Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

793 задачі
Відбіркові тести на IMO
Відбіркові тести на IMOTST-2019-018

Діаметр зв'язного графа з мінімальним степенем 3

У країні є 2018 міст, деякі з яких з'єднані між собою дорогами. Кожне місто з'єднане принаймні з трьома іншими містами. З будь-якого міста можна дістатися до будь-якого іншого міста однією чи кількома дорогами. Для кожної пари міст розглянемо найкоротший маршрут між цими двома містами. Яка найбільша кількість доріг може зустрітися в такому найкоротшому маршруті?
10–11 класиШляхи на графах
Відбіркові тести на IMOTST-2019-019

Рівні кути PXM і PYM та вписаний чотирикутник APXY

Нехай ABCABC — трикутник з AB=ACAB = AC, а MM — середина відрізка BCBC. Нехай PP — точка така, що PB<PCPB < PC і PAPA паралельна BCBC. Нехай далі XX і YY — точки на прямих PBPB і PCPC відповідно, такі, що BB лежить на відрізку PXPX, а CC лежить на відрізку PYPY, і виконується ∠PXM=∠PYM\angle PXM = \angle PYM. Доведіть, що APXYAPXY — вписаний чотирикутник.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Відбіркові тести на IMOTST-2019-039

Гра про зняття намистин із чергуванням кольорів

Нехай nn — натуральне число. Тейсті та Стейсі отримали кругле намисто з 3n3n сапфірових і 3n3n бірюзових намистин, причому жодні три послідовні намистини не мають одного кольору. Вони грають у кооперативну гру, у якій ходять по черзі, знімаючи по три послідовні намистини, з дотриманням таких умов: Тейсті на кожному своєму ході мусить зняти три послідовні намистини, які є бірюзовою, сапфіровою та бірюзовою саме в такому порядку. Стейсі на кожному своєму ході мусить зняти три послідовні намистини, які є сапфіровою, бірюзовою та сапфіровою саме в такому порядку. Вони перемагають, якщо всі намистини буде знято за 2n2n ходів. Доведіть, що якщо вони можуть перемогти, коли першим ходить Тейсті, то вони можуть перемогти і тоді, коли першою ходить Стейсі.
10–11 класиНапівінваріанти
Відбіркові тести на IMOTST-2019-040

Пряма через ортоцентр і перетин на описаному колі

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник з ортоцентром HH і описаним колом Γ\Gamma. Пряма через HH перетинає відрізки ABAB і ACAC у точках EE і FF відповідно. Нехай KK — центр описаного кола трикутника △AEF\triangle AEF, і припустимо, що пряма AKAK перетинає коло Γ\Gamma знову в точці DD. Доведіть, що пряма HKHK і пряма через DD, перпендикулярна до BC‾\overline{BC}, перетинаються на колі Γ\Gamma.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбіркові тести на IMOTST-2019-020

Виграшна стратегія у грі з двома купками

Нехай (a,b)(a, b) — пара натуральних чисел. Геннінг і Пауль грають у гру: спочатку на столі лежать дві купки з aa та bb камінців відповідно. Пара (a,b)(a, b) називається початковою конфігурацією гри. Гравці діють так: - Гравці ходять по черзі, причому починає Геннінг. - Кожного ходу гравець або забирає додатну кількість камінців з однієї з двох купок, або однакову додатну кількість камінців з обох купок. - Гравець, який забирає останній камінець зі столу, виграє гру. Нехай AA — множина всіх натуральних чисел aa, для яких існує натуральне число b<ab<a таке, що Пауль має виграшну стратегію для початкової конфігурації (a,b)(a, b). Впорядкуємо елементи множини AA за зростанням як a1<a2<…a_{1}<a_{2}<\ldots a. Доведіть, що множина AA нескінченна. b. Доведіть, що послідовність (mk)k≥1\left(m_{k}\right)_{k \geq 1}, визначена як mk:=ak+1−akm_{k}:=a_{k+1}-a_{k} для всіх k≥1k \geq 1, не є зрештою періодичною. Зауваження: Послідовність (xk)k≥1\left(x_{k}\right)_{k \geq 1} є зрештою періодичною, якщо існує ціле число k0≥0k_{0} \geq 0 таке, що послідовність (xk+k0)k≥1\left(x_{k+k_{0}}\right)_{k \geq 1} є періодичною.
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2019-041

Дотик: інцентр та точок зовнівписаних кіл

Нехай ABCABC — трикутник з інцентром II, і нехай DD — точка на прямій BCBC, для якої ∠AID=90∘\angle AID = 90^\circ. Нехай зовнівписане коло трикутника ABCABC, протилежне вершині AA, дотикається до сторони BC‾\overline{BC} у точці A1A_1. Точки B1B_1 на стороні CA‾\overline{CA} та C1C_1 на стороні AB‾\overline{AB} визначимо аналогічно, використовуючи зовнівписані кола, протилежні вершинам BB та CC відповідно. Доведіть, що якщо чотирикутник AB1A1C1AB_1A_1C_1 вписаний у коло, то пряма AD‾\overline{AD} дотикається до описаного кола трикутника △DB1C1\triangle DB_1C_1.
10–11 класиПоворотна гомотетія2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2019-042

Многочлен, суми цифр значень якого не є числами Фібоначчі

Нехай PP — многочлен з цілими коефіцієнтами, такий, що для кожного натурального числа nn сума десяткових цифр числа ∣P(n)∣|P(n)| не є числом Фібоначчі. Чи обов'язково PP сталий? (Число Фібоначчі — це елемент послідовності F0,F1,…F_0, F_1, \dots, заданої рекурсивно співвідношеннями F0=0F_0 = 0, F1=1F_1 = 1 та Fk+2=Fk+1+FkF_{k+2} = F_{k+1} + F_k для k≥0k \ge 0.)
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Відбіркові тести на IMOTST-2019-043

Функція з інваріантністю НСД

Нехай f:Z→{1,2,…,10100}f: \mathbb{Z} \rightarrow \{1, 2, \dots, 10^{100}\} — функція, що задовольняє рівність НСД(f(x),f(y))=НСД(f(x),x−y)\text{НСД}(f(x), f(y)) = \text{НСД}(f(x), x - y) для всіх цілих чисел xx і yy. Доведіть, що існують натуральні числа mm і nn такі, що f(x)=НСД(m+x,n)f(x) = \text{НСД}(m + x, n) для всіх цілих чисел xx.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Відбіркові тести на IMOTST-2019-021

Розкладка шкарпеток без збалансованих блоків

Нехай kk, nn і rr — натуральні числа з r<nr < n. Квірін має kn+rk n + r чорних і kn+rk n + r білих шкарпеток. Він хоче розвісити їх на мотузці для білизни так, щоб не було 2n2 n послідовних шкарпеток, серед яких nn чорних і nn білих. Доведіть, що Квірін може це зробити тоді й лише тоді, коли виконуються r≥kr \geq k і n>k+rn > k + r.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2019-044

Неперетинні парування 16 точок

Нехай SS — множина з 16 точок на площині, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Нехай χ(S)\chi(S) позначає кількість способів провести 8 відрізків з кінцями в точках множини SS так, щоб жодні два проведені відрізки не перетиналися, навіть у кінцях. Знайдіть найменше можливе значення χ(S)\chi(S) для всіх таких SS.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Відбіркові тести на IMOTST-2019-022

Дотична і перпендикуляр у гострокутному трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник такий, що AB<ACAB < AC. Нехай EE і FF — основи висот, проведених з BB і CC відповідно, а MM — середина сторони BCBC. Дотична до описаного кола трикутника ABCABC у точці AA перетинає пряму BCBC у точці PP. Пряма, що проходить через AA паралельно прямій BCBC, перетинає пряму EFEF у точці QQ. Доведіть, що пряма PQPQ перпендикулярна до прямої AMAM.
10–11 класиРадикальна вісь2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2019-045

Центр вписаного кола рівновіддалений від точок дотику вписаних кіл

Нехай ABCABC — трикутник із центром вписаного кола II. Точки KK і LL обрано на відрізку BCBC так, що вписані кола △ABK\triangle ABK і △ABL\triangle ABL дотикаються у точці PP, а вписані кола △ACK\triangle ACK і △ACL\triangle ACL дотикаються у точці QQ. Доведіть, що IP=IQIP = IQ.
10–11 класиІнверсія2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2019-023

Трійки кольорів зі спільним одним кольором

Нехай n≥5n \geq 5 — ціле число. Крамниця продає м'ячі для жонглювання у nn різних кольорах. Кожне з n+1n+1 дітей купує три м'ячі для жонглювання, які мають три різні кольори, причому жодні двоє дітей не купують точно однакову комбінацію кольорів. Доведіть, що знайдуться принаймні двоє дітей, які мають спільно рівно один колір.
10–11 класиКомбінації
Відбіркові тести на IMOTST-2019-024

Нерівність для середніх з параметром

Нехай nn — натуральне число. Визначте, чи існує дійсне число ε>0\varepsilon>0 (залежне від nn), таке, що для всіх додатних дійсних чисел x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} виконується x1x2⋯xnn≤(1−ϵ)⋅x1+x2+⋯+xnn+ϵ⋅n1x1+1x2+⋯+1xn\sqrt[n]{x_{1} x_{2} \cdots x_{n}} \leq (1-\epsilon) \cdot \frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}+\epsilon \cdot \frac{n}{\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\cdots+\frac{1}{x_{n}}}
10–11 класиНерівність Коші
Відбіркові тести на IMOTST-2019-025

Зображуваність сумою членів показникової послідовності

Означимо послідовність (an)n≥0\left(a_{n}\right)_{n \geq 0} цілих чисел формулою an:=2n+2⌊n/2⌋a_{n}:=2^{n}+2^{\lfloor n / 2\rfloor}. Доведіть, що існує нескінченно багато членів послідовності, які можна подати у вигляді суми принаймні двох різних членів послідовності, а також існує нескінченно багато членів послідовності, які в такому вигляді подати не можна.
10–11 класиСуми послідовностей
Відбіркові тести на IMOTST-2018-040

Найкоротші шляхи, що уникають кольорових відрізків

На площині є різні точки OO, AA, BB, K1K_1, …\ldots, KnK_n, L1L_1, …\ldots, LnL_n такі, що жодні три точки не є колінеарними. Відкриті відрізки K1L1K_1L_1, …\ldots, KnLnK_nL_n пофарбовані в червоний колір, інші точки на площині залишаються непофарбованими. Дозволений шлях від точки OO до точки XX — це ламана, перша та остання вершини якої знаходяться в точках OO та XX, і яка не містить червоних точок. Наприклад, для n=1n = 1, K1=(−1;0)K_1 = (-1; 0), L1=(1;0)L_1 = (1; 0), O=(0;−1)O = (0; -1) та X=(0;1)X = (0; 1), ламані OK1XOK_1X та OL1XOL_1X є прикладами дозволених шляхів від OO до XX; коротших дозволених шляхів немає. Знайдіть найменше додатне ціле число nn таке, що можливо, що перша вершина, яка не є OO, на будь-якому найкоротшому можливому дозволеному шляху від OO до AA ближче до BB, ніж до AA, а перша вершина, яка не є OO, на будь-якому найкоротшому можливому дозволеному шляху від OO до BB ближче до AA, ніж до BB.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2018-004

Симетричні кубічні рівняння в дійсних числах

a) Якщо c(a3+b3)=a(b3+c3)=b(c3+a3)c\left(a^{3}+b^{3}\right)=a\left(b^{3}+c^{3}\right)=b\left(c^{3}+a^{3}\right) для додатних дійсних чисел a,b,ca, b, c, то чи обов'язково a=b=ca=b=c? b) Якщо a(a3+b3)=b(b3+c3)=c(c3+a3)a\left(a^{3}+b^{3}\right)=b\left(b^{3}+c^{3}\right)=c\left(c^{3}+a^{3}\right) для додатних дійсних чисел a,b,ca, b, c, то чи обов'язково a=b=ca=b=c?
10–11 класиСиметричні системи рівнянь2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2018-001

Гамільтонів шлях равлика на дошці з фішкою

Дано дошку з 2m2 m рядками та 2n2 n стовпцями, причому mm і nn — натуральні числа. Дозволено поставити одну фішку на клітинку цієї дошки, але не на клітинку ліворуч унизу чи на клітинку праворуч угорі. Потім равлик починає мандрувати дошкою. Равлик починає в клітинці ліворуч унизу і може рухатися горизонтально та вертикально. Равлик не заходить на клітинку з фішкою, але хоче відвідати кожну іншу клітинку рівно один раз, причому клітинка праворуч угорі є його кінцевою точкою. На які клітинки можна поставити фішку, щоб равлик міг досягти своєї мети?
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Відбіркові тести на IMOTST-2018-002

Колове розташування кульок із різними кольорами

Маємо 1000 кульок 40 різних кольорів, причому кульок кожного кольору є рівно 25. Знайдіть найменше значення nn з такою властивістю: якщо 1000 кульок довільно розкласти по колу, то завжди знайдуться nn кульок підряд, серед яких трапляються принаймні 20 різних кольорів.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2018-005

Гарна множина прямих з непарними перетинами

Множину прямих на площині назвемо гарною, якщо кожна пряма з множини перетинає непарну кількість інших прямих із цієї множини. Знайдіть найменше ціле число k≥0k \geq 0 з такою властивістю: для будь-яких 2018 різних прямих ℓ1,ℓ2,…,ℓ2018\ell_{1}, \ell_{2}, \ldots, \ell_{2018} на площині існують прямі ℓ2018+1,ℓ2018+2,…,ℓ2018+k\ell_{2018+1}, \ell_{2018+2}, \ldots, \ell_{2018+k} такі, що прямі ℓ1,ℓ2,…,ℓ2018+k\ell_{1}, \ell_{2}, \ldots, \ell_{2018+k} усі різні й утворюють гарну множину.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2018-003

Многочлени з умовою значення в зсунутих коренях

Нехай k≥0k \geq 0 — ціле число. Знайдіть усі дійсні многочлени PP степеня kk з kk різними дійсними коренями, такі, що для всіх коренів aa многочлена PP виконується: P(a+1)=1P(a+1)=1
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…4 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2018-030

Функції на многочленах з цілими коефіцієнтами з двома умовами

Як завжди, нехай Z[x]\mathbb{Z}[x] позначає множину многочленів від однієї змінної xx з цілими коефіцієнтами. Знайдіть усі функції θ:Z[x]→Z\theta : \mathbb{Z}[x] \to \mathbb{Z} такі, що для будь-яких многочленів p,q∈Z[x]p, q \in \mathbb{Z}[x] виконано: θ(p+1)=θ(p)+1\theta(p + 1) = \theta(p) + 1; і якщо θ(p)≠0\theta(p) \neq 0, то θ(p)\theta(p) ділить θ(p⋅q)\theta(p \cdot q).
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Відбіркові тести на IMOTST-2018-009

Функції з нерівністю f(x²)-f(y²)≤(f(x)+y)(x-f(y))

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, для яких f(x2)−f(y2)≤(f(x)+y)(x−f(y))f\left(x^{2}\right)-f\left(y^{2}\right) \leq (f(x)+y)(x-f(y)) для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові тести на IMOTST-2018-010

Дільники, замкнені відносно фіксованого зсуву

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких існує натуральне число kk таке, що для кожного додатного дільника dd числа nn число d−kd-k також є (не обов’язково додатним) дільником числа nn.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2018-006

Перетин дотичної до описаного кола з прямою сторони

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник, довжини сторін якого є натуральними числами, попарно взаємно простими. Дотична в точці AA до описаного кола перетинає пряму BCBC в точці DD. Доведіть, що ∣BD∣|BD| не є цілим числом.
10–11 класиНСД та НСК

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.