Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

793 задачі
Відбіркові тести на IMO
Відбіркові тести на IMOTST-2020-014

Замощення дошки плитками змінної довжини

Для натурального числа nn розглянемо дошку n×nn \times n та плитки з розмірами 1×1,1×2,…,1×n1 \times 1, 1 \times 2, \ldots, 1 \times n. Скількома способами можна пофарбувати у червоний колір рівно 12n(n+1)\frac{1}{2} n(n+1) клітинок дошки так, щоб усі червоні клітинки можна було покрити nn плитками, якщо всі їх розмістити горизонтально, а також nn плитками, якщо всі їх розмістити вертикально? Два розфарбування, які не є однаковими, але переходять одне в одне поворотом чи віддзеркаленням дошки, вважаються різними.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Відбіркові тести на IMOTST-2020-012

Пари з функцією Ейлера та НСД

Знайдіть усі пари (a,b)(a, b) натуральних чисел, для яких a+b=φ(a)+φ(b)+НСД(a,b).a + b = \varphi(a) + \varphi(b) + \text{НСД}(a, b). Тут φ(n)\varphi(n) — кількість цілих чисел k∈{1,2,…,n}k \in \{1, 2, \dots, n\}, що задовольняють НСД(n,k)=1\text{НСД}(n, k) = 1.
10–11 класиФункція Ейлера φ(n)
Відбіркові тести на IMOTST-2020-028

Гра про будівництво дамби на клітинній дошці

Нехай α≥1\alpha \ge 1 — дійсне число. Гефест і Посейдон грають у покрокову гру на нескінченній клітинній дошці з одиничних квадратів. Ще до початку гри Посейдон обирає скінченну кількість клітин, які стануть затопленими. Гефест будує дамбу — підмножину одиничних ребер дошки (їх називають стінами), що утворює зв'язний шлях або замкнений контур без самоперетинів. Гра починається, причому перший хід робить Гефест. На кожному своєму ході Гефест додає до дамби одну чи більше стін — за умови, що після його n-го ходу сумарна довжина дамби не перевищує αn\alpha n. На кожному ході Посейдона затоплюється також кожна клітина, суміжна з уже затопленою клітиною, якщо між ними немає стіни. Гефест перемагає, якщо дамба утворює замкнений контур, всередині якого містяться всі затоплені клітини — отже, повінь зупинено і світ врятовано. За яких α\alpha Гефест може гарантувати перемогу за скінченну кількість ходів, як би Посейдон не обрав початкові клітини для затоплення?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2020-029

Трикутники з послідовними цілими сторонами і співвідношенням кутів

Назвемо невироджений трикутник з мірами кутів θ1,θ2,θ3\theta_1, \theta_2, \theta_3 примхливим, якщо існують цілі числа r1,r2,r3r_1, r_2, r_3, не всі нульові, такі, що r1θ1+r2θ2+r3θ3=0.r_1\theta_1 + r_2\theta_2 + r_3\theta_3 = 0. Знайдіть усі цілі числа n≥3n \ge 3, для яких трикутник зі сторонами n−1,n,n+1n-1, n, n+1 є примхливим.
10–11 класиІнші класи многочленів
Відбіркові тести на IMOTST-2020-016

Пряма AP і точки X та Y з перпендикулярів

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а PP — перетин дотичних у точках BB і CC до описаного кола трикутника △ABC\triangle ABC. Пряма через точку AA, перпендикулярна до ABAB, і пряма через точку CC, перпендикулярна до ACAC, перетинаються в точці XX. Пряма через точку AA, перпендикулярна до ACAC, і пряма через точку BB, перпендикулярна до ABAB, перетинаються в точці YY. Доведіть, що AP⊥XYAP \perp XY.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Відбіркові тести на IMOTST-2020-020

Хорда кола з рівностороннім трикутником

На колі з центром MM лежать три різні точки AA, BB і CC такі, що ∣AB∣=∣BC∣|AB| = |BC|. Точка DD лежить усередині кола так, що △BCD\triangle BCD рівносторонній. Другу точку перетину прямої ADAD з колом позначимо FF. Доведіть, що ∣FD∣=∣FM∣|FD| = |FM|.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові тести на IMOTST-2020-017

Пакування прямокутних плиток на квадратній дошці

Нехай kk і nn — натуральні числа такі, що k≤n≤2k−1k \le n \le 2k - 1. Юліан має великий запас прямокутних плиток k×1k \times 1. Мерлейн вибирає натуральне число mm й отримує від Юліана mm плиток, щоб розмістити їх на дошці n×nn \times n. На кожній плитці Юліан пише, чи слід розмістити цю плитку горизонтально, чи вертикально. Плитки не можуть перекриватися на дошці та мають повністю поміщатися всередині дошки. Яке найбільше число mm може вибрати Мерлейн, щоб усе одно гарантовано мати змогу розмістити всі плитки на дошці згідно з вказівками Юліана?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2020-018

Мінімальна різниця взаємно простих дробів

Нехай aa, b≥2b \ge 2 — натуральні числа, для яких НСД(a,b)=1\text{НСД}(a, b) = 1. Нехай rr — найменше додатне значення, якого може набувати ab−cd\frac{a}{b} - \frac{c}{d}, де cc і dd — натуральні числа, що задовольняють c≤ac \le a і d≤bd \le b. Доведіть, що 1r\frac{1}{r} є цілим числом.
10–11 класиРозв’язування конгруенцій ax ≡ b…
Відбіркові тести на IMOTST-2020-021

Максимальне заповнення дошки n×n плитками k×1

Дано два додатні цілі числа kk та nn такі, що k≤n≤2k−1k \leq n \leq 2k-1. Джуліан має велику стопку прямокутних плиток розміром k×1k \times 1. Мерлін називає додатне ціле число mm і отримує від Джуліана mm плиток, щоб розмістити їх на дошці розміром n×nn \times n. На кожній плитці Джуліан спочатку вказує, чи має вона бути горизонтальною, чи вертикальною. Плитки не можуть перекриватися на дошці і не можуть виступати за її межі. Яке найбільше число mm може назвати Мерлін, якщо він хоче бути впевненим, що зможе розмістити всі плитки на дошці згідно з вказівками Джуліана?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2020-019

Точки перетину перпендикулярів і пряма AP

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а PP — перетин дотичних у BB і CC до описаного кола трикутника △ABC\triangle ABC. Пряма через AA перпендикулярно до ABAB і пряма через CC перпендикулярно до ACAC перетинаються в точці XX. Пряма через AA перпендикулярно до ACAC і пряма через BB перпендикулярно до ABAB перетинаються в точці YY. Доведіть, що AP⊥XYAP \perp XY.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2020-030

Графи, ізоморфні подвійному графу спільних сусідів

Для скінченного простого графа GG позначимо через G′G' граф на тій самій множині вершин, що й GG, у якому для довільних двох вершин u≠vu \neq v пара {u,v}\{u, v\} є ребром графа G′G' тоді і лише тоді, коли uu і vv мають спільного сусіда в GG. Доведіть, що якщо скінченний простий граф GG ізоморфний графу (G′)′(G')', то GG ізоморфний і графу G′G'.
10–11 класиНапівінваріанти
Відбіркові тести на IMOTST-2020-031

Взаємна подільність з рівними цілими частинами коренів

Знайдіть усі пари натуральних чисел (a,b)(a, b), що задовольняють такі умови: (i) aa ділить b4+1b^4 + 1, (ii) bb ділить a4+1a^4 + 1, (iii) ⌊a⌋=⌊b⌋\lfloor\sqrt{a}\rfloor = \lfloor\sqrt{b}\rfloor.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Відбіркові тести на IMOTST-2020-022

Подільність добутків підмножин і прості числа

Множина SS, що складається з 2019 (різних) натуральних чисел, має таку властивість: добуток будь-яких 100 елементів з SS є дільником добутку решти 1919 елементів. Яка найбільша можлива кількість простих чисел, яку може містити SS?
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Відбіркові тести на IMOTST-2020-032

Стабільні підмножини з парною кількістю елементів

Нехай N2\mathbb{N}^2 позначає множину впорядкованих пар натуральних чисел. Скінченна підмножина SS множини N2\mathbb{N}^2 називається стабільною, якщо з того, що (x,y)(x, y) належить SS, випливає, що їй належать усі точки (x′,y′)(x', y') множини N2\mathbb{N}^2, у яких одночасно x′≤xx' \le x і y′≤yy' \le y. Доведіть, що якщо SS — стабільна множина, то серед усіх стабільних підмножин SS (включно з порожньою множиною та самою SS) щонайменше половина має парну кількість елементів.
10–11 класиПарність і непарність
Відбіркові тести на IMOTST-2020-033

Точки перетину діагоналей 100-кутника на одному колі

Нехай P1P2⋯P100P_1P_2 \cdots P_{100} — вписаний 100-кутник, і нехай Pi=Pi+100P_i = P_{i+100} для всіх ii. Визначимо QiQ_i як перетин діагоналей Pi−2Pi+1‾\overline{P_{i-2}P_{i+1}} і Pi−1Pi+2‾\overline{P_{i-1}P_{i+2}} для всіх цілих ii. Припустимо, що існує точка PP, для якої PPi‾⊥Pi−1Pi+1‾\overline{PP_i} \perp \overline{P_{i-1}P_{i+1}} для всіх цілих ii. Доведіть, що точки Q1,Q2,…,Q100Q_1, Q_2, \dots, Q_{100} лежать на одному колі.
10–11 класиІнверсія
Відбіркові тести на IMOTST-2020-034

Конкурентність прямих з ортоцентрів трикутників

Нехай AA, BB, CC, DD — чотири точки, серед яких жодні три не лежать на одній прямій, причому DD не є ортоцентром трикутника ABCABC. Нехай PP, QQ, RR — ортоцентри трикутників △BCD\triangle BCD, △CAD\triangle CAD, △ABD\triangle ABD відповідно. Припустимо, що прямі APAP, BQBQ, CRCR попарно різні та перетинаються в одній точці. Доведіть, що чотири точки AA, BB, CC, DD лежать на одному колі.
10–11 класиТочка перетину висот
Відбіркові тести на IMOTST-2020-023

Добуток степенів за модулем простого числа

Нехай p,qp, q — прості числа, а aa — ціле число таке, що p>2p > 2 і a≠1(modq)a \neq 1 \pmod{q}, але ap≡1(modq)a^p \equiv 1 \pmod{q}. Доведіть, що (1+a1)(1+a2)…(1+ap−1)≡1(modq).(1+a^1)(1+a^2)\dots(1+a^{p-1}) \equiv 1 \pmod{q}.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2020-035

Многочлени з коренями на одиничному колі

Знайдіть усі несталі многочлени P(z)P(z) з комплексними коефіцієнтами, для яких усі комплексні корені многочленів P(z)P(z) і P(z)−1P(z) - 1 мають модуль 11.
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Відбіркові тести на IMOTST-2020-036

Відношення суми дільників для пар чисел

Для кожного натурального числа NN нехай σ(N)\sigma(N) позначає суму натуральних дільників числа NN. Знайдіть усі цілі числа m≥n≥2m \ge n \ge 2, що задовольняють σ(m)−1m−1=σ(n)−1n−1=σ(mn)−1mn−1.\frac{\sigma(m) - 1}{m - 1} = \frac{\sigma(n) - 1}{n - 1} = \frac{\sigma(mn) - 1}{mn - 1}.
10–11 класиСума дільників σ(n)
Відбіркові тести на IMOTST-2020-037

Максимальна кількість дружб зі збереженням відстаней

Десять мільйонів світлячків світяться в R3\mathbb{R}^3 опівночі. Деякі зі світлячків дружать, причому дружба завжди взаємна. Щосекунди один світлячок переміщується в нове положення так, щоб його відстань до кожного зі своїх друзів залишалася такою самою, як і до переміщення. Це єдиний спосіб, у який світлячки будь-коли змінюють свої положення. Жодні два світлячки ніколи не можуть займати одну й ту саму точку. Спочатку жодні два світлячки, друзі чи ні, не перебувають на відстані понад метр один від одного. Після деякої скінченної кількості секунд усі світлячки опиняються принаймні за десять мільйонів метрів від своїх початкових положень. Маючи цю інформацію, знайдіть найбільшу можливу кількість дружб між світлячками. У загальному випадку ми показуємо, що коли n≥70n \ge 70, відповідь дорівнює f(n)=⌊n23⌋f(n) = \lfloor \frac{n^2}{3} \rfloor.
10–11 класиКласичні теореми теорії графів
Відбіркові тести на IMOTST-2019-002

Функції з рівністю f(x² f(y)²) = f(x²) f(y)

Множину всіх додатних раціональних чисел позначено через Q+\mathbb{Q}^{+}. Знайдіть усі функції f:Q+→Q+f: \mathbb{Q}^{+} \rightarrow \mathbb{Q}^{+} з властивістю f\left(x^{2} f(y)^{2}\right) = f\left(x^{2}\right) f(y) \tag{*} для всіх x,y∈Q+x, y \in \mathbb{Q}^{+}.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові тести на IMOTST-2019-003

Однакова кількість дільників кратних

Знайдіть усі пари (a,b)(a, b) натуральних чисел, для яких існує натуральне число nn таке, що кількість дільників чисел nan a і nbn b однакова.
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Відбіркові тести на IMOTST-2019-034

Розбиття монет з обмеженнями на масу

Пірат хоче поділити скарб, що складається з 1000 золотих монет, кожна з яких важить принаймні 1 г, а разом — рівно 2 кг, на дві частини, маси яких відрізняються від 1 кг не більше ніж на 1 г. Доведіть, що це можливо.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2019-004

Розподіл учнів із взаємними найкращими друзями

У середній школі в кожному класі непарна кількість учнів. Крім того, кожен учень має найкращого друга (можливо, з іншого класу). Кожен є найкращим другом свого найкращого друга. Під час подорожі містами кожен учень їде до Рима або до Парижа. Доведіть, що учнів можна розподілити між двома напрямками так, щоб (i) кожен учень їхав у подорож разом зі своїм найкращим другом; (ii) для кожного класу абсолютна різниця між кількістю учнів, які їдуть до Рима, і кількістю учнів, які їдуть до Парижа, дорівнювала 1.
10–11 класиШляхи на графах
Відбіркові тести на IMOTST-2019-005

Циклічність точок із дотичного кола

У вписаному чотирикутнику ABCDA B C D нехай EE — точка перетину діагоналей. Пряма через EE, відмінна від ACA C або BDB D, перетинає ABA B у точці PP та BCB C у точці QQ. Коло, яке дотикається до прямої PQP Q у точці EE і проходить через DD, перетинає описане коло чотирикутника ABCDA B C D ще раз у точці RR. Доведіть, що точки B,P,RB, P, R і QQ лежать на одному колі.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.