Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

189 задач
Відбір на міжнародні математичні олімпіади
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-24-25-001

Гра з вибором коефіцієнтів двох квадратних поліномів

Аліна та Богдан грають у гру, у якій будують квадратичні поліноми fAf_A та fBf_B таким чином: вони по черзі (починає Аліна) вибирають деякі коефіцієнти поліномів, Аліна — коефіцієнти полінома fAf_A, а Богдан — коефіцієнти полінома fBf_B, усі коефіцієнти поліномів мають бути додатними. Вибирати можна ще не вибраний коефіцієнт, тобто змінювати вже вибрані не можна. Богдан перемагає в цій грі, якщо справджується одна з таких двох умов: а) поліном fAf_A не має дійсних коренів; б) корені обох поліномів є дійсними, і кожний корінь полінома fBf_B строго більший за кожний корінь полінома fAf_A. Інакше перемагає Аліна. Хто з гравців має виграшну стратегію?
10–11 класиТеорема Вієта
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-24-25-002

Зростаюча послідовність з квадратними приростами сум

Для довільного натурального nn визначимо величину s(n)=1+2+…+ns(n)=1+2+\ldots+n. Строго зростаюча послідовність натуральних чисел (an)(a_n) задовольняє такі умови: a1=1a_1=1, для кожного натурального nn an+1=min⁡{m∣s(m)−s(an) є точним квадратом цілого числа}.a_{n+1}=\min\{m \mid s(m)-s(a_n) \text{ є точним квадратом цілого числа}\}. Знайдіть величину a2024a_{2024}.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-24-25-003

Опуклий п'ятикутник і перетин прямих KP, LQ, MD

Нехай ABCDEABCDE — опуклий п'ятикутник, точка MM — середина сторони ABAB. Відомо, що відрізок ABAB дотикається в точці MM до кола, описаного навколо трикутника CMECME, а точка DD лежить на перетині кіл, описаних навколо трикутників AMEAME та BMCBMC. Прямі ADAD та MEME перетинаються в точці KK, а прямі BDBD та MCMC — у точці LL. Точки PP та QQ на прямій CECE такі, що ∠PDC=∠EDQ=∠ADB.\angle PDC = \angle EDQ = \angle ADB. Доведіть, що прямі KPKP, LQLQ та MDMD перетинаються в одній точці.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-24-25-004

Пари лицарів-друзів за круглим столом і обміни

Задане натуральне число nn. Є 2n2n лицарів, що сидять за круглим столом. Вони складаються з nn пар друзів, кожна пара з яких бажає потиснути руку один одному. Пара може потиснути руки один одному лише, якщо вони сидять поруч за столом. Кожної хвилини два лицарі, що сидять поруч, можуть помінятися місцями. Знайдіть, яку найменшу кількість таких змін місць двох сусідів треба зробити, щоб гарантовано, незалежно від початкової розсадки лицарів, кожна пара лицарів, що є друзями, змогла в якийсь момент потиснути руки один одному. Кожний лицар може входити рівно в одну пару. Потиснути руки вони мають не обов'язково одночасно.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-24-25-005

Вписаний чотирикутник з паралельною хордою і дотик кола

Нехай ABCDABCD — такий вписаний у коло ω\omega чотирикутник, для якого AE=ECAE=EC, де E=AC∩BDE=AC \cap BD. Точка FF вибрана на колі ω\omega таким чином, що AC∥BFAC \parallel BF. Доведіть, що якщо GG — точка, симетрична точці FF відносно вершини AA, то описане коло трикутника ADGADG дотикається до прямої ACAC.
10–11 класиСиметрія
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-24-25-006

Розфарбування ребер повного графа і кольори трикутників

Ребра повного графу на 101101-й вершині пофарбували в рівно kk кольорів таким чином, що в кожен колір пофарбовано принаймні одне ребро. Виявилося, що для кожної трійки попарно різних вершин AA, BB, CC кольори ребер ABAB, BCBC, ACAC або попарно різні, або всі однакові. Чи можливо таке для а) k=11k=11; б) k=12k=12?
10–11 класиЗв’язність
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-24-25-007

Послідовності з натуральними середніми арифметичними і геометричними

Знайдіть усі такі послідовності натуральних чисел (an)(a_n), що для кожної пари натуральних чисел m⩽nm \leqslant n такі середні арифметичні та геометричні відповідних членів послідовності am+am+1+…+ann−m+1,amam+1…ann−m+1\frac{a_m + a_{m+1} + \ldots + a_n}{n-m+1}, \quad \sqrt[n-m+1]{a_m a_{m+1} \ldots a_n} є натуральними числами.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-24-25-008

Степені двійки як значення f(a+b) - f(a) - f(b)

Знайдіть усі підмножини SS множини {20,21,22,…}\{2^0, 2^1, 2^2, \ldots\}, для яких існують такі функції f:N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N}, для яких S={f(a+b)−f(a)−f(b)∣a,b∈N}.S = \{f(a+b) - f(a) - f(b) \mid a, b \in \mathbb{N}\}.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-24-25-009

Найменший розмір підмножини з парою ab + 1 квадрат

Знайдіть найменше натуральне число kk, що має таку властивість: для будь-якої підмножини SS множини {1,2,…,2024}\{1, 2, \ldots, 2024\}, що містить рівно kk елементів, існують такі різні числа a,b∈Sa, b \in S, для яких ab+1ab+1 є квадратом цілого числа.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-24-25-010

Дві точки на стороні трикутника і центр описаного кола

На стороні ACAC трикутника ABCABC обрали дві різні точки PP, QQ такі, що AP⋅AQ=BP⋅BQ=CP⋅CQAP \cdot AQ = BP \cdot BQ = CP \cdot CQ. Доведіть, що описане коло трикутника BPQBPQ проходить через центр описаного кола трикутника ABCABC.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-24-25-011

Нерівність для сум степенів послідовності додатних чисел

З'ясуйте, чи для довільної послідовності додатних чисел (an)(a_n) нерівність 3a1+3a2+…+3an(2a1+2a2+…+2an)2<12024\frac{3^{a_1}+3^{a_2}+\ldots+3^{a_n}}{\left(2^{a_1}+2^{a_2}+\ldots+2^{a_n}\right)^2}<\frac{1}{2024} справджується принаймні для одного натурального числа nn?
10–11 класиЧислові нерівності
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-24-25-012

Натуральні чисельники дробів та стеля суми обернених знаменників

Нехай SS — непорожня скінченна множина, що складається з простих чисел. Нехай 1=b1<b2<b3<…1=b_1<b_2<b_3<\ldots — усі натуральні числа, чиї прості дільники належать до множини SS. Доведіть, що для всіх натуральних nn, окрім скінченної їх кількості, існують такі натуральні числа a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, що справджується рівність: a1b1+a2b2+…+anbn=⌈1b1+1b2+…+1bn⌉.\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+\ldots+\frac{a_n}{b_n}=\left\lceil \frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+\ldots+\frac{1}{b_n} \right\rceil. Тут через ⌈x⌉\lceil x \rceil позначено найменше ціле число, що не менше за xx, тобто ⌈3⌉=3\lceil 3 \rceil = 3, ⌈π⌉=4\lceil \pi \rceil = 4.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-24-25-013

Нескінченна послідовність простих чисел з умовою 2p ± 1

Доведіть, що не існує нескінченної послідовності простих чисел p0,p1,p2,…p_0, p_1, p_2, \ldots, що для довільного натурального kk справджується умова: pk=2pk−1+1p_k = 2p_{k-1}+1 або pk=2pk−1−1p_k = 2p_{k-1}-1.
10–11 класиМала теорема Ферма
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-24-25-014

Бісектриса, висоти та циклічні точки на сторонах трикутника

Бісектриса ALAL, висоти BEBE та CFCF у різносторонньому трикутнику ABCABC утворюють трикутник XYHXYH, де X=AL∩BEX = AL \cap BE, Y=AL∩CFY = AL \cap CF, H=BE∩CFH = BE \cap CF. Нехай точки PP і QQ лежать на сторонах ABAB і ACAC відповідно так, що середина відрізка PQPQ є ортоцентром трикутника XYHXYH. Доведіть, що точки BB, CC, PP і QQ — циклічні.
10–11 класиТочка перетину висот
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-24-25-015

Кількість незамкнених ламаних без самоперетинів у n-кутнику

Нехай n>2n>2 — натуральне число та A1A2…AnA_1A_2\ldots A_n — правильний nn-кутник. Скільки існує незамкнених ламаних Ai1Ai2…AikA_{i_1}A_{i_2}\ldots A_{i_k}, які не мають самоперетинів? Один відрізок так само вважається ламаною. Наприклад, їх 66 для n=3n=3: A1A2A_1A_2, A1A3A_1A_3, A2A3A_2A_3, A1A2A3A_1A_2A_3, A1A3A2A_1A_3A_2 та A2A1A3A_2A_1A_3.
10–11 класиКомбінації
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-24-25-016

Усі функції з рівністю для дійсних x та y

Знайдіть усі функції f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, що для довільних дійсних x,yx, y задовольняють рівність: xf(x+xy)=xf(x)+f(x2)f(y).xf(x+xy) = xf(x) + f(x^2)f(y).
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-23-24-001

Різниця між найбільшою та найменшою частковими сумами

Дано послідовність a1,a2,…,a2023a_1, a_2, \ldots, a_{2023} попарно різних цілих чисел. Для кожного ii від 11 до 20232023 позначимо si=a1+a2+…+ais_i = a_1 + a_2 + \ldots + a_i. Знайдіть найменше значення, якого може набувати різниця між максимумом та мінімумом серед чисел sis_i.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-23-24-002

Точки на сторонах трикутника і сума кутів

Точки DD, EE, FF вибрано на сторонах BCBC, ACAC, ABAB трикутника ABCABC відповідно. Точки KK та LL вибрано по той самий бік відносно прямої FEFE, що й точка AA, так, що точки KK та CC лежать по різні боки відносно прямої ABAB, а точки BB та LL лежать по різні боки відносно прямої ACAC, причому ∠KFE=∠BDE\angle KFE = \angle BDE, ∠LEF=∠FDC\angle LEF = \angle FDC та ∠AKF=∠ABC\angle AKF = \angle ABC, ∠ALE=∠ACB\angle ALE = \angle ACB. Доведіть, що ∠AKB+∠ALC=180∘\angle AKB + \angle ALC = 180^\circ.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-23-24-003

Найменша різниця прогресії з послідовних добутків

Нехай a1, a2, …, an; b1, b2, …, bna_1,\ a_2,\ \ldots,\ a_n;\ b_1,\ b_2,\ \ldots,\ b_n — такі натуральні числа, що наведені n+1n+1 добуток a1a2…an, b1a2…an, b1b2…an, …, b1b2…bna_1a_2\ldots a_n,\ b_1a_2\ldots a_n,\ b_1b_2\ldots a_n,\ \ldots,\ b_1b_2\ldots b_n утворюють у вказаному порядку зростаючу арифметичну прогресію. Знайдіть найменше можливе натуральне число, яке може бути різницею такої прогресії.
10–11 класиНСД та НСК
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-23-24-004

Смужка з числами для квадрата з умовою подільності

Нехай дано натуральне число n⩾2n \geqslant 2. У Петрика є прямокутна смужка завбільшки 1×n21 \times n^2, що складається з n2n^2 одиничних квадратиків, занумерованих зліва направо числами 1,2,…,n21, 2, \ldots, n^2. Петрик хоче розрізати цю смужку на декілька шматочків, що складаються із сусідніх одиничних квадратиків, у такий спосіб, щоб ці шматочки можна було перенести без перегортань та обертань у квадрат n×nn \times n. При цьому в утвореного числового квадрата має справджуватися така властивість: якщо на перетині ii-го рядка та jj-го стовпчика у квадраті записане число ai,ja_{i,j}, то число ai,j−(i+j−1)a_{i,j} - (i+j-1) має ділитися націло на nn. З’ясуйте, на яку найменшу кількість шматочків Петрик може розрізати свою смужку.
10–11 класиШляхи на графах
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-23-24-005

Подільність k²-1 на найбільший спільний дільник n²+1 і m²+1

Нехай nn, mm, kk — такі цілі числа, що числа mk+nn2+1\frac{mk+n}{n^2+1} та nk+mm2+1\frac{nk+m}{m^2+1} є цілими. Доведіть, що число k2−1k^2-1 ділиться на найбільший спільний дільник чисел n2+1n^2+1 та m2+1m^2+1.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-23-24-006

Найменша гарантована невдоволеність ста котів

Господарка втримує 100100 котів та має 100100 пакетів корму, маса кожного пакета — 11 кг. Для кожного із цих котів є своя миска, яка розрахована на певну масу корму (ця маса не обов'язково ціла величина), причому їхня сумарна місткість дорівнює 100100 кг. Коли кіт з мискою, що розрахована на mm кг, отримує MM кг корму (MM може бути більше за mm), то назвемо його рівнем невдоволеності величину ∣m−M∣|m-M|. Яку найменшу сумарну невдоволеність може гарантовано забезпечити господарка, використавши всі пакети, незалежно від місткості мисок її котів, якщо кожному коту вона може дати деяку цілу (можливо, нульову) кількість пакетів корму?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-23-24-007

Максимальна довжина послідовності без нульової суми зі знаками

Визначте максимальну довжину LL послідовності натуральних чисел a1,a2,…,aLa_1, a_2, \ldots, a_L, що задовольняє такі дві властивості: - кожний член послідовності не перевищує 220232^{2023}; - не існує такої підпослідовності ai,ai+1,…,aj−1,aja_i, a_{i+1}, \ldots, a_{j-1}, a_j, де 1⩽i⩽j⩽L1 \leqslant i \leqslant j \leqslant L, для якої можна вибрати знаки si,si+1,…,sj−1,sj∈{−1,+1}s_i, s_{i+1}, \ldots, s_{j-1}, s_j \in \{-1, +1\}, щоб справджувалася рівність siai+si+1ai+1+…+sj−1aj−1+sjaj=0s_i a_i + s_{i+1} a_{i+1} + \ldots + s_{j-1} a_{j-1} + s_j a_j = 0.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-23-24-008

Два кола, хорди-дотичні та коло ABZ до PQ

Нехай кола γ\gamma та ω\omega перетинаються в точках AA та BB і нехай DD — довільна точка на колі γ\gamma. Точки PP та QQ лежать на колі γ\gamma так, що хорди DPDP і DQDQ дотикаються до кола ω\omega в точках XX та YY відповідно. Пряма XYXY перетинає пряму PQPQ в точці ZZ. Доведіть, що описане коло трикутника ABZABZ дотикається до прямої PQPQ.
10–11 класиІнверсія
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-23-24-009

Найбільше C для розфарбування точок кола в k кольорів

Є kk кольорів. Знайдіть найбільше натуральне число CC, що для довільного натурального числа n⩾Cn \geqslant C можна пофарбувати nn точок на колі в kk кольорів так, щоб серед кожних CC послідовних точок усі кольори були попарно різні.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.