Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

793 задачі
Відбіркові тести на IMO
Відбіркові тести на IMOTST-2005-008

Квадрат простого числа як дільник суми степенів

Нехай p>3p > 3 — просте число. Доведіть, що p2p^{2} є дільником ∑k=1p−1k2p+1\sum_{k=1}^{p-1} k^{2p+1}
10–11 класиМала теорема Ферма
Відбіркові тести на IMOTST-2005-009

Функціональне рівняння на цілочисельних трійках

Нехай TT — множина всіх трійок (p,q,r)(p, q, r) з невід'ємних цілих чисел. Знайдіть усі функції f:T→Rf: T \rightarrow \mathbb{R}, для яких виконується f(p,q,r)={0 при pqr=01+16{f(p+1,q−1,r)+f(p−1,q+1,r)+f(p−1,q,r+1)+f(p+1,q,r−1)+f(p,q+1,r−1)+f(p,q−1,r+1)} інакше. f(p, q, r)= \begin{cases}0 & \text{ при } p q r=0 \\ 1+\frac{1}{6}\{f(p+1, q-1, r)+f(p-1, q+1, r) \\ +f(p-1, q, r+1)+f(p+1, q, r-1) \\ +f(p, q+1, r-1)+f(p, q-1, r+1)\} & \text{ інакше. }\end{cases}
10–11 класиМетод допоміжних функцій: g(x) =…
Відбіркові тести на IMOTST-2005-010

Розклад многочлена (x²-1²)...(x²-n²)+1 на множники

Нехай n≥2n \geq 2 — натуральне число. Доведіть, що многочлен (x2−12)(x2−22)(x2−32)⋯(x2−n2)+1\left(x^{2}-1^{2}\right)\left(x^{2}-2^{2}\right)\left(x^{2}-3^{2}\right) \cdots\left(x^{2}-n^{2}\right)+1 не можна записати як добуток двох несталих многочленів із цілими коефіцієнтами.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Відбіркові тести на IMOTST-2005-011

Одноколірний трикутник у сполученнях островів і міст

Розгляньмо озеро з двома островами в ньому та сімома містами на березі. Острови й міста далі для стислості називатимемо місцями. Корабельне сполучення існує точно між такими парами місць: (i) між двома островами, (ii) між кожним містом і кожним островом, (iii) між двома містами точно тоді, коли вони не є сусідніми. Кожне з цих сполучень обслуговує точно одна з двох конкуруючих судноплавних компаній. Доведіть, що завжди знайдуться три місця такі, що між кожними двома з цих місць існують корабельні сполучення тієї самої компанії.
10–11 класиКласичні теореми теорії графів
Відбіркові тести на IMOTST-2005-012

Сума кутів у побудові з правильним многокутником

Нехай A1A2…AnA_{1} A_{2} \ldots A_{n} — правильний nn-кутник. Точки B1,…,Bn−1B_{1}, \ldots, B_{n-1} визначено так: - Для i=1i=1 або i=n−1i=n-1 точка BiB_{i} — середина сторони AiAi+1A_{i} A_{i+1}; - Для i≠1,i≠n−1i \neq 1, i \neq n-1 нехай SS — точка перетину відрізків A1Ai+1A_{1} A_{i+1} і AnAiA_{n} A_{i}. Точка BiB_{i} — це тоді точка перетину бісектриси кута ∡AiSAi+1\Varangle A_{i} S A_{i+1} зі стороною AiAi+1A_{i} A_{i+1}. Доведіть, що виконується ∡A1B1An+∡A1B2An+…+∡A1Bn−1An=180∘\Varangle A_{1} B_{1} A_{n}+\Varangle A_{1} B_{2} A_{n}+\ldots+\Varangle A_{1} B_{n-1} A_{n}=180^{\circ}
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2005-013

Вписаний чотирикутник із проєкцій на сторони

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з ортоцентром HH, а MM і NN — дві точки на прямій BCBC, такі, що MN→=BC→\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BC}. Нехай PP і QQ — проєкції точок MM і NN відповідно на прямі ACAC і ABAB. Доведіть, що APHQAPHQ — вписаний чотирикутник.
10–11 класиПаралельний перенос
Відбіркові тести на IMOTST-2005-014

Функції з дільником f(m)²+f(n) числа (m²+n)²

Знайдіть усі функції f:N→Nf: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, такі, що f(m)2+f(n)f(m)^2+f(n) є дільником (m2+n)2(m^2+n)^2 для всіх m,n∈Nm, n \in \mathbb{N}.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові тести на IMOTST-2005-015

Різні множини елементів рядків і стовпців

Нехай AA — m×mm \times m-матриця. Нехай XiX_{i} — множина елементів ii-го рядка, а YjY_{j} — множина елементів jj-го стовпця, 1≤i,j≤m1 \leq i, j \leq m. Матриця AA називається крутою, якщо множини X1,…,Xm,Y1,…,YmX_{1}, \ldots, X_{m}, Y_{1}, \ldots, Y_{m} усі різні. Знайдіть найменше значення nn, для якого існує крута 2005×20052005 \times 2005-матриця з елементами з множини {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\}.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2004-023

Функціональне рівняння зі зсунутим аргументом

Функція ff задана співвідношенням f(x)+f(1−1x)=1+xf(x)+f\left(1-\frac{1}{x}\right)=1+x для x∈R\{0,1}x \in \mathbb{R} \backslash\{0,1\}. Знайдіть формулу для ff.
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Відбіркові тести на IMOTST-2004-026

Обмеження на кількість перетинів рівних кругів

На площині лежать nn замкнених кругів K1,K2,…,KnK_{1}, K_{2}, \ldots, K_{n} з однаковим радіусом rr. При цьому кожна точка площини міститься не більше ніж у 20032003 з цих кругів. Доведіть, що кожен круг KiK_{i} перетинає не більше ніж 1402014020 інших кругів.
10–11 класиПринцип Діріхле (довжини, площі,…
Відбіркові тести на IMOTST-2004-003

Сума розмірів об'єднань n-наборів підмножин

Нехай SS — множина всіх nn-наборів (X1,…,Xn)(X_{1}, \ldots, X_{n}), де X1,…,XnX_{1}, \ldots, X_{n} — підмножини множини {1,2,…,1000}\{1,2, \ldots, 1000\}, які не обов’язково всі різні й можуть бути порожніми. Для a=(X1,…,Xn)∈Sa=(X_{1}, \ldots, X_{n}) \in S позначимо E(a)=Кількість елементів множини X1∪…∪XnE(a)=\text{Кількість елементів множини } X_{1} \cup \ldots \cup X_{n} Знайдіть явний вираз для суми ∑a∈SE(a)\sum_{a \in S} E(a)
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові тести на IMOTST-2004-001

Нерівність для сторін описаного чотирикутника

Нехай ABCDABCD — чотирикутник, описаний навколо кола, всі внутрішні та зовнішні кути якого не менші за 60∘60^{\circ}. Доведіть, що 13∣AB3−AD3∣≤∣BC3−CD3∣≤3∣AB3−AD3∣.\frac{1}{3} |AB^3 - AD^3| \leq |BC^3 - CD^3| \leq 3|AB^3 - AD^3|. Коли досягається рівність?
10–11 класиТригонометричні нерівності в геом…
Відбіркові тести на IMOTST-2004-002

Два набори дійсних чисел та суми квадратів

Нехай a1,a2,…,an,b1,b2,…,bna_1, a_2, \dots, a_n, b_1, b_2, \dots, b_n — дійсні числа, для яких (a12+a22+⋯+an2−1)(b12+b22+⋯+bn2−1)>(a1b1+a2b2+⋯+anbn−1)2.(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2 - 1)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2 - 1) > (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n - 1)^2. Доведіть, що a12+a22+⋯+an2>1a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2 > 1 і b12+b22+⋯+bn2>1b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2 > 1.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2004-027

Бінарна матриця із заданими сумами рядків і стовпців

Нехай дано по nn дійсних чисел x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} та y1,y2,…,yny_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}. Елементи n×nn \times n-матриці AA означено так: (1≤i,j≤n1 \leq i, j \leq n) aij={1 якщо xi+yj≥00 якщо xi+yj<0a_{ij}= \begin{cases}1 & \text{ якщо } x_{i}+y_{j} \geq 0 \\ 0 & \text{ якщо } x_{i}+y_{j}<0\end{cases} Далі нехай BB — n×nn \times n-матриця з елементами 00 або 11, така, що сума елементів у кожному рядку та кожному стовпці матриці BB дорівнює сумі елементів у відповідному рядку чи стовпці матриці AA. Доведіть, що тоді виконується A=BA=B.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові тести на IMOTST-2004-024

Критерій бісектриси кута в трикутнику

У трикутнику ABCA B C відрізок ADA D (D∈BCD \in B C) є медіаною, EE — точка на стороні ACA C, а FF — точка перетину відрізка BEB E з відрізком ADA D. Доведіть: якщо BFFE=BCAB+1\frac{B F}{F E}=\frac{B C}{A B}+1, то BEB E є бісектрисою.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Відбіркові тести на IMOTST-2004-005

Сума степенів четвірки як квадрат

Знайдіть найбільше натуральне число nn, для якого 4995+41500+4n4^{995}+4^{1500}+4^{n} є квадратом.
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Відбіркові тести на IMOTST-2004-004

Множина цілих чисел, замкнена щодо різниць

Нехай a1,…,ana_1, \dots, a_n — цілі числа, найбільший спільний дільник яких дорівнює 11. Позначимо через SS множину цілих чисел із такими властивостями. a. Для i=1,…,ni = 1, \dots, n, ai∈Sa_i \in S. b. Для i,j=1,…,ni, j = 1, \dots, n (не обов'язково різних), ai−aj∈Sa_i - a_j \in S. c. Для будь-яких цілих чисел x,y∈Sx, y \in S, якщо x+y∈Sx + y \in S, то x−y∈Sx - y \in S. Доведіть, що SS обов'язково дорівнює множині всіх цілих чисел.
10–11 класиПарність та непарність2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2004-025

Знак симетричного виразу за умов

Дано шість дійсних чисел a,b,ca, b, c і x,y,zx, y, z таких, що a) 0<b−c<a<b+c0 < b - c < a < b + c b) ax+by+cz=0a x + b y + c z = 0 Визначте (з обґрунтуванням!) знак виразу ayz+bxz+cxya y z + b x z + c x y.
10–11 класиНерівності та системи другого сте…
Відбіркові тести на IMOTST-2004-008

Прямі, що перетинаються, у рівнобедреному трикутнику

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник з ∣AC∣=∣BC∣|AC| = |BC| та центром вписаного кола II. Нехай PP — точка на описаному колі трикутника AIBAIB, що лежить усередині трикутника ABCABC. Прямі через PP, паралельні до CACA і CBCB, перетинають ABAB в точках DD і EE. Пряма через PP, паралельна до ABAB, перетинає CACA і CBCB в точках FF і GG. Доведіть, що дві прямі DFDF і EGEG перетинаються на описаному колі трикутника ABCABC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2004-006

Розрізання прямокутника на два подібні многокутники

Для яких дійсних значень k>0k > 0 прямокутник 1×k1 \times k можна розрізати на два подібні, але нерівні, многокутники?
10–11 класиРозрізання, склеювання та рівноск…
Відбіркові тести на IMOTST-2004-007

Максимальний опуклий многокутник у решітці точок

Намальовано масив точок розміру 2004×20042004 \times 2004. Знайдіть найбільше ціле число nn, для якого можна намалювати опуклий nn-кутник, вершини якого лежать у точках масиву.
10–11 класиДискретні набори точок та прямих…
Відбіркові тести на IMOTST-2004-011

Симетрична нерівність з добутком 1

Для додатних дійсних чисел a,b,ca, b, c нехай abc=1a b c=1. Доведіть таку нерівність: aba5+ab+b5+bcb5+bc+c5+cac5+ca+a5≤1\frac{a b}{a^{5}+a b+b^{5}}+\frac{b c}{b^{5}+b c+c^{5}}+\frac{c a}{c^{5}+c a+a^{5}} \leq 1
10–11 класиІнші класичні нерівності2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2004-009

Паралель через перетини кіл

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник, а DD — точка всередині нього. Побудуємо коло ω1\omega_1, що проходить через BB і DD, та коло ω2\omega_2, що проходить через CC і DD, так, щоб друга точка перетину кіл ω1\omega_1 і ω2\omega_2, відмінна від DD, лежала на прямій ADAD. Позначимо через EE і FF точки, в яких ω1\omega_1 і ω2\omega_2 перетинають сторону BCBC відповідно, а через XX і YY — перетини прямих DFDF, ABAB та DEDE, ACAC відповідно. Доведіть, що XY∥BCXY \parallel BC.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові тести на IMOTST-2004-010

Гра на клітинній дошці: зв'язність максимумів рядків

Аліса та Боб грають у гру на клітинній дошці 66 на 66. У свій хід гравець вибирає раціональне число, якого ще немає на дошці, і записує його у вільну клітинку дошки. Аліса ходить першою, після чого гравці ходять почергово. Коли всі клітинки заповнено числами, у кожному рядку клітинку з найбільшим числом цього рядка фарбують у чорний колір. Аліса перемагає, якщо після цього вона може провести лінію від верху дошки до низу, що проходить лише по чорних клітинках; Боб перемагає, якщо вона цього не може. (Якщо дві клітинки мають спільну вершину, Аліса може провести лінію з однієї в іншу, не виходячи за межі цих двох клітинок.) Знайдіть, з доведенням, виграшну стратегію для одного з гравців.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Відбіркові тести на IMOTST-2004-014

Замощення куба з вирізаним одиничним кубиком

Будівельний блок, що складається з 7 одиничних кубів, має форму куба 2×2×22 \times 2 \times 2 з відсутнім кутовим одиничним кубом. З куба з довжиною ребра 2n2^{n}, n≥2n \geq 2, вилучено довільний одиничний куб. Доведіть, що тіло, яке залишилося, завжди можна скласти з будівельних блоків.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.