна нерівність із раціональними виразами

Доведіть або спростуйте, що для всіх додатних дійсних чисел aa, bb і cc виконується нерівність 3≤4a+ba+4b+4b+cb+4c+4c+ac+4a<3343 \leq \frac{4 a+b}{a+4 b}+\frac{4 b+c}{b+4 c}+\frac{4 c+a}{c+4 a}<\frac{33}{4}.
10–11 класиНерівність Коші
Відбіркові тести на IMOTST-2010-032

Функціональне рівняння з добутком і сумою

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, що задовольняють f(x)f(y)=f(x+y)+xyf(x) f(y)=f(x+y)+x y для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові тести на IMOTST-2010-008

Найменший квадрат в арифметичній прогресії

Нехай AA і BB — натуральні числа. Визначимо арифметичну прогресію a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots формулою an=An+Ba_{n}=A n+B. Припустимо, що існує принаймні одне n≥0n \geq 0, для якого ana_{n} є квадратом. Нехай MM — натуральне число таке, що M2M^{2} — найменший квадрат у цій прогресії. Доведіть, що M<A+BM<A+\sqrt{B}.
10–11 класиМетод нескінченного спуску
Відбіркові тести на IMOTST-2010-007

Рівні хорди з кінця діаметра

Нехай ABAB — діаметр кола kk. Нехай tt — дотична до кола kk у точці BB, а C,DC, D — дві точки на tt, такі, що BB лежить між CC і DD. Прямі ACAC та ADAD перетинають kk ще раз у точках EE та FF відповідно. Прямі DEDE та CFCF перетинають kk ще раз у точках GG та HH відповідно. Доведіть, що відрізки AGAG і AHAH мають однакову довжину.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові тести на IMOTST-2010-010

Показникове рівняння з основами 3 і 7

Знайдіть усі пари (m,n)(m, n) невід'ємних цілих чисел, які задовольняють рівняння 3m−7n=23^{m}-7^{n}=2
10–11 класиМіркування за модулем
Відбіркові тести на IMOTST-2010-014

Збалансовані числа у квадратичних добутках

Натуральне число nn назвемо збалансованим, якщо n=1n=1 або якщо nn можна записати як добуток парної кількості (не обов’язково різних) простих множників. Для кожної пари (a,b)(a, b) натуральних чисел нехай P(x)=(x+a)(x+b)P(x) = (x+a)(x+b). a) Чи існують два різні натуральні числа aa і bb, для яких усі числа P(1),P(2),…,P(50)P(1), P(2), \ldots, P(50) збалансовані? b) Доведіть: якщо P(m)P(m) збалансоване для всіх натуральних чисел mm, то a=ba = b.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбіркові тести на IMOTST-2010-013

Простий дільник куба мінус один за умови порядку

Нехай n≥2n \geq 2 — натуральне число, а pp — просте число такі, що n∣p−1n \mid p-1 і p∣n3−1p \mid n^{3}-1. Доведіть, що 4p−34 p-3 є квадратом.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2010-012

Квадратичні добутки з парною кількістю простих множників

Натуральне число xx називається хорошим, якщо xx є добутком парної кількості (не обов'язково різних) простих чисел. Нехай a,ba, b — натуральні числа, і нехай m(x)=(x+a)(x+b)m(x) = (x+a)(x+b). a. Доведіть, що існують натуральні числа a,ba, b такі, що m(1),m(2),…,m(2010)m(1), m(2), \ldots, m(2010) — усі хороші числа. b. Якщо m(x)m(x) хороше для кожного натурального числа xx, то a=ba = b.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбіркові тести на IMOTST-2010-011

Сума відношень до висот у гострокутному трикутнику

У гострокутному трикутнику ABCABC позначимо через hah_a, hbh_b, hch_c довжини висот, проведених до сторін BCBC, CACA, ABAB відповідно. Точка PP лежить усередині трикутника. Доведіть, що PAhb+hc+PBhc+ha+PCha+hb≥1.\frac{PA}{h_b + h_c} + \frac{PB}{h_c + h_a} + \frac{PC}{h_a + h_b} \ge 1.
10–11 класиВідношення площ трикутників2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2010-033

Вписаний шестикутник у двох колах, що перетинаються

Два кола Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} перетинаються в точках PP і QQ. Спільна дотична з боку точки PP дотикається до кіл у точках AA і BB відповідно. Дотична до кола Γ1\Gamma_{1} в точці PP перетинає Γ2\Gamma_{2} вдруге в точці CC, а дотична до кола Γ2\Gamma_{2} в точці PP перетинає Γ1\Gamma_{1} вдруге в точці DD. Точку перетину прямих APA P і BCB C позначимо через EE, а точку перетину прямих BPB P і ADA D — через FF. Нехай MM — точка, симетрична точці PP відносно середини відрізка ABA B. Доведіть, що AMBEQFA M B E Q F — вписаний шестикутник.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2010-017

Вписаний чотирикутник із серединами відрізків

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник з властивістю, що ∠ABD=∠DBC\angle ABD = \angle DBC. Нехай EE — точка перетину діагоналей ACAC і BDBD. Нехай MM — середина відрізка AEAE, а NN — середина сторони DCDC. Доведіть, що MBCNMBCN — вписаний чотирикутник.
10–11 класиОзнаки подібності
Відбіркові тести на IMOTST-2010-016

Перетин прямих, що сполучають точки на колах

Точки X,Y,ZX, Y, Z лежать у цьому порядку на одній прямій, причому ∣XY∣≠∣YZ∣|X Y| \neq |Y Z|. Нехай k1k_{1} і k2k_{2} — кола з діаметрами XYX Y і YZY Z відповідно. Точки A1A_{1} і B1B_{1}, відповідно A2A_{2} і B2B_{2}, лежать на колах k1k_{1} і k2k_{2} відповідно так, що ∠A1YA2=∠B1YB2=90∘\angle A_{1} Y A_{2} = \angle B_{1} Y B_{2} = 90^{\circ} Доведіть, що дві прямі A1A2A_{1} A_{2} і B1B2B_{1} B_{2} перетинаються на прямій XYX Y.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові тести на IMOTST-2010-015

Точки дотику вписаних кіл і центр вписаного кола

Нехай ABCABC — трикутник. Точки MM і NN лежать на сторонах ACAC і BCBC відповідно так, що MN∥ABMN \parallel AB. Точки PP і QQ лежать на сторонах ABAB і CBCB відповідно так, що PQ∥ACPQ \parallel AC. Вписане коло трикутника CMNCMN дотикається до відрізка ACAC у точці EE. Вписане коло трикутника BPQBPQ дотикається до відрізка ABAB у точці FF. Прямі ENEN і ABAB перетинаються в точці RR, а прямі FQFQ і ACAC — у точці SS. Відомо, що AE=AFAE = AF. Доведіть, що центр вписаного кола трикутника AEFAEF лежить на вписаному колі трикутника ARSARS.
10–11 класиГомотерія і подібність

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.