Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

793 задачі
Відбіркові тести на IMO
Відбіркові тести на IMOTST-2023-022

Прямокутники з непарною кількістю червоних клітинок

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких можна пофарбувати деякі клітинки нескінченної сітки з одиничних квадратів у червоний колір так, щоб кожен прямокутник, що складається рівно з nn клітинок (і сторони якого лежать на лініях сітки), містив непарну кількість червоних клітинок.
10–11 класиКонструкція через періодичність
Відбіркові тести на IMOTST-2023-016

Максимальна кількість ходів для збирання камінців

Нехай n≥3n \geq 3 — фіксоване натуральне число. Є nn коробок A1,A2,…,AnA_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}, у кожній з яких лежить деяка кількість камінців a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} так, що a1+a2+⋯+an=3na_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=3 n. Хід складається з таких дій: вибрати коробку і розкласти всі камінці з неї по nn коробках (включно з вибраною) так, щоб для будь-яких двох коробок кількості доданих камінців відрізнялися не більше ніж на 1. Для розподілу a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} визначимо f(a1,a2,…,an)f\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right) як найменшу кількість ходів, потрібну, щоб зібрати всі камінці в одній коробці. Нехай MnM_{n} — максимум f(a1,a2,…,an)f\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right) за всіма можливими розподілами a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} такими, що a1+a2+⋯+an=3na_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=3 n. Знайдіть MnM_{n} і всі розподіли a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, для яких f(a1,a2,…,an)=Mnf\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)=M_{n}. Приклад. Якщо n=4n=4 і в коробках міститься 2, 6, 0, 4 камінці, то 2 камінці з коробки A1A_{1} можна роздати як 1,0,1,0. Після цього ходу кількість камінців у коробках дорівнює 1, 6, 1, 4.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2023-017

Рівняння з f(x + y) та f(xy) на Q+

Знайдіть усі функції f:Q+→Qf: \mathbb{Q}^{+} \rightarrow \mathbb{Q} такі, що f(x)+f(y)=(f(x+y)+1x+y)(1−xy+f(xy))f(x)+f(y)=\left(f(x+y)+\frac{1}{x+y}\right)(1-x y+f(x y)) для всіх x,y∈Q+x, y \in \mathbb{Q}^{+}.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові тести на IMOTST-2023-018

Сума дільників дорівнює кількості дільників на стелю з кореня

Нехай nn — натуральне число. Позначимо через τ(n)\tau(n) кількість натуральних чисел, які ділять nn, а через σ(n)\sigma(n) — суму цих дільників. Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких виконується σ(n)=τ(n)⋅⌈n⌉.\sigma(n)=\tau(n) \cdot\lceil\sqrt{n}\rceil . Для дійсного числа xx під позначенням ⌈x⌉\lceil x\rceil розуміємо найменше ціле число, більше або рівне xx.
10–11 класиСума дільників σ(n)
Відбіркові тести на IMOTST-2023-014

Відстані від зовнівписаного центра і центра описаного кола

У трикутнику △ABC\triangle ABC, де ∠ABC<∠BCA\angle ABC < \angle BCA, позначимо через KK центр зовнівписаного кола, яке дотикається до сторони ACAC. Прямі AKAK і BCBC перетинаються в точці DD. Нехай EE — центр описаного кола трикутника △BKC\triangle BKC. Доведіть, що 1∣KA∣=1∣KD∣+1∣KE∣\frac{1}{|KA|} = \frac{1}{|KD|} + \frac{1}{|KE|}
10–11 класиЗовнівписане коло
Відбіркові тести на IMOTST-2023-015

Максимальна кількість ходів для розподілу камінців

Нехай n≥3n \ge 3 — фіксоване натуральне число. Є nn коробок A1,A2,…,AnA_1, A_2, \dots, A_n, у кожній з яких лежить певна кількість камінців (a1,a2,…,an)(a_1, a_2, \dots, a_n), причому a1+a2+⋯+an=3na_1+a_2+\cdots+a_n = 3n. Хід складається з таких дій: вибрати коробку та розкласти всі камінці з неї по nn коробках (включно з вибраною коробкою) так, щоб для будь-яких двох коробок кількості доданих до них камінців відрізнялися не більше ніж на 1. Для розподілу a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n визначимо f(a1,a2,…,an)f(a_1, a_2, \dots, a_n) як найменшу кількість ходів, потрібну для того, щоб зібрати всі камінці в одній коробці. Нехай MnM_n — максимум f(a1,a2,…,an)f(a_1, a_2, \dots, a_n) за всіма можливими розподілами a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n, для яких a1+a2+⋯+an=3na_1 + a_2 + \cdots + a_n = 3n. Визначте MnM_n та всі розподіли a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n, для яких f(a1,a2,…,an)=Mnf(a_1, a_2, \dots, a_n) = M_n. Приклад. Якщо n=4n = 4 і в коробках по порядку лежить 2, 6, 0, 4 камінці, то ми можемо розкласти 2 камінці з коробки A1A_1, поклавши в кожну коробку по порядку 1, 0, 1, 0 камінців. Після цього ходу кількість камінців у кожній коробці по порядку дорівнює 1, 6, 1, 4.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2023-033

Умова описаного кола для рівнобедреного трикутника

Нехай ABCABC і AMNAMN — два подібні трикутники з однаковою орієнтацією, які не накладаються один на одного, такі, що AB=ACAB = AC і AM=ANAM = AN. Нехай OO — центр описаного кола трикутника MABMAB. Доведіть, що точки OO, CC, NN і AA лежать на одному колі тоді й лише тоді, коли трикутник ABCABC є рівностороннім.
10–11 класиПоворот
Відбіркові тести на IMOTST-2023-025

Розфарбовані трикутники в повному графі

Нехай n≥3n \ge 3 — ціле число, а KnK_n — повний граф на nn вершинах. Кожне ребро графа KnK_n пофарбовано у червоний, зелений або синій колір. Нехай AA — кількість трикутників у KnK_n, усі ребра яких одного кольору, а BB — кількість трикутників у KnK_n, усі ребра яких попарно різних кольорів. Доведіть, що B≤2A+n(n−1)3.B \le 2A + \frac{n(n-1)}{3}.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові тести на IMOTST-2023-019

Прості пари з факторіальним рівнянням

Знайдіть усі пари простих чисел (p,q)(p, q), для яких виконується 2p=2q−2+q!2^{p}=2^{q-2}+q!
10–11 класиФормула Лежандра
Відбіркові тести на IMOTST-2023-034

Інцидентна структура проєктивної площини

Токійське метро — одне з найефективніших у світі. Існує деяке непарне натуральне число kk таке, що кожна лінія метро проходить рівно через kk станцій, а кожна станція обслуговується рівно kk лініями метро. З будь-якої станції до будь-якої іншої можна дістатися лише однією лінією метро — але це сполучення єдине. Ба більше, будь-які дві лінії метро мають рівно одну спільну станцію. Давид планує екскурсію для команди IMO і хоче відвідати множину SS з kk станцій. Він зауважує, що жодні три станції з SS не лежать на спільній лінії метро. Доведіть, що існує деяка станція не з SS, яка сполучена з кожною станцією з SS іншою лінією метро.
10–11 класиДискретні набори точок та прямих…3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2023-026

Комплексні числа з одиничним добутком і дійсними сумами

Нехай aa, bb і cc — три комплексні числа, добуток яких дорівнює 11. Припустимо, що жодне з чисел aa, bb і cc не є дійсним і не має модуля 11. Визначимо p=(a+b+c)+(1a+1b+1c)іq=ab+bc+ca.p = (a + b + c) + \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \quad \text{і} \quad q = \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}. Відомо, що обидва числа pp і qq дійсні. Знайдіть усі можливі значення впорядкованої пари (p,q)(p, q).
10–11 класиЕлементарні симетричні многочлени
Відбіркові тести на IMOTST-2023-027

Середина PQ на прямій Ейлера

Нехай ABCABC — різносторонній трикутник, а PP і QQ — дві різні точки в його внутрішній області. Припустимо, що бісектриси кутів ∠PAQ\angle PAQ, ∠PBQ\angle PBQ і ∠PCQ\angle PCQ є висотами трикутника ABCABC. Доведіть, що середина відрізка PQ‾\overline{PQ} лежить на прямій Ейлера трикутника ABCABC.
10–11 класиПряма Ейлера3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2023-037

Монічний многочлен із дійсними коренями меншими за 1

Знайдіть усі монічні многочлени P(x)=x2023+a2022x2022+⋯+a1x+a0P(x) = x^{2023} + a_{2022} x^{2022} + \cdots + a_{1} x + a_{0} з дійсними коефіцієнтами такі, що a2022=0a_{2022} = 0, P(1)=1P(1) = 1, а всі корені PP дійсні й менші за 11.
10–11 класиНерівність Коші
Відбіркові тести на IMOTST-2023-030

Перевертання суміжних монет до всіх аверсів

Банк Піттсбурга випускає монети, які мають аверс і реверс. У Віри є ряд з 20232023 таких монет, розташованих по черзі реверсом догори та аверсом догори, причому крайня ліва монета лежить реверсом догори. За хід Віра може перевернути одну з монет у ряду, дотримуючись таких правил: Першим ходом Віра може перевернути будь-яку з 20232023 монет. Усіма наступними ходами Віра може перевертати лише монету, суміжну з монетою, яку вона перевернула попереднім ходом. (Ми не вважаємо монету суміжною самій собі.) Визначте найменшу можливу кількість ходів, які Віра може зробити, щоб досягти стану, коли всі монети лежать аверсом догори.
10–11 класиПарність і непарність
Відбіркові тести на IMOTST-2023-031

Перетин відрізків і рівні периметри у рівносторонньому трикутнику

Нехай ABCABC — рівносторонній трикутник зі стороною 11. Точки A1A_1 і A2A_2 вибрані на стороні BCBC, точки B1B_1 і B2B_2 вибрані на стороні CACA, а точки C1C_1 і C2C_2 вибрані на стороні ABAB так, що BA1<BA2BA_1 < BA_2, CB1<CB2CB_1 < CB_2 і AC1<AC2AC_1 < AC_2. Припустимо, що три відрізки B1C2B_1C_2, C1A2C_1A_2 і A1B2A_1B_2 перетинаються в одній точці, а периметри трикутників AB2C1AB_2C_1, BC2A1BC_2A_1 і CA2B1CA_2B_1 рівні між собою. Знайдіть усі можливі значення цього спільного периметра.
10–11 класиВписане коло
Відбіркові тести на IMOTST-2023-038

Відстані у графі, які ділять різницю цілих чисел

Нехай GG — граф, вершинами якого є цілі числа. Припустимо, що будь-які два цілі числа сполучені скінченним шляхом у GG. Для двох цілих чисел xx і yy через d(x,y)d(x, y) позначимо довжину найкоротшого шляху від xx до yy, де довжина шляху — це кількість ребер у ньому. Припустимо, що d(x,y)∣x−yd(x, y) \mid x-y для всіх x,y∈Zx, y \in \mathbb{Z}, і визначимо S(G)={d(x,y)∣x,y∈Z}S(G)=\{d(x, y) \mid x, y \in \mathbb{Z}\}. Знайдіть усі можливі множини S(G)S(G).
10–11 класиШляхи на графах
Відбіркові тести на IMOTST-2023-032

Самозбіг скінченних різниць на циклічній групі

Нехай pp — фіксоване просте число, а a≥2a \ge 2 і e≥1e \ge 1 — фіксовані цілі числа. Для функції f:Z/aZ→Z/peZf: \mathbb{Z}/a\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z} та цілого числа k≥0k \ge 0 kk-ту скінченну різницю, позначену Δkf\Delta^k f, означено як функцію з Z/aZ\mathbb{Z}/a\mathbb{Z} до Z/peZ\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}, задану рекурсивно як Δ0f(n)=f(n)Δkf(n)=Δk−1f(n+1)−Δk−1f(n)при k=1,2,…\begin{aligned} \Delta^0 f(n) &= f(n) \\ \Delta^k f(n) &= \Delta^{k-1} f(n+1) - \Delta^{k-1} f(n) \quad \text{при } k = 1, 2, \dots \end{aligned} Визначте кількість функцій ff таких, що існує деяке k≥1k \ge 1, для якого Δkf=f\Delta^k f = f.
10–11 класиКитайська теорема про остачі
Відбіркові тести на IMOTST-2023-039

Домінуюча сума над родиною підмножин

Для натурального числа mm через [m][m] позначимо множину {1,2,…,m}\{1,2, \ldots, m\}. Нехай nn — натуральне число, а S\mathcal{S} — непорожня сукупність підмножин множини [n][n]. Функцію f:[n]→[n+1]f:[n] \rightarrow [n+1] назвемо кавайною, якщо існує множина A∈SA \in \mathcal{S} така, що для всіх B∈SB \in \mathcal{S}, де A≠BA \neq B, виконується ∑a∈Af(a)>∑b∈Bf(b)\sum_{a \in A} f(a) > \sum_{b \in B} f(b) Доведіть, що кавайних функцій завжди щонайменше nnn^{n}, незалежно від сукупності S\mathcal{S}.
10–11 класиБієкції
Відбіркові тести на IMOTST-2023-024

Максимальна сума за обмежень на функції

Розглянемо пари (f,g)(f, g) функцій із множини невід'ємних цілих чисел у себе таких, що f(0)≥f(1)≥f(2)≥⋯≥f(300)≥0f(0) \ge f(1) \ge f(2) \ge \dots \ge f(300) \ge 0; f(0)+f(1)+f(2)+⋯+f(300)≤300f(0) + f(1) + f(2) + \dots + f(300) \le 300; для будь-яких 20 невід'ємних цілих чисел n1,n2,…,n20n_1, n_2, \dots, n_{20}, не обов'язково різних, виконується g(n1+n2+⋯+n20)≤f(n1)+f(n2)+⋯+f(n20).g(n_1 + n_2 + \dots + n_{20}) \le f(n_1) + f(n_2) + \dots + f(n_{20}). Визначте найбільше можливе значення g(0)+g(1)+⋯+g(6000)g(0) + g(1) + \dots + g(6000) за всіма такими парами функцій.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2023-023

Найбільша сума коротких дугових стрибків по колу

На круговій доріжці γ\gamma довжиною 2022 розташовано 2022 рівновіддалені точки. Точки позначено A1,A2,…,A2022A_1, A_2, \dots, A_{2022} у деякому порядку, кожну мітку використано один раз. Спочатку зайченя Банбан перебуває в A1A_1. Воно стрибає вздовж кола γ\gamma з A1A_1 до A2A_2, потім з A2A_2 до A3A_3, доки не досягне A2022A_{2022}, після чого стрибає назад до A1A_1. Стрибаючи з PP до QQ, воно завжди стрибає вздовж коротшої з двох дуг PQ⌢\overarc{PQ} кола γ\gamma; якщо PQ⌢\overarc{PQ} є діаметром кола γ\gamma, воно рухається вздовж будь-якого з півкіл. Визначте найбільшу можливу суму довжин 2022 дуг, які подолало зайченя Банбан, за всіма можливими позначеннями 2022 точок.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові тести на IMOTST-2023-028

Сітка з нульовими сумами прямокутників

Нехай mm та nn — фіксовані додатні цілі числа. Цвєти та Фрейя грають у гру на нескінченній сітці з одиничних квадратних клітинок. Цвєти таємно записала дійсне число в кожну клітинку так, що сума чисел у кожному прямокутнику розміром m×nm \times n або n×mn \times m дорівнює нулю. Фрейя хоче дізнатися всі ці числа. По черзі Фрейя запитує Цвєти про якусь клітинку в сітці, і Цвєти правдиво розкриває число, записане в ній. Фрейя виграє, якщо в будь-який момент вона може одночасно вивести число, записане в кожній клітинці всієї нескінченної сітки. (Якщо цього ніколи не відбувається, Фрейя програє гру, а Цвєти виграє.) Виразіть через mm та nn найменшу кількість запитань, які Фрейя повинна поставити, щоб виграти, або покажіть, що скінченної кількості запитань недостатньо.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2023-029

Необмежена різниця ітерованої функції

Зафіксуймо функцію f:N→Nf: \mathbb{N} \to \mathbb{N} і для будь-яких m,n∈Nm, n \in \mathbb{N} визначимо Δ(m,n)=f(f(…f(m)… ))⏟f(n) разів−f(f(…f(n)… ))⏟f(m) разів.\Delta(m, n) = \underbrace{f(f(\dots f(m)\dots))}_{f(n) \text{ разів}} - \underbrace{f(f(\dots f(n)\dots))}_{f(m) \text{ разів}}. Припустімо, що Δ(m,n)≠0\Delta(m, n) \neq 0 для будь-яких різних m,n∈Nm, n \in \mathbb{N}. Доведіть, що Δ\Delta є необмеженою, тобто що для будь-якої сталої CC існують m,n∈Nm, n \in \mathbb{N}, для яких ∣Δ(m,n)∣>C|\Delta(m, n)| > C.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Відбіркові тести на IMOTST-2022-029

Підмножина цілих чисел з нерівністю суми

Для фіксованого натурального числа mm нехай AA — підмножина множини {0,1,2,…,5m}\{0,1,2, \ldots, 5^{m}\}, яка складається з 4m+14m+1 елементів. Доведіть, що у множині AA завжди знайдуться три числа a,b,ca, b, c, для яких a<b<ca < b < c і c+2a>3bc + 2a > 3b.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбіркові тести на IMOTST-2022-026

значення НСД серед нескінченної множини

Нехай найбільший спільний дільник двох додатних цілих чисел mm і nn позначається через НСД(m,n)\text{НСД}(m, n). Дано нескінченну множину SS додатних цілих чисел, таку, що існують чотири попарно різні числа v,w,x,y∈Sv, w, x, y \in S, для яких НСД(v,w)≠НСД(x,y)\text{НСД}(v, w) \neq \text{НСД}(x, y). Доведіть, що існують три попарно різні числа a,b,c∈Sa, b, c \in S, для яких НСД(a,b)=НСД(a,c)≠НСД(b,c)\text{НСД}(a, b)=\text{НСД}(a, c) \neq \text{НСД}(b, c).
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2022-002

Цілі четвірки з обмеженнями на сторони трикутника

Знайдіть усі четвірки (a,b,c,d)(a, b, c, d) невід'ємних цілих чисел такі, що ab=2(1+cd)ab = 2(1 + cd) та існує невироджений трикутник зі сторонами завдовжки a−ca - c, b−db - d і c+dc + d.
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.