Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

793 задачі
Відбіркові тести на IMO
Відбіркові тести на IMOTST-2022-003

Цілі числа як сума кубів дільників

Знайдіть усі натуральні числа n≥2n \ge 2, які мають додатний дільник m∣nm \mid n, що задовольняє рівність n=d3+m3,n = d^3 + m^3, де dd — найменший дільник числа nn, більший за 11.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Відбіркові тести на IMOTST-2022-004

Центри описаних кіл у трикутнику з висотами

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якого ∣AB∣>∣CA∣>∣BC∣|AB| > |CA| > |BC|. Нехай DD, EE і FF — основи висот, проведених з AA, BB і CC відповідно. Пряма через FF, паралельна до прямої DEDE, перетинає BCBC у точці MM. Бісектриса кута ∠MFE\angle MFE перетинає DEDE у точці NN. Доведіть, що FF є центром описаного кола трикутника △DMN\triangle DMN тоді й лише тоді, коли BB є центром описаного кола трикутника △FMN\triangle FMN.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2022-005

Функція на натуральних числах, що зберігає подільність

Знайдіть усі функції f:Z>0→Z>0f: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{Z}_{>0} такі, що f(n)∣f(m)−nf(n) \mid f(m)-n тоді й лише тоді, коли n∣mn \mid m для всіх натуральних чисел mm і nn.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2022-001

Двійкова послідовність, подільна за будь-якої основи

Нехай nn — натуральне число. Доведіть, що існує скінченна послідовність SS, складена лише з нулів та одиниць, яка має таку властивість: для будь-якого натурального числа d≥2d \geq 2, коли SS тлумачиться як число в системі числення з основою dd, одержане число ненульове і ділиться на nn. Зауваження: послідовність S=sksk−1⋯s1s0S=s_{k} s_{k-1} \cdots s_{1} s_{0}, тлумачена в системі з основою dd, — це число ∑i=0ksidi\sum_{i=0}^{k} s_{i} d^{i}.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2022-030

Цілі значення дробового виразу з умовою безкубовості

Знайдіть усі цілі числа n≥1n \geq 1, для яких існує пара (a,b)(a, b) додатних цілих чисел з такими властивостями: i) Жоден куб простого числа не ділить a2+b+3a^{2}+b+3. ii) Виконується ab+3b+8a2+b+3=n\frac{a b+3 b+8}{a^{2}+b+3}=n.
10–11 класиМіркування за модулем2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2022-027

Конкурентні прямі в паралелограмі

Нехай ABCDABCD — паралелограм, у якому ∣AC∣=∣BC∣|AC| = |BC|. Точка PP вибрана на промені ABAB так, що BB лежить між AA і PP. Описане коло трикутника ACDACD і відрізок PDPD мають, окрім точки DD, ще одну спільну точку QQ. Описане коло трикутника APQAPQ і відрізок PCPC мають, окрім точки PP, ще одну спільну точку RR. Доведіть, що три прямі CDCD, AQAQ і BRBR перетинаються в одній точці.
10–11 класиРадикальна вісь3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2022-007

Степені з квадратними цілими частинами

Нехай nn — натуральне число. Для дійсного числа x≥1x \ge 1 припустимо, що ⌊xn+1⌋,⌊xn+2⌋,…,⌊x4n⌋\lfloor x^{n+1} \rfloor, \lfloor x^{n+2} \rfloor, \dots, \lfloor x^{4n} \rfloor — усі квадрати натуральних чисел. Доведіть, що ⌊x⌋\lfloor x \rfloor також є квадратом натурального числа. Тут ⌊z⌋\lfloor z \rfloor — найбільше ціле число, менше або рівне zz.
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Відбіркові тести на IMOTST-2022-010

Рівні кути при перетині кіл

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а DD — основа висоти, проведеної з AA. Коло з центром AA, яке проходить через DD, перетинає описане коло трикутника ABCABC у точках XX і YY, причому порядок точок на цьому описаному колі такий: A,X,B,C,YA, X, B, C, Y. Доведіть, що ∠BXD=∠CYD\angle B X D = \angle C Y D.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові тести на IMOTST-2022-008

Перетин дотичних на спільній зовнішній дотичній

Дано два кола Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} з центрами O1O_{1} і O2O_{2} та спільними зовнішніми дотичними ℓ1\ell_{1} і ℓ2\ell_{2}. Пряма ℓ1\ell_{1} дотикається до кола Γ1\Gamma_{1} в AA і до кола Γ2\Gamma_{2} в BB. Нехай XX — точка на відрізку O1O2O_{1} O_{2}, але не на колах Γ1\Gamma_{1} чи Γ2\Gamma_{2}. Відрізок AXA X перетинає Γ1\Gamma_{1} в Y≠AY \neq A, а відрізок BXB X перетинає Γ2\Gamma_{2} в Z≠BZ \neq B. Доведіть, що дотична в YY до кола Γ1\Gamma_{1} і дотична в ZZ до кола Γ2\Gamma_{2} перетинаються на прямій ℓ2\ell_{2}.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2022-009

Середня кількість сусідів у розподілах каменів

Нехай n>1n>1 — ціле число. У ряд стоїть nn коробок, і ми маємо n+1n+1 однакових каменів. Розподіл — це спосіб розподілити камені по коробках, причому кожен камінь лежить рівно в одній коробці. Кажуть, що два такі розподіли перебувають на відстані кидка каменем один від одного, якщо один розподіл можна одержати з іншого, перемістивши рівно один камінь до іншої коробки. Затишність розподілу aa означається як кількість розподілів, що перебувають на відстані кидка каменем від aa. Знайдіть середню затишність за всіма можливими розподілами. (Два розподіли однакові, якщо в ii-й коробці обох розподілів міститься однакова кількість каменів для всіх i∈{1,2,…,n}i \in \{1,2, \ldots, n\}.)
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові тести на IMOTST-2022-006

Дотичні діаметральні кола і перетин діагоналей чотирикутника

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник такий, що коло з діаметром ABAB дотикається до прямої CDCD, а коло з діаметром CDCD дотикається до прямої ABAB. Доведіть, що дві точки перетину цих кіл і точка AC∩BDAC \cap BD лежать на одній прямій.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбіркові тести на IMOTST-2022-031

Максимальна сума площ ґраткових чотирикутників

Для фіксованого натурального числа kk нехай KK — множина всіх точок ґратки (x,y)(x, y) на площині, обидві координати xx і yy яких є невід’ємними цілими числами, меншими за 2k2k. Отже, ∣K∣=4k2|K| = 4k^{2}. Нехай множина VV складається з k2k^{2} невироджених чотирикутників з такими властивостями: i) Вершини всіх цих чотирикутників є елементами множини KK. ii) Кожна точка з KK є вершиною рівно одного з чотирикутників множини VV. Визначте найбільше можливе значення, якого може набувати сума площ усіх k2k^{2} чотирикутників з VV.
10–11 класиПлоща чотирикутника
Відбіркові тести на IMOTST-2022-028

Сума цілих частин при попарно віддалених числах

Знайдіть найменше значення, якого може набувати вираз ⌊a11⌋+⌊a22⌋+⋯+⌊a20222022⌋\left\lfloor\frac{a_{1}}{1}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{a_{2}}{2}\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{a_{2022}}{2022}\right\rfloor де a1,a2,…,a2022≥1a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2022} \geq 1 — дійсні числа такі, що ∣ai−aj∣≥1\left|a_{i}-a_{j}\right| \geq 1 для всіх 1≤i<j≤20221 \leq i<j \leq 2022. Примітка: Для дійсного числа xx через ⌊x⌋\lfloor x\rfloor, що називається дужкою Гаусса числа xx, позначають найбільше ціле число, яке не більше за xx.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Відбіркові тести на IMOTST-2022-012

Визначення пар лампа–вимикач

До стелі кімнати підвішено 15 ламп, пронумерованих від 1 до 15. Спочатку всі лампи вимкнені. В іншій кімнаті є 15 вимикачів: вимикач для ламп 1 і 2, вимикач для ламп 2 і 3, вимикач для ламп 3 і 4, і так далі, аж до вимикача для ламп 15 і 1. Якщо перемкнути вимикач такої пари ламп, кожна з цих двох ламп змінює свій стан (з увімкненої на вимкнену або навпаки). Вимикачі висять у довільному порядку й виглядають усі однаково. Раймонд хоче з'ясувати, який вимикач відповідає якій парі ламп. З кімнати з вимикачами ламп він не бачить. Він може перемкнути кілька вимикачів, а потім піти до іншої кімнати, щоб подивитися, які лампи увімкнені. Це він може робити кілька разів. Скільки разів йому потрібно щонайменше сходити до іншої кімнати, щоб про кожен вимикач точно знати, якій парі ламп він відповідає?
10–11 класиСистеми числення
Відбіркові тести на IMOTST-2022-011

Мінімум максимуму трьох виразів

Для дійсних чисел xx і yy визначимо M(x,y)M(x, y) як максимум трьох чисел xyxy, (x−1)(y−1)(x-1)(y-1) і x+y−2xyx+y-2xy. Знайдіть найменше можливе значення M(x,y)M(x, y), де xx і yy пробігають усі дійсні числа, що задовольняють 0≤x,y≤10 \le x, y \le 1.
10–11 класиНерівність Коші
Відбіркові тести на IMOTST-2022-013

Подільність різниці степенів на суму степенів дільників

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких існує ціле число a>2a>2 таке, що ad+2d∣an−2na^{d}+2^{d} \mid a^{n}-2^{n} для всіх додатних дільників d≠nd \neq n числа nn.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Відбіркові тести на IMOTST-2022-014

Пари простих чисел з кубічним рівнянням

Знайдіть усі пари простих чисел (p,q)(p, q), для яких p(p2−p−1)=q(2q+3)p\left(p^{2}-p-1\right)=q(2 q+3)
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Відбіркові тести на IMOTST-2022-017

Розташування кратних із квадратною сумою сусідів

Знайдіть усі натуральні числа dd, для яких існує k≥3k \geq 3 таке, що числа d,2d,3d,…,kdd, 2d, 3d, \ldots, kd можна розташувати в ряд так, щоб сума будь-яких двох сусідніх чисел була квадратом.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Відбіркові тести на IMOTST-2022-016

Неперетинні зростаючі або спадні пари

У послідовності a1,a2,…,a1000a_1, a_2, \dots, a_{1000}, що складається з 10001000 різних чисел, пару (ai,aj)(a_i, a_j) з i<ji < j називають зростаючою, якщо ai<aja_i < a_j, і спадною, якщо ai>aja_i > a_j. Знайдіть найбільше натуральне число kk з властивістю, що кожна послідовність з 10001000 різних чисел має принаймні kk неперетинних зростаючих пар або принаймні kk неперетинних спадних пар.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2022-020

Циклічна нерівність з умовою на добуток

Дано додатні дійсні числа a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} з n≥2n \geq 2, для яких виконується a1a2⋯an=1a_{1} a_{2} \cdots a_{n}=1. Доведіть, що (a1a2)n−1+(a2a3)n−1+…+(an−1an)n−1+(ana1)n−1≥a12+a22+…+an2\left(\frac{a_{1}}{a_{2}}\right)^{n-1}+\left(\frac{a_{2}}{a_{3}}\right)^{n-1}+\ldots+\left(\frac{a_{n-1}}{a_{n}}\right)^{n-1}+\left(\frac{a_{n}}{a_{1}}\right)^{n-1} \geq a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots+a_{n}^{2} і визначте, коли досягається рівність.
10–11 класиНерівність Коші
Відбіркові тести на IMOTST-2022-018

Неперетинні зростаючі та спадні пари в послідовності

У послідовності a1,a2,…,a1000a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{1000} з 1000 різних чисел пара (ai,aj)\left(a_{i}, a_{j}\right), де i<ji<j, називається зростаючою, якщо ai<aja_{i}<a_{j}, і спадною, якщо ai>aja_{i}>a_{j}. Знайдіть найбільше натуральне kk таке, що в кожній послідовності з 1000 різних чисел можна знайти принаймні kk неперетинних зростаючих пар або принаймні kk неперетинних спадних пар.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2022-019

Спільна точка кіл, породжених симетрією відносно точок дотику

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник із прямим кутом при CC та ∣AC∣>∣BC∣|AC| > |BC|, нехай II — центр вписаного кола, а HH — проєкція точки CC на відрізок ABAB. Вписане коло ω\omega трикутника △ABC\triangle ABC дотикається до сторін BCBC, CACA та ABAB відповідно в точках A1A_{1}, B1B_{1} та C1C_{1}. Нехай EE і FF — образи точки CC при симетрії відносно прямих A1C1A_{1}C_{1} і B1C1B_{1}C_{1} відповідно, а KK і LL — образи точки HH при симетрії відносно прямих A1C1A_{1}C_{1} і B1C1B_{1}C_{1} відповідно. Доведіть, що описані кола трикутників A1EIA_{1}EI, B1FIB_{1}FI і C1KLC_{1}KL проходять через спільну точку.
10–11 класиСиметрія2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2022-015

Гра з монетами на графі з квотами вершин

Дано (простий) граф GG з n≥2n \geq 2 вершинами v1,v2,…,vnv_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n} і m≥1m \geq 1 ребрами, Жоель і Роберт грають у таку гру з mm монетами: i) Спочатку Жоель приписує кожній вершині viv_{i} невід'ємне ціле число wiw_{i} таке, що w1+⋯+wn=mw_{1}+\cdots+w_{n}=m. ii) Потім Роберт вибирає (можливо, порожню) підмножину ребер, і для кожного вибраного ребра він кладе монету рівно на один із двох його кінців, а потім вилучає це ребро з графа. Коли він закінчить, кількість монет на кожній вершині viv_{i} має бути не більшою за wiw_{i}. iii) Потім Жоель робить те саме для всіх ребер, що залишилися. iv) Жоель перемагає, якщо кількість монет на кожній вершині viv_{i} дорівнює wiw_{i}. Визначте всі графи GG, для яких Жоель має виграшну стратегію.
10–11 класиДвочасткові графи
Відбіркові тести на IMOTST-2022-022

Рибний ринок і максимальна кількість покупців

На рибному ринку стоять 10 яток, які продають ті самі 10 видів риби. Уся риба виловлена в Північному або в Середземному морі, і кожна ятка для кожного виду риби має лише одне море походження. Деяка кількість, kk, покупців купує з кожної ятки по одній рибині так, що кожен має по одній рибині кожного виду. Крім того, відомо, що будь-які двоє покупців мають вид риби з різним походженням. Ми розглядаємо всі можливі способи наповнити ятки відповідно до наведених вище правил. Яке найбільше можливе значення kk?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2022-021

Циклічна нерівність з параметром

Нехай aa, bb, cc, λ\lambda — додатні дійсні числа, причому λ≥1/4\lambda \geq 1 / 4. Доведіть, що ab2+λbc+c2+bc2+λca+a2+ca2+λab+b2≥3λ+2\frac{a}{\sqrt{b^{2}+\lambda b c+c^{2}}}+\frac{b}{\sqrt{c^{2}+\lambda c a+a^{2}}}+\frac{c}{\sqrt{a^{2}+\lambda a b+b^{2}}} \geq \frac{3}{\sqrt{\lambda+2}}
10–11 класиІнші класичні нерівності

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.