Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

314 задач
Італійська математична олімпіада
Італійська математична олімпіадаITAMO-2017-010

Многочлен з нулями у простих числах та їх обернених

Многочлен P(x)P(x) степеня 42 набуває значення 0 у перших 21 непарних простих числах та в обернених до них числах (нагадаємо, що оберненим до додатного цілого nn є раціональне число 1/n1 / n). Чому дорівнює відношення P(2)/P(1/2)P(2) / P(1 / 2)? (A) 0 (B) 1 (C) 2212^{21} (D) 3213^{21} (E) 4214^{21}
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2017-020

Непарні прості дільники чисел виду m(m+3)

Доведіть, що існує нескінченно багато натуральних чисел mm таких, що кількість різних непарних простих дільників числа m(m+3)m(m+3) кратна 3.
10–11 класиПрості числа (базові властивості)
Італійська математична олімпіадаITAMO-2017-011

Вибір трьох попарно несуміжних будинків

Абеларда, Брунільда та Каллісто, троє давніх знайомих, хочуть купити по одному будинку з 10 будиночків у ряд на головній вулиці міста. Оскільки вони не терплять одне одного, вони будь-що хочуть уникнути сусідства: тому вони хочуть, щоб будинки, які вони придбають, були попарно несуміжними. Скількома способами вони можуть купити будинки так, щоб задовольнити цю умову? (A) 56 (B) 120 (C) 336 (D) 480 (E) 504
10–11 класиБієкції
Італійська математична олімпіадаITAMO-2017-012

Прямокутна трапеція з вписаним колом

Прямокутна трапеція з більшою основою ABAB і меншою основою CDCD описана навколо кола радіуса 1010. Відомо, що бічна сторона BCBC дорівнює 2424. Яка відстань між серединами сторін BCBC і ADAD? (A) 21 (B) 13211\frac{13}{2} \sqrt{11} (C) 33511\frac{33}{5} \sqrt{11} (D) 22 (E) 23
10–11 класиПаралельні прямі і теорема Фалеса
Італійська математична олімпіадаITAMO-2017-013

Максимальний НСД послідовності із заданою сумою

Лука пише на дошці всі можливі послідовності, складені з 2017 різних натуральних чисел, сума яких дорівнює 2016⋅2017⋅20182016 \cdot 2017 \cdot 2018. Після цього він замінює кожну з таких послідовностей найбільшим спільним дільником її елементів. Коли цю довгу операцію завершено, чому дорівнює найбільше з чисел, написаних на дошці? (A) 2 (B) 2⋅20162 \cdot 2016 (C) 2⋅20172 \cdot 2017 (D) 2⋅20182 \cdot 2018 (E) 2016⋅20182016 \cdot 2018
10–11 класиНСД та НСК
Італійська математична олімпіадаITAMO-2017-014

Дійсні розв'язки симетричної кубічної системи

Скільки існує пар дійсних чисел (x,y)(x, y), які задовольняють обидва рівняння x+y2=y3x + y^{2} = y^{3} і y+x2=x3y + x^{2} = x^{3}? (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 9 (E) Нескінченно багато
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Італійська математична олімпіадаITAMO-2017-015

Перетин дотичних до кола в трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник і нехай DD — основа бісектриси, що виходить з AA. Нехай ω\omega — коло через AA, дотичне до сторони BCBC в DD, а E,FE, F — перетини кола ω\omega зі сторонами AB,ACAB, AC відповідно. Дотичні до кола ω\omega в EE і FF перетинаються в PP. Відомо, що PE=3PE=3 і що радіус кола ω\omega дорівнює 44, чому дорівнює довжина відрізка PDPD? (A) 34\frac{3}{4} (B) 11 (C) 1+22\frac{1+\sqrt{2}}{2} (D) 2\sqrt{2} (E) Даних недостатньо, щоб його визначити
10–11 класиДотична кола
Італійська математична олімпіадаITAMO-2017-016

Ймовірність отримати число 8 після зміни номерів кульок

Урна містить 8 кульок, на яких написані числа від 1 до 8. Федеріка витягає дві кульки поспіль, стирає число, написане на першій, і замінює його подвоєним, стирає число на другій кульці й замінює його помноженим на 4. Потім вона повертає обидві кульки в урну (наприклад, якщо Федеріка витягла кульки 3 і 7 саме в такому порядку, то вона поверне в урну дві кульки з числами 6 і 28). Нарешті вона знову витягає одну кульку: яка ймовірність того, що витягнута кулька матиме число 8? (A) 18\frac{1}{8} (B) 17\frac{1}{7} (C) 744\frac{7}{44} (D) 956\frac{9}{56} (E) 16\frac{1}{6}
10–11 класиРозбиття на випадки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2017-017

Початкова цифра степенів двійки та п'ятірки

Нехай nn — натуральне число таке, що десятковий запис числа 2n2^{n} починається з цифри 7 (тобто найлівіша відмінна від нуля цифра — це 7). З якої цифри починається десятковий запис числа 5n5^{n}? (A) 1 (B) 2 (C) 5 (D) 7 (E) Залежить від nn
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2017-018

Подільність шестицифрового числа

Багатий Крез купує 88 однакових ваз. Ціна кожної з них, виражена в драхмах, — ціле число (однакове для всіх 88 ваз). Відомо, що Крез платить загалом a1211ba1211b драхм, де a,ba, b — цифри, які треба визначити (вони можуть бути як різними, так і однаковими). Скільки драхм коштує одна ваза?
10–11 класиОзнаки подільності на 2, 3, …
Італійська математична олімпіадаITAMO-2017-003

Нескінченні трійки із сумою квадратів — повним квадратом

a. Доведіть, що існує нескінченно багато трійок (x,y,z)(x, y, z) натуральних чисел таких, що x2+y2+z2x^{2}+y^{2}+z^{2} є повним квадратом. b. Доведіть, що існує нескінченно багато трійок (x,y,z)(x, y, z) натуральних чисел таких, що x2+y2+z2x^{2}+y^{2}+z^{2} є повним квадратом і що найбільший спільний дільник трьох чисел (x,y,z)(x, y, z) дорівнює 1.
10–11 класиПіфагорові трійки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2017-004

Рівнобедрений трикутник і паралелограм у колі

Дано коло ω\omega з діаметром ABA B, і PP — внутрішня точка відрізка ABA B, нехай MM — середина відрізка PBP B. Нехай r,sr, s — дві паралельні прямі, що проходять відповідно через M,PM, P і не збігаються з прямою ABA B та не перпендикулярні до неї. Нехай далі HH — ортогональна проєкція AA на пряму ss, а KK — точка перетину (відмінна від AA) кола ω\omega з прямою AHA H. Нехай нарешті X,YX, Y — перетини прямої rr з колом ω\omega, де XX лежить з протилежного від HH боку відносно прямої ABA B. a. Доведіть, що трикутник HYKH Y K рівнобедрений. b. Доведіть, що BXHYB X H Y — паралелограм.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Італійська математична олімпіадаITAMO-2017-005

Числа на трикутниках зі спільними сторонами

Рівносторонній трикутник поділено на 9 маленьких трикутників, як на рисунку, і на кожному маленькому трикутнику спочатку написано число 0. Марко, щоб згаяти час, грає в таку гру: кожним ходом він вибирає 2 маленькі трикутники зі спільною стороною та додає 1 до обох чисел, написаних на цих трикутниках, або віднімає від них одиницю (мається на увазі, що операція, виконана на обох трикутниках, однакова). Через деякий час він помічає, що числа, написані на 9 маленьких трикутниках, у деякому порядку дорівнюють n,n+1,…,n+8n, n+1, \ldots, n+8, де nn — невід'ємне ціле число. Доведіть, що nn може дорівнювати лише 0 або 2. Зауваження. Випадки n=0n=0 і n=2n=2 справді можуть траплятися, але доводити це твердження не вимагається.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2016-002

Мінімальна кількість розрахунків між друзями

П'ятеро друзів, Ауреліо, Енніо, Фламінія, Лючія і Реголо, повечеряли в ресторані. Рахунок становить 180 євро, і його сплачують Лючія, Енніо і Реголо: перша платить 90 євро, другий — 57 євро, а третій — 33 євро. Яка найменша кількість транзакцій виду «Такий-то дає nn євро Такому-то», які треба здійснити, щоб зрештою кожен із п'ятьох сплатив однакову суму? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2016-003

Цифра одиниць з умовами парності та подільності

Стародавній текст стверджує, що Мафусаїл прожив 150 років, де символ ∗\ast замінює цифру одиниць, яку вчені не можуть прочитати. На щастя, ми маємо ще три рукописи про життя Мафусаїла; перший стверджує, що він прожив парну кількість років, другий — що він прожив кількість років, кратну 3, третій — що він прожив кількість років, кратну 5. Знаючи, що рівно один із цих трьох рукописів містить хибну інформацію, скільки різних цифр може ховатися за символом ∗\ast? (A) Жодна (B) Одна (C) Дві (D) Три (E) Чотири
10–11 класиОзнаки подільності на 2, 3, …
Італійська математична олімпіадаITAMO-2016-004

Система з цілими та дробовими частинами

Для дійсного числа xx символ ⌊x⌋\lfloor x\rfloor позначає його цілу частину (тобто найбільше ціле число, менше або рівне xx), а {x}\{x\} — його дробову частину (тобто x−⌊x⌋x-\lfloor x\rfloor). Нехай xx, yy, zz — три додатні дійсні числа, які задовольняють таку систему: {3⌊x⌋−{y}+{z}=20,33⌊y⌋+5⌊z⌋−{x}=15,1{y}+{z}=0,9\left\{\begin{array}{l} 3\lfloor x\rfloor-\{y\}+\{z\}=20,3 \\ 3\lfloor y\rfloor+5\lfloor z\rfloor-\{x\}=15,1 \\ \{y\}+\{z\}=0,9 \end{array}\right. Чому дорівнює x+y+zx+y+z? (A) 10,8 (B) 11,1 (C) 11,6 (D) 12,8 (E) 13
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Італійська математична олімпіадаITAMO-2016-005

Розфарбування граней куба з різними протилежними гранями

Чечилія має гральний кубик із шістьма гранями (пронумерованими від 1 до 6) і 4 кольори в розпорядженні. Скількома способами вона може розфарбувати шість граней кубика, використавши загалом принаймні три різні кольори і так, щоб протилежні грані були різних кольорів? (A) 43⋅334^{3} \cdot 3^{3} (B) 36−263^{6}-2^{6} (C) 26⋅322^{6} \cdot 3^{2} (D) 24⋅3⋅5⋅72^{4} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 (E) Жодна з попередніх
10–11 класиПравила суму та добутку
Італійська математична олімпіадаITAMO-2016-006

Подільність рекурентної послідовності на великий степінь

Нехай kk — натуральне число. Покладемо a1=1a_{1}=1 і, для кожного n≥1n \geq 1, an+1=k(a1+⋯+an)+1a_{n+1}=k\left(a_{1}+\cdots+a_{n}\right)+1 (отже, наприклад, a2=ka1+1a_{2}=k a_{1}+1 і a3=k(a1+a2)+1a_{3}=k\left(a_{1}+a_{2}\right)+1). Яке найменше значення kk таке, що a2016a_{2016} кратне 34031⋅740273^{4031} \cdot 7^{4027}? (A) 1271 (B) 1322 (C) 1331 (D) 1702 (E) 2048
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Італійська математична олімпіадаITAMO-2016-007

Відстань від основи висоти до середини медіани

Дано трикутник ABCABC зі сторонами AB=13AB = 13, BC=14BC = 14 і AC=15AC = 15, нехай HH — основа висоти, проведеної до сторони BCBC, MM — середина сторони BCBC, а NN — середина відрізка AMAM. Чому дорівнює довжина відрізка HNHN? (A) 2+232 + 2\sqrt{3} (B) 66 (C) 37\sqrt{37} (D) 4+74 + \sqrt{7} (E) 42\sqrt{42}
10–11 класиКути прямокутного трикутника
Італійська математична олімпіадаITAMO-2016-008

Числа Фібоначчі з фіксованою кількістю цифр

Послідовність чисел Фібоначчі F1,F2,…,Fn,…F_{1}, F_{2}, \ldots, F_{n}, \ldots така, що F1=F2=1F_{1}=F_{2}=1 і що n-й член ( n≥3n \geq 3) дорівнює сумі двох попередніх (отже перші члени послідовності — F1=1,F2=1,F3=2=1+1,F4=3=2+1,F5=5=3+2F_{1}=1, F_{2}=1, F_{3}=2=1+1, F_{4}=3=2+1, F_{5}=5=3+2). Скільки існує чисел Фібоначчі, які мають рівно 2016 цифр у своєму десятковому записі? (A) Щонайменше 2 і щонайбільше 3 (B) Щонайменше 4 і щонайбільше 5 (D) Щонайменше 8 і щонайбільше 9 (E) 10 або більше (C) Щонайменше 6 і щонайбільше 7
10–11 класиЧисла Фібоначі
Італійська математична олімпіадаITAMO-2016-009

Випадкове блукання з поглинальною межею

Альберто і Барбара грають у настільний футбол. Перед початком вони домовляються, що партія закінчиться, щойно один із них заб'є на 3 голи більше за іншого. Відомо, що для кожної розіграної кульки і Альберто, і Барбара мають 50%50\% імовірності забити, яка ймовірність того, що партія не закінчиться раніше двадцять першого гола? (A) 39218\frac{3^{9}}{2^{18}} (B) 310220\frac{3^{10}}{2^{20}} (C) 320240\frac{3^{20}}{2^{40}} (D) 13⋅17⋅19⋅31218\frac{13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 31}{2^{18}} (E) 3⋅7⋅13⋅17⋅19218\frac{3 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19}{2^{18}}
10–11 класиРекурентний підрахунок
Італійська математична олімпіадаITAMO-2016-010

Вкладені радикали з цифровими параметрами

Нехай nn — найменше 4-цифрове натуральне число, не менше за 2016, яке має таку властивість: існує натуральне число SS таке, що S=a+b+c+d+SS=\sqrt{a+\sqrt{b+\sqrt{c+\sqrt{d+S}}}} де a,b,c,da, b, c, d — відповідно цифра тисяч, сотень, десятків та одиниць числа nn. Чому дорівнює nn?
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2016-001

Послідовність кількості дільників і повні квадрати

Нехай a1,a2,…,an,…a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, \ldots — послідовність натуральних чисел така, що ai+1a_{i+1} — кількість додатних дільників числа aia_{i} для кожного i≥1i \geq 1. Припустимо, що a2≠2a_{2} \neq 2. Доведіть, що існує індекс mm такий, що ama_{m} є повним квадратом.
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Італійська математична олімпіадаITAMO-2015-001

Об'єм паралелепіпеда, розбитого трьома площинами

Нехай дано прямокутний паралелепіпед ABCDA′B′C′D′ABCD A'B'C'D', де ABCDABCD — нижня грань з літерами, позначеними за годинниковою стрілкою, і A,B,CA, B, C і DD містяться під A′,B′,C′A', B', C' і D′D' відповідно. Паралелепіпед поділено на вісім частин трьома попарно ортогональними площинами, паралельними граням паралелепіпеда. Для кожної вершини PP паралелепіпеда позначимо через VPV_P об'єм частини паралелепіпеда, що містить PP. Відомо, що VA=40V_A=40, VC=300V_C=300, VB′=360V_{B'}=360 і VC′=90V_{C'}=90. Чому дорівнює об'єм паралелепіпеда ABCDA′B′C′D′ABCD A'B'C'D'?
10–11 класиВідношення площ трикутників
Італійська математична олімпіадаITAMO-2015-002

Трикутник з бісектрисою та точками на трисектрисі

Нехай ABCABC — трикутник, KK — основа бісектриси, проведеної до сторони BCBC, а JJ — основа трисектриси, проведеної до сторони BCBC, ближчої до сторони ACAC (тобто JJ — точка на стороні BCBC така, що 3⋅∠CAJ=∠CAB3 \cdot \angle CAJ = \angle CAB). Нехай далі C′C' і B′B' — дві точки на прямій AJAJ, з того боку від AA, де лежить JJ, такі, що AC′=ACAC' = AC і AB=AB′AB = AB'. Доведіть, що чотирикутник ABB′CABB'C можна вписати в коло тоді й лише тоді, коли прямі C′KC'K і B′BB'B паралельні.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.