Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

314 задач
Італійська математична олімпіада
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-015

Сума шести кубів за модулем 6

Нехай NN — кількість упорядкованих шісток цілих чисел (a,b,c,d,e,f)(a, b, c, d, e, f) таких, що a3+b3+c3+d3+e3+f3=168a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}+e^{3}+f^{3}=168 і −2021202120219<abcdef<2021202120219-202120212021^{9}<a b c d e f<202120212021^{9}, де abcdefabcdef — добуток цих шести цілих чисел. Яке з наведених чисел є остачею від ділення NN на 6? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
10–11 класиПерестановки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-016

Стрибки коника з сумою координат

Коник рухається площиною і з точки з координатами (x,y)(x, y) може стрибнути на власний вибір або в (x+y,y)(x+y, y), або в (x,x+y)(x, x+y). Він вирушив з точки з координатами (n,9)(n, 9), де nn — натуральне число, але не пам'ятає значення nn. Він знає лише, що після деякої кількості ходів опинився в (2021,2050)(2021,2050). Скільки існує можливих значень nn?
10–11 класиРетроспективний алгоритм
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-001

Проєкції у прямокутнику та вписані чотирикутники

Нехай ABCDABCD — прямокутник, а EE — довільна точка, відмінна від CC, на стороні DCDC. Нехай HH — проєкція EE на діагональ ACAC, а KK — проєкція CC на промінь AEAE. a. Доведіть, що KK лежить на колі, описаному навколо прямокутника ABCDABCD, і що чотирикутник CKEHCKEH є циклічним, тобто вписуваним у коло. b. Доведіть, що CKB^+CKH^=90∘\widehat{CKB} + \widehat{CKH} = 90^\circ. c. Доведіть, що K,H,BK, H, B колінеарні тоді й лише тоді, коли ABCDABCD є квадратом.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-003

Дробова послідовність з умовою зупинки

Амбра будує послідовність чисел, починаючи з додатного дійсного числа x0x_{0}, у такий спосіб: для nn-го члена xnx_{n} наступний член дорівнює xn+1={1−1xn}x_{n+1} = \{1 - \frac{1}{x_{n}}\}, де {α}\{\alpha\} позначає дробову частину α\alpha, тобто різницю між α\alpha і найбільшим цілим числом, меншим або рівним α\alpha. Щойно Амбра отримує член, що дорівнює 00, вона перериває послідовність. a. Доведіть, що якщо початкове число x0x_{0} має вигляд pq\frac{p}{q}, де pp і qq — натуральні числа, то рано чи пізно послідовність перерветься. b. Доведіть, що якщо послідовність переривається, то початкове число x0x_{0} мало вигляд pq\frac{p}{q}, де pp і qq — натуральні числа.
10–11 класиРаціональні та ірраціональні числа
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-002

Спіральна сітка зі шляхом за цифрами

Карта скарбу складається з мапи острова (нескінченно протяжного в усіх напрямках), на яку накладено квадратну сітку. Клітинки сітки пронумеровано по спіралі, як на рисунку. Пірати сховали свій скарб, поділивши його на скрині, які закопали в деяких клітинках — тих, «пронумерованих тими nn, що містять у собі вказівки, як до них дістатися з клітинки 1». Цією фразою пірати хочуть сказати таке: записавши число nn у десятковій системі, назвемо a1,…,aka_{1}, \ldots, a_{k} його цифри, прочитані зліва направо; у клітинці nn є скриня з частиною скарбу тоді (і лише тоді), коли до неї можна дістатися, стартувавши з клітинки 1 і зробивши a1a_{1} кроків у певному напрямку (Північ, Південь, Захід або Схід), a2a_{2} кроків у певному напрямку (можливо, тому самому, що й раніше), … і нарешті aka_{k} кроків в одному з 4 напрямків. Наприклад: у клітинці 12 є скриня, бо, стартувавши з 1 і зробивши 1 крок на Північ і 2 кроки на Схід, потрапляємо саме в 12. У клітинці 1, навпаки, немає жодної скрині, бо в якому б напрямку не зробити один крок, стартувавши з 1, потрапимо в клітинку, відмінну від 1. Доведіть, що є лише скінченна кількість клітинок, у яких закопано скриню.
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2020-004

Прямокутники з самоподібним розбиттям

Якщо аркуш A4 розрізати точно навпіл уздовж прямої, паралельної коротшій стороні, утворяться два аркуші, які мають ту саму форму, що й початковий, тобто отримуються з нього поворотом і зменшенням масштабу. Цього року назвемо прямокутний аркуш «сучасним», якщо, розрізавши його на 2020 рівних частин розрізами, паралельними його коротшій стороні, отримаємо 2020 прямокутників, які мають ту саму форму, що й початковий. Якщо коротка сторона сучасного аркуша дорівнює 1, яка довжина іншої сторони? (A) 2020\sqrt{2020} (B) 20203/22020^{3 / 2} (C) 20212\frac{2021}{2} (D) 2020 (E) Жодна з попередніх
10–11 класиГомотерія і подібність
Італійська математична олімпіадаITAMO-2020-005

Почергова послідовність із множенням і додаванням

Альберто і Барбара пишуть числа на дошці. Починає Альберто і пише дійсне число xx. Потім Барбара пише число 11. Далі вони чергуються, і кожним ходом пишуть по одному числу. Альберто своїм ходом множить останнє написане число на x2x^{2} і записує результат. Барбара своїм ходом додає до останнього написаного числа x+1x+1 і записує результат. Вони зупиняються, коли на дошці написано 20202020 чисел. Яке з наведених тверджень завжди істинне? (A) На дошці є принаймні одне від'ємне число (B) Усі числа, написані на дошці, додатні (C) Альберто написав лише додатні числа (D) Альберто написав лише від'ємні числа (E) Барбара написала лише додатні числа
10–11 класиГеометрична прогресія
Італійська математична олімпіадаITAMO-2020-006

Сума чотирьох різних простих чисел менших за 70

Анна, Б'янка, Карла і Діана — чотири жінки різного віку (в роках). Їхній вік — прості числа, сума яких дорівнює 240240. Відомо, що жодній з них не більше 7070 років. Який вік наймолодшої? (A) 4747 (B) 5353 (C) 5757 (D) 6161 (E) 6767
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2020-007

Перетин сторони квадрата прямою через коло

Лучія, накресливши квадрат ABCDABCD з одиничною стороною, проводить коло з центром CC і радіусом, що дорівнює стороні квадрата. Далі позначає через XX перетин діагоналі ACAC з колом, а через YY — перетин прямої DXDX зі стороною ABAB. Чому дорівнює довжина відрізка AYAY? (A) 2+16\frac{\sqrt{2}+1}{6} (B) 2−1\sqrt{2}-1 (C) 23\frac{\sqrt{2}}{3} (D) 3+28\frac{3+\sqrt{2}}{8} (E) 22\frac{\sqrt{2}}{2}
10–11 класиОзнаки подібності
Італійська математична олімпіадаITAMO-2020-008

Вибір трійок без сусідів і протилежних на колі

Навколо круглого столу сидять на однаковій відстані одна від одної 32 особи. Скількома способами можна вибрати 3 з них так, щоб попарно вони не були ні сусідніми, ні діаметрально протилежними? (A) 2246 (B) 2480 (C) 3616 (D) 24128 (E) Жодна з попередніх
10–11 класиРозбиття на випадки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2020-009

Плавці із синхронним фінішем

Дзанобі й Вероніка йдуть разом у басейн і одночасно починають плавати туди-сюди зі сталими, але різними швидкостями, кожен на своїй доріжці, стартуючи від одного й того самого борту басейну. Вероніка помічає, що в момент, коли вона завершує 28 доріжок (тобто закінчує пропливати довжину басейну 28-й раз), Дзанобі опиняється поруч із нею. Щойно Вероніка завершує 70 доріжок, вона перестає плисти й виходить з води; тієї самої миті Дзанобі також допливає до борту басейну, перестає плисти й виходить з води поруч із Веронікою. Дзанобі, який повільніший за Вероніку, проплив mm доріжок; скільки різних значень може набувати mm? (A) 1 (B) 3 (C) 6 (D) 35 (E) 69
10–11 класиПарність та непарність
Італійська математична олімпіадаITAMO-2020-010

Прямокутник з вписаним чотирикутником

Нехай ABCDABCD — прямокутник, а M,NM, N — внутрішні точки відповідно сторін ABAB та BCBC. Припустимо, що MC=CDMC = CD, MD=MNMD = MN і що точки C,D,M,NC, D, M, N належать одному колу. Чому дорівнює відношення AB/BCAB / BC? (A) 1+32\frac{1+\sqrt{3}}{2} (B) 2\sqrt{2} (C) 32\frac{3}{2} (D) 3\sqrt{3} (E) 22
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Італійська математична олімпіадаITAMO-2020-011

Кількість цифр у послідовних числах

Аїша пише на аркуші всі числа від 11 до 20202020. Чому дорівнює різниця між кількістю цифр «1» і кількістю цифр «0», які вона написала? (A) 7878 (B) 10101010 (C) 10891089 (D) 20202020 (E) 50055005
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2020-012

Зважена сума зі зсунутими кубічними коефіцієнтами

Дійсні числа x1,x2,x3,…,x30x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{30} задовольняють такі умови: {203x1+213x2+223x3+⋯+493x30=13213x1+223x2+233x3+⋯+503x30=1223x1+233x2+243x3+⋯+513x30=19\left\{\begin{array}{l} 20^{3} x_{1}+21^{3} x_{2}+22^{3} x_{3}+\cdots+49^{3} x_{30}=13 \\ 21^{3} x_{1}+22^{3} x_{2}+23^{3} x_{3}+\cdots+50^{3} x_{30}=1 \\ 22^{3} x_{1}+23^{3} x_{2}+24^{3} x_{3}+\cdots+51^{3} x_{30}=19 \end{array}\right. Чому дорівнює 21x1+22x2+23x3+⋯+50x3021 x_{1}+22 x_{2}+23 x_{3}+\cdots+50 x_{30}? (A) Є декілька допустимих значень (B) Система не має розв'язку (C) 1065 (D) 7 (E) 5
10–11 класиЛінійні рівняння та системи
Італійська математична олімпіадаITAMO-2020-013

Купки монет з різними висотами

Аньєзе, Беатріче, Клаудіо і Даріо грають із 53 купками монет. Будь-які дві купки мають різну кількість монет. Кожного ходу гравець вибирає одну купку і забирає з неї одну монету. Програє той, хто, забравши монету з купки, зробить висоту цієї купки рівною висоті іншої купки, що є на столі. Купка може мати 0 монет, і дві купки з 0 монет вважаються рівними. Починає Аньєзе, потім по порядку грають Беатріче, Клаудіо і Даріо, після чого знову хід Аньєзе, і далі завжди в цьому порядку. Якщо на початку гри загалом є 2020 монет і всі грають якнайкраще, хто програє? (A) Аньєзе (B) Беатріче (C) Клаудіо (D) Даріо (E) Неможливо визначити за цими даними
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2020-014

Трикутник з бісектрисою і дотичним колом

Нехай ABCABC — трикутник, а DD — основа бісектриси, проведеної з вершини AA. Нехай ω\omega — коло, що дотикається до прямої ACAC в точці AA і проходить через DD. Нехай PP — друга точка перетину кола ω\omega з прямою BCBC. Відомо, що AC=54AC=54, AD=63AD=63 і CP=108CP=108. Знайдіть довжину відрізка ABAB. (A) 72 (B) 1472\frac{147}{2} (C) 98 (D) 99 (E) 102
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Італійська математична олімпіадаITAMO-2020-015

Степінь п'ятірки, що ділить зважену суму коефіцієнтів

Дано многочлен (x2+5x−19)50=a0+a1x+a2x2+⋯+a100x100,\left(x^{2}+5 x-19\right)^{50}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{100} x^{100}, розглянемо величину M=a0−a1+4a2−9a3+16a4−81a5+64a6−729a7+⋯+298a98−398a99+2100a100M=a_{0}-a_{1}+4 a_{2}-9 a_{3}+16 a_{4}-81 a_{5}+64 a_{6}-729 a_{7}+\cdots+2^{98} a_{98}-3^{98} a_{99}+2^{100} a_{100} в якій коефіцієнт при a2ka_{2 k} дорівнює 22k2^{2 k}, а коефіцієнт при a2k+1a_{2 k+1} дорівнює −32k-3^{2 k}. Який найбільший степінь числа 5 ділить MM? (A) 505^{0} (B) 515^{1} (C) 555^{5} (D) 5505^{50} (E) 51005^{100}
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2020-016

Многочлени, що задовольняють квадратичне функціональне рівняння

Скільки існує многочленів p(x)p(x) з дійсними коефіцієнтами, степінь яких від 1 до 2020 включно, для яких існує дійсне число α\alpha таке, що рівність p(x)2=p(x2)+αp(x)p(x)^2 = p\left(x^2\right) + \alpha p(x) виконується для кожного дійсного числа xx?
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2020-001

Дільники повних квадратів

a. Припустімо, що n=k2n = k^{2} є повним квадратом. Доведіть, що кількість додатних дільників числа nn, строго менших від kk, дорівнює кількості дільників числа nn, строго більших від kk. b. Припустімо, що n=k2n = k^{2} є повним квадратом. Доведіть, що nn має щонайбільше 2k−12k-1 додатних дільників. c. Знайдіть усі натуральні числа kk такі, що k2k^{2} має рівно 2k−12k-1 додатних дільників.
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Італійська математична олімпіадаITAMO-2020-002

Розфарбування ребер дводольного графа

На величезному аркуші в клітинку Марко розглядає прямокутник довжиною 20202020 клітинок і висотою 22. Далі він хоче сполучити 202022020^{2} відрізками кожен із 20202020 центрів клітинок нижнього ряду прямокутника з кожним із центрів клітинок верхнього ряду. Крім того, він хоче, щоб, якщо два з цих відрізків перетинаються (можливо, навіть лише в кінцевій точці), вони були проведені ручками різного кольору. a. Доведіть, що неможливо задовольнити вимоги Марка, якщо є лише ручки 40384038 різних кольорів. b. Доведіть, що натомість можна провести відрізки відповідно до вимог Марка, використовуючи 40394039 кольорів.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2020-003

Симетрична точка в трикутнику з перетинами кіл

Нехай ABCABC — різносторонній трикутник, у якому BC>CA>ABBC > CA > AB. Нехай ω\omega і γ\gamma — кола, що проходять через AA з центрами відповідно BB і CC. Вони перетинають відрізок BCBC у точках MM і NN відповідно. Нехай ZZ — точка, симетрична AA відносно середини відрізка MNMN. a. Нехай PP — точка перетину прямих ZMZM і ACAC. Показати, що трикутник CPMCPM рівнобедрений. b. Нехай XX — точка перетину прямої ZMZM з колом ω\omega, відмінна від MM. Показати, що прямі BXBX і ACAC паралельні. c. Нехай YY — точка перетину прямої ZNZN з колом γ\gamma, відмінна від NN. Показати, що точки A,XA, X і YY лежать на одній прямій.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2019-007

Рівнобедрений трикутник з колом на бісектрисі

Луїджі накреслив у своєму зошиті рівнобедрений трикутник ABCABC, у якому рівні сторони, що виходять з AA, і, провівши внутрішню бісектрису кута ABC^\widehat{ABC}, яка перетинає сторону ACAC в точці PP, помітив, що коло, яке проходить через B,P,CB, P, C, проходить також через середину сторони ABAB. Тоді він замислився над тим, чому дорівнює кут BAC^\widehat{BAC}. Яка відповідь правильна? (A) 30∘30^\circ (B) 45∘45^\circ (C) 60∘60^\circ (D) 90∘90^\circ (E) 105∘105^\circ
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Італійська математична олімпіадаITAMO-2019-001

Прості числа p, q та вирази p+q² і p²+qⁿ

Нехай p,qp, q — прості числа. Доведіть, що якщо p+q2p+q^{2} є повним квадратом, то число p2+qnp^{2}+q^{n} не є повним квадратом для жодного натурального числа nn.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2019-008

Числа з 4 дільниками і сумою дільників 42

Алессандра записує в зошит (Луїджі) всі натуральні числа nn, які мають обидві такі властивості: nn має рівно 4 додатні дільники (включно з 1 і самим nn), а сума додатних дільників числа nn дорівнює 42. Чому дорівнює сума всіх чисел, записаних Алессандрою? (A) 0 (B) 12 (C) 20 (D) 26 (E) 42
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Італійська математична олімпіадаITAMO-2019-002

Вільна від сум підмножина послідовних чисел

Нехай nn — ціле число, більше ніж 22. Потрібно пофарбувати в червоний колір рівно n+1n+1 з чисел 1,2,⋯ ,2n−1,2n1, 2, \cdots, 2n-1, 2n так, щоб не існувало трьох різних чисел x,y,zx, y, z, пофарбованих у червоний колір, які задовольняють рівність x+y=zx+y=z. Доведіть, що існує єдиний спосіб вибрати числа для фарбування в червоний колір, який задовольняє дану умову.
10–11 класиМетод математичної індукції

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.