Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

793 задачі
Відбіркові тести на IMO
Відбіркові тести на IMOTST-2019-001

Паралельні прямі з висот і описаного кола

Нехай ABCABC — трикутник, а DD, EE і FF — основи висот, проведених з вершин AA, BB і CC відповідно. Нехай HH — ортоцентр трикутника ABCABC. Відрізки EFEF і ADAD перетинаються в точці GG. Нехай KK — точка описаного кола трикутника ABCABC, діаметрально протилежна точці AA. Пряма AKAK перетинає BCBC в точці MM. Доведіть, що прямі GMGM і HKHK паралельні.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2019-026

Перетин дотичних кіл на стороні трикутника

Нехай ABCABC — трикутник, а MM і NN — середини сторін AB‾\overline{AB} та AC‾\overline{AC} відповідно. Нехай XX — точка, для якої відрізок AX‾\overline{AX} дотикається до описаного кола трикутника ABCABC. Позначимо через ωB\omega_B коло, що проходить через точки MM і BB та дотикається до відрізка MX‾\overline{MX}, а через ωC\omega_C — коло, що проходить через точки NN і CC та дотикається до відрізка NX‾\overline{NX}. Доведіть, що кола ωB\omega_B і ωC\omega_C перетинаються на прямій BCBC.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Відбіркові тести на IMOTST-2019-027

Бінарна операція з умовою асоціативності

Знайдіть усі бінарні операції ⋄\diamond: R>0×R>0→R>0\mathbb{R}_{>0} \times \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}_{>0} (тобто ⋄\diamond зіставляє кожній парі додатних дійсних чисел додатне дійсне число) такі, що для будь-яких дійсних чисел a,b,c>0a, b, c > 0 виконується рівність a⋄(b⋄c)=(a⋄b)⋅ca \diamond (b \diamond c) = (a \diamond b) \cdot c; та якщо a≥1a \ge 1, то a⋄a≥1a \diamond a \ge 1.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Відбіркові тести на IMOTST-2019-032

Перетин дотичних і паралельні прямі

Нехай дано трикутник ABCABC. Коло kk проходить через AA, перетинає сторони AB‾\overline{AB} і AC‾\overline{AC} ще раз у точках DD і EE відповідно та перетинає сторону BC‾\overline{BC} в точках FF і GG, причому FF лежить між BB і GG. Дотична до кола, що проходить через BB, DD і FF, в точці FF і дотична до кола, що проходить через CC, EE і GG, в точці GG перетинаються в точці TT. Припустимо, що A≠TA \neq T. Доведіть, що прямі ATAT і BCBC паралельні.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові тести на IMOTST-2019-035

Симетричні образи спільної точки чевіан і описане коло

Нехай задано трикутник ABCA B C з описаним колом Ω\Omega та точки A1,B1A_{1}, B_{1} і C1C_{1} на сторонах трикутника BC‾,CA‾\overline{B C}, \overline{C A} і AB‾\overline{A B}, такі, що три прямі AA1,BB1A A_{1}, B B_{1} і CC1C C_{1} мають спільну точку PP. Треба показати, що щонайбільше дві з трьох точок, одержаних відображенням точки PP при центральній симетрії відносно A1A_{1}, B1B_{1} та C1C_{1} відповідно, лежать поза колом Ω\Omega.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Відбіркові тести на IMOTST-2019-008

Єдине подання дробів сумами обернених чисел

З’ясуйте, чи існує множина MM натуральних чисел, яка має таку властивість: для кожного додатного раціонального числа r<1r<1 існує рівно одна скінченна підмножина SS множини MM така, що виконується ∑s∈S1/s=r\sum_{s \in S} 1 / s = r, тобто сума обернених значень усіх елементів SS дорівнює rr.
10–11 класиГеометрична прогресія
Відбіркові тести на IMOTST-2019-009

Факторизація з обмеженою різницею множників

Нехай nn — натуральне число. Доведіть, що n2+n+1n^{2}+n+1 не можна записати як добуток двох натуральних чисел, які відрізняються одне від одного менше ніж на 2n2 \sqrt{n}.
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Відбіркові тести на IMOTST-2019-006

Центр вписаного кола і бісектриса кута

Нехай ABCABC — трикутник і нехай II — центр вписаного кола цього трикутника. Пряма через II, перпендикулярна до AIAI, перетинає описане коло △ABC\triangle ABC в точках PP і QQ, причому PP лежить з того самого боку від прямої AIAI, що й BB. Нехай SS — друга точка перетину описаних кіл △BIP\triangle BIP і △CIQ\triangle CIQ. Доведіть, що SISI є бісектрисою ∠PSQ\angle PSQ.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові тести на IMOTST-2019-007

Найбільше просте число з рівняння з коренем

Знайдіть найбільше просте число pp, для якого існують натуральні числа aa і bb такі, що p=b2a−ba+bp=\frac{b}{2} \sqrt{\frac{a-b}{a+b}}
10–11 класиНСД та НСК
Відбіркові тести на IMOTST-2019-028

Бієкції на кільці лишків з лінійними зсувами

Нехай Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} позначає множину цілих чисел за модулем nn (отже, Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} має nn елементів). Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких існує бієктивна функція g:Z/nZ→Z/nZg: \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, така, що 101 функція g(x), g(x)+x, g(x)+2x, …, g(x)+100xg(x),\ g(x) + x,\ g(x) + 2x,\ \dots,\ g(x) + 100x є бієкціями на Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.
10–11 класиСуми послідовностей
Відбіркові тести на IMOTST-2019-029

Рівні хорди та перетин прямих на колі

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з описаним колом Ω\Omega та ортоцентром HH. Точки DD і EE лежать на відрізках ABAB і ACAC відповідно так, що AD=AEAD = AE. Прямі через BB і CC, паралельні прямій DEDE, перетинають Ω\Omega знову в точках PP і QQ відповідно. Позначимо через ω\omega описане коло трикутника △ADE\triangle ADE. а. Покажіть, що прямі PEPE і QDQD перетинаються на колі ω\omega. б. Доведіть, що якщо коло ω\omega проходить через HH, то прямі PDPD і QEQE також перетинаються на колі ω\omega.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбіркові тести на IMOTST-2019-011

Мінімальна кількість ходів у грі з переміщенням фішок

Дано натуральне число nn та ігрову дошку, що складається з n+1n+1 розташованих поруч квадратних полів, пронумерованих зліва направо від 00 до nn. На початку гри на полі № 00 перебуває nn фішок, а інші поля порожні. Терплячий гравець на кожному ході вибирає поле з k≠0k \neq 0 фішками і пересуває одну з них щонайбільше на kk полів вправо. При цьому фішка повинна залишатися на дошці. Його мета — послідовністю таких ходів перемістити всі nn фішок на поле № nn. Доведіть, що гравець не може досягти цієї мети менш ніж за ⌈n1⌉+⌈n2⌉+⌈n3⌉+…+⌈nn⌉\left\lceil\frac{n}{1}\right\rceil+\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil+\left\lceil\frac{n}{3}\right\rceil+\ldots+\left\lceil\frac{n}{n}\right\rceil ходів. (При цьому ⌈x⌉\lceil x\rceil позначає найменше ціле число, не менше за xx.)
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2019-033

Сума з верхньою цілою частиною не є квадратом

Нехай mm і nn — два натуральні числа. Доведіть, що ціле число m2+⌈4m2n⌉m^{2} + \left\lceil \frac{4 m^{2}}{n} \right\rceil не є квадратом. (При цьому ⌈x⌉\lceil x \rceil позначає найменше ціле число, яке не менше за xx.)
10–11 класиМетод нескінченного спуску
Відбіркові тести на IMOTST-2019-036

Наближення лінійної форми від ірраціональностей

Нехай ε>0\varepsilon>0 задано. Доведіть, що існують цілі числа a,ba, b і cc, не всі з яких дорівнюють нулю, такі, що виконується нерівність ∣a2+b3+c5∣<ε|a \sqrt{2}+b \sqrt{3}+c \sqrt{5}|<\varepsilon. Доведіть також, що в кожній трійці (a,b,c)≠(0,0,0)(a, b, c) \neq(0,0,0) цілих чисел, для якої виконується ця нерівність, принаймні одне з абсолютних значень ∣a∣,∣b∣,∣c∣|a|,|b|,|c| більше за ε−1/3/30\varepsilon^{-1 / 3} / \sqrt{30}.
10–11 класиНаближення дійсних чисел і оцінки
Відбіркові тести на IMOTST-2019-012

Перетин прямих на колі від дзеркальних образів точки

Розглянемо трикутник ABCABC і точку PP в його внутрішній області. Точки, симетричні точці PP відносно сторін BC‾\overline{BC}, CA‾\overline{CA} і AB‾\overline{AB}, позначимо через A1A_1, B1B_1 і C1C_1. Далі нехай Ω\Omega — описане коло трикутника A1B1C1A_1B_1C_1, а A2A_2, B2B_2 і C2C_2 — другі точки перетину прямих A1PA_1P, B1PB_1P і C1PC_1P з колом Ω\Omega. Доведіть, що три прямі AA2AA_2, BB2BB_2 і CC2CC_2 перетинаються на колі Ω\Omega.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбіркові тести на IMOTST-2019-010

Нерівності зі степенями дійсних чисел

Нехай xx і yy — додатні дійсні числа. а) Доведіть: якщо x3−y3≥4xx^{3}-y^{3} \geq 4 x, то x2>2yx^{2}>2 y. б) Доведіть: якщо x5−y3≥2xx^{5}-y^{3} \geq 2 x, то x3≥2yx^{3} \geq 2 y.
10–11 класиЧислові нерівності
Відбіркові тести на IMOTST-2019-013

Спільна точка кола та прямих у трикутнику з паралелограмом

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, OO — центр його описаного кола. Точка QQ лежить на описаному колі △BOC\triangle BOC так, що OQOQ — діаметр. Точка MM лежить на прямій CQCQ, а точка NN лежить всередині відрізка BCBC так, що ANCMANC M — паралелограм. Доведіть, що описане коло △BOC\triangle BOC та прямі AQAQ і NMNM проходять через одну точку.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2019-031

Нескінченні ходи машинок на сітці

На нескінченній квадратній сітці розміщено скінченну кількість машинок, кожна з яких займає одну клітинку та спрямована в одну з чотирьох сторін світу. Машинки ніколи не можуть займати одну клітинку. Відомо, що клітинка безпосередньо перед кожною машинкою порожня, і, крім того, жодні дві машинки не спрямовані одна на одну (жодна машинка, спрямована праворуч, не стоїть ліворуч від машинки, спрямованої ліворуч, в одному рядку тощо). За хід обирають одну машинку і пересувають її на одну клітинку вперед на вільну клітинку. Доведіть, що існує нескінченна послідовність допустимих ходів, у якій кожна машинка ходить нескінченно багато разів.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Відбіркові тести на IMOTST-2019-030

Розворот довгої змії у великій клітинній дошці

Змія довжини kk — це тварина, що займає впорядкований kk-елементний набір (s1,…,sk)(s_1, \dots, s_k) клітинок у клітинній дошці n×nn \times n, складеній із квадратних одиничних клітинок. Ці клітинки мусять бути попарно різними, а клітинки sis_i та si+1s_{i+1} повинні мати спільну сторону при i=1,…,k−1i = 1, \dots, k-1. Якщо змія в даний момент займає (s1,…,sk)(s_1, \dots, s_k), а ss — вільна клітинка, що має спільну сторону з s1s_1, то змія може зробити хід і натомість зайняти (s,s1,…,sk−1)(s, s_1, \dots, s_{k-1}). Змія розвернулася, якщо спочатку вона займала (s1,s2,…,sk)(s_1, s_2, \dots, s_k), а після скінченної кількості ходів займає натомість (sk,sk−1,…,s1)(s_k, s_{k-1}, \dots, s_1). Визначте, чи існує ціле число n>1n > 1, для якого в клітинну дошку n×nn \times n можна помістити якусь змію довжини щонайменше 0.9n20.9n^2, здатну розвернутися.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2019-015

Максимальний степінь графа без трикутників

У математичному змаганні беруть участь 300 учасників. Після змагання деякі учасники грають кілька партій у шахи. Кожні двоє учасників грають між собою щонайбільше один раз. Немає трьох учасників, кожні двоє з яких зіграли між собою. Визначте найбільше nn, для якого можливо одночасно виконати такі умови: кожен учасник грає щонайбільше nn партій у шахи, і для кожного mm з 1≤m≤n1 \leq m \leq n є учасник, який грає рівно mm партій у шахи.
10–11 класиСтепені вершин
Відбіркові тести на IMOTST-2019-014

Послідовність з НСД і рекурентним співвідношенням зі зсувом

Чи існують натуральне число kk і непостійна послідовність a1,a2,a3,…a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots натуральних чисел така, що an=НСД(an+k,an+k+1)a_{n}=\text{НСД}\left(a_{n+k}, a_{n+k+1}\right) для всіх натуральних чисел nn?
10–11 класиНСД та НСК
Відбіркові тести на IMOTST-2019-016

Цілочисельні функції з подільністю на прості числа

Знайдіть усі функції f:Z→Zf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, які задовольняють - f(p)>0f(p)>0 для всіх простих чисел pp, - p∣(f(x)+f(p))f(p)−xp \mid (f(x)+f(p))^{f(p)}-x для всіх x∈Zx \in \mathbb{Z} і всіх простих чисел pp.
10–11 класиМала теорема Ферма
Відбіркові тести на IMOTST-2019-017

Вписаний чотирикутник з паралельних прямих

Дано трикутник ABCA B C. На стороні ACA C лежать точки DD і EE так, що порядок точок на цій прямій — A,E,D,CA, E, D, C. Пряма через EE, паралельна до BCB C, перетинає описане коло △ABD\triangle A B D у точці FF, причому EE і FF лежать по різні боки від прямої ABA B. Пряма через EE, паралельна до ABA B, перетинає описане коло △BCD\triangle B C D у точці GG, причому EE і GG лежать по різні боки від прямої BCB C. Доведіть, що DEFGD E F G — вписаний чотирикутник.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2019-037

Транзитивність відношення, породженого чудовими функціями

Функцію f:Z≥0×Z≥0→Zf: \mathbb{Z}_{\ge 0} \times \mathbb{Z}_{\ge 0} \to \mathbb{Z} назвемо чудовою, якщо для будь-яких невід'ємних цілих чисел mm і nn f(m+1,n+1)f(m,n)−f(m+1,n)f(m,n+1)=1.f(m+1, n+1)f(m, n) - f(m+1, n)f(m, n+1) = 1. Якщо A=(a0,a1,… )A = (a_0, a_1, \dots) і B=(b0,b1,… )B = (b_0, b_1, \dots) — дві послідовності цілих чисел, пишемо A∼BA \sim B, якщо існує чудова функція ff, що задовольняє f(n,0)=anf(n, 0) = a_n і f(0,n)=bnf(0, n) = b_n для кожного невід'ємного цілого числа nn (зокрема, a0=b0a_0 = b_0). Доведіть, що якщо A,B,CA, B, C і DD — чотири послідовності цілих чисел, які задовольняють A∼B,B∼CA \sim B, B \sim C і C∼DC \sim D, то D∼AD \sim A.
10–11 класиМіркування за модулем
Відбіркові тести на IMOTST-2019-038

Урівноваження купок монет з обмеженими номіналами

Розглянемо монети з додатними дійсними номіналами, що не перевищують 11. Знайдіть найменше C>0C > 0, для якого виконується таке: якщо дано будь-які 100100 таких монет із сумарною вартістю 5050, то їх завжди можна розділити на дві купки по 5050 монет у кожній так, щоб модуль різниці між сумарними вартостями двох купок не перевищував CC.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.