Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

314 задач
Італійська математична олімпіада
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-025

Мінімальна сума для двох точних кубів

Числа a,ba, b — натуральні. Яке найменше значення a+ba+b, за якого 21ab221 a b^{2} і 15ab15 a b обидва є точними кубами? (A) 160 (B) 260 (C) 360 (D) 460 (E) 560.
10–11 класиОсновна теорема арифметики
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-026

Взаємно прості пари з фіксованим добутком

Скільки існує пар натуральних чисел (m,n)(m, n) таких, що дріб mn\frac{m}{n} є нескоротним і строго меншим від 1, а добуток mnmn дорівнює 1⋅2⋅3⋅…⋅24⋅251 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 24 \cdot 25 (тобто добутку перших 25 натуральних чисел)? (A) 272^{7} (B) 28−12^{8}-1 (C) 282^{8} (D) 29−12^{9}-1 (E) 292^{9}.
10–11 класиОсновна теорема арифметики
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-027

Площа рівнобічної трапеції за діагоналями

У рівнобічній трапеції меншу основу з точки перетину діагоналей видно під кутом 150∘150^{\circ}, а кожна діагональ має довжину 6 см6~\text{см}. Яка площа трапеції? (A) 9 см29~\text{см}^{2} (B) 16 см216~\text{см}^{2} (C) 24 см224~\text{см}^{2} (D) даних недостатньо (E) жодна з попередніх.
10–11 класиПлоща трикутника
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-028

Підрахунок слів із забороненими парами

Щоб увійти до замку Буріана, треба використати ключове слово, яке складається принаймні з 6 символів; крім того, символ ніколи не може повторюватися два або більше разів поспіль, а пара послідовних символів не може з'являтися в іншому місці ключового слова. На клавіатурі працюють уже лише літери EE, NN і VV: скільки різних ключових слів можна спробувати? (A) 6 (B) 18 (C) 626^{2} (D) 262^{6} (E) нескінченно багато.
10–11 класиРозбиття на випадки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-029

Рівні кути видимості з перехрестя

Три особи A,B,CA, B, C перебувають поблизу перехрестя двох перпендикулярних доріг. AA перебуває точно на перехресті, тоді як BB і CC перебувають на двох різних дорогах. На полі поблизу перехрестя (всередині прямого кута CA^BC \widehat{A} B) є рекламний щит, який тримається на двох стовпах, вбитих у землю в точках DD і EE, відстань між якими становить рівно один метр. A,BA, B і CC всі бачать лицьовий бік щита. Відомо, що кути DA^E,DB^ED \widehat{A} E, D \widehat{B} E і DC^ED \widehat{C} E мають величину по 30 градусів. Яка відстань (по прямій) між BB і CC? (A) 32 м\frac{3}{2} \text{ м} (B) 1+52 м\frac{1+\sqrt{5}}{2} \text{ м} (C) 3 м\sqrt{3} \text{ м} (D) 2 м2 \text{ м} (E) Неможливо визначити.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-031

Подільність добутку різниць квадратів

Ельф живе у світі фей. Одного дня він вибирає 12 пар додатних чисел: числа першої пари — непарні, числа другої дають остачу 1 при діленні на 3, числа третьої дають остачу 1 при діленні на 4, і так далі аж до дванадцятої пари. Потім він обчислює різницю квадратів чисел кожної пари і записує на дошці добуток усіх отриманих різниць. Починаючи з наступного ранку, він ділить число на дошці на 12 і, якщо результат — ціле число, записує цей результат замість числа, що було на дошці; якщо ж результат не цілий, він усе стирає і перебирається у світ людей робити капості. Протягом скількох днів (не враховуючи початкового дня, коли ельф вибирає числа) ми точно не матимемо проблем у нашому світі? (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 8 (E) 12.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-030

Розфарбування дошки літерами з умовою суміжності

Шахову дошку 88 на 88 заповнюють літерами AA, BB, CC, DD так, що дві клітинки зі спільною стороною або спільною вершиною містять різні літери, і так, що літери AA і літери BB мають таку властивість: щоразу, коли AA або BB має певну літеру XX, сусідню по горизонталі чи вертикалі (XX може бути AA, BB, CC або DD), то з протилежного боку є інша XX (хіба що там край дошки). Скількома способами можна розставити такі літери на дошці? (A) 136 (B) 144 (C) 168 (D) 328 (E) 360.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-033

Котіння монети навколо трьох дотичних монет

Марія має три червоні монети й одну синю, всі однакового радіуса та з гумовим краєм. Вона кладе на стіл три червоні монети у вершинах рівностороннього трикутника так, щоб вони попарно дотикалися, потім кладе на стіл і синю так, щоб вона дотикалася до однієї з червоних монет. Тепер, тримаючи червоні монети нерухомо, вона котить синю так, щоб та залишалася весь час прилеглою щонайменше до однієї з червоних монет і гумові краї не ковзали. Після повного обходу навколо групи з трьох червоних монет синя монета повертається у вихідну точку; скільки обертів вона зробила навколо себе? (A) 3 (B) 1 (C) π\pi (D) 3π4\frac{3 \pi}{4} (E) 92\frac{9}{2}.
10–11 класиКола, що дотикаються
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-032

Ділення навпіл різниці квадратів непарних чисел

Ельф вибирає два непарні числа x,yx, y такі, що 0<y<x<20120 < y < x < 2012, обчислює x2−y2x^{2} - y^{2} і записує результат на аркуш. Щоранку (починаючи з наступного дня) він прокидається, читає число, записане на аркуші, і, якщо це число парне, замінює його на його половину й іде пожартувати з когось. У день, коли він вперше читає непарне число, він зникає, повертаючись у світ фей. Скільки жартів щонайбільше зробить ельф? (A) 11 (B) 12 (C) 14 (D) 21 (E) 22.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-034

Найбільша проста різниця з добутком-квадратом

Різниця двох натуральних чисел aa і bb — просте число pp, а їхній добуток — точний квадрат, не більший за 1000010000. Яке найбільше значення може набувати pp?
10–11 класиНСД та НСК
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-035

Площа області найближчих до вершини точок

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а HH — основа висоти, проведеної з вершини AA. Кожну внутрішню точку PP трикутника фарбуємо так: у червоний колір, якщо найближчою до PP вершиною є AA; у зелений, якщо найближчою до PP вершиною є BB; у синій, якщо найближчою до PP вершиною є CC. Відомо, що AH=35AH=35, BH=21BH=21 і CH=15CH=15. Чому дорівнює площа фігури, утвореної червоними точками?
10–11 класиТочка перетину серединних перпенд…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-036

Кубічні многочлени із симетричними значеннями

Нехай p(x)p(x) і q(x)q(x) — два різні многочлени степеня не вище за 33, з цілими коефіцієнтами і такі, що p(1)=q(1),p(2)=q(2),p(3)=q(3),p(−1)=−q(−1),p(−2)=−q(−2),p(−3)=−q(−3).\begin{gathered} p(1)=q(1), \quad p(2)=q(2), \quad p(3)=q(3), \\ p(-1)=-q(-1), \quad p(-2)=-q(-2), \quad p(-3)=-q(-3) . \end{gathered} Яке найменше значення може набувати [p(0)]2+[q(0)]2[p(0)]^{2}+[q(0)]^{2}?
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-005

Аналіз стратегії подвоєння в рулетці

Мартіно думає, що відкрив метод, щоб вигравати в рулетку, або принаймні щоб не програвати забагато грошей. Він завжди ставить на червоне. Починає зі ставки 1 євро; щоразу, коли програє, подвоює попередню ставку, а щоразу, коли виграє, у наступній ставці ставить 1 євро. Одного дня він має при собі 31 євро і йде грати, вирішивши, що піде геть, щойно або програє 5 разів поспіль, або виграє 5 разів поспіль, або ж залишиться без грошей раніше, ніж станеться одна з цих двох можливостей. a. Якою буде найменша кількість ігор, яку він муситиме зробити, щоб закінчити гру з 31 євро, якщо він виходить із 5 поразками? b. Якою буде найменша кількість ігор, яку він муситиме зробити, щоб закінчити гру з 31 євро, якщо він виходить із 5 перемогами? c. Якщо він виходить із 5 перемогами, яким щонайменше буде його підсумковий капітал?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-007

Повторене число і подільність на 9 та 11

Нехай nn — довільне натуральне число, назвемо циклостилатом числа nn число, яке дістаємо, записавши поспіль 2012 копій числа nn (у десятковій системі). Наприклад, циклостилатом числа 314 є 314314314…314314314314 \ldots 314, де запис «314» повторюється 2012 разів. a) Знайдіть усі натуральні числа mm такі, що циклостилат числа mm кратний 9. b) Знайдіть усі натуральні числа mm такі, що циклостилат числа mm кратний 11.
10–11 класиОзнаки подільності на 2, 3, …
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-006

Рекурентний дефіцит сну

Зазвичай Давіде потрібно спати щонайменше 8 годин за ніч. Якщо однієї ночі він спить на kk годин менше, ніж йому потрібно, то виявляється, що в кожну з kk наступних ночей йому потрібно на kk годин сну більше. Щоночі він усе одно спить цілу кількість годин, не більшу за його потребу. Наприклад, якщо в ніч на понеділок йому потрібно 8 годин, а спить він 7, то у вівторок йому знадобиться 9 годин. Якщо в середу йому потрібно 8 годин, а спить він 6, то в четвер і п'ятницю йому знадобиться щонайменше 10 годин сну; якщо в четвер він спить лише 9, то в п'ятницю він відчуватиме потребу в 11 годинах (8(8, плюс 2 за години, втрачені в середу, плюс 1 за годину, недоспану в четвер). Одного понеділка вночі Давіде мав потребу спати 8 годин; те саме відбувається в ніч на понеділок наступного тижня. Протягом тижня було 7 годин, які йому треба було проспати, але він цього не зробив: скільки годин щонайменше проспав Давіде за сім ночей з понеділка по неділю?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-008

Квадратичне рекурентне співвідношення зі сталою послідовністю

Послідовність {xn∣n=0,1,2,…}\{x_{n} \mid n=0,1,2, \ldots\} дійсних чисел задано залежно від дійсного параметра aa так: {x0=axn+1=2−xn2 при n≥0\left\{ \begin{array}{l} x_{0}=a \\ x_{n+1}=2-x_{n}^{2} \quad \text{ при } n \geq 0 \end{array} \right. a. Знайдіть усі значення aa, для яких xnx_{n} є сталою (тобто виконується xn=ax_{n}=a для всіх nn). b. Доведіть, що для одного зі значень, знайдених у пункті (a) (позначимо його yy), якщо ∣a∣<∣y∣,∣xn∣<∣y∣|a|<|y|,\left|x_{n}\right|<|y| для всіх nn. c. Доведіть, що якщо ∣a∣>∣y∣,xn|a|>|y|, x_{n} є строго спадною.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-010

Центр описаного кола і подібні трикутники в гострокутному трикутнику

У гострокутному трикутнику ABCABC з AB<ACAB < AC бісектриса, проведена з AA, перетинає сторону BCBC у точці PP. Пряма, що проходить через PP паралельно стороні ABAB, перетинає сторону ACAC у точці QQ; на цій прямій нехай RR — точка, що лежить на промені з початком у QQ, який не містить PP, і така, що QR=QAQR = QA. Позначимо далі через SS ортогональну проєкцію RR на пряму BCBC, а через TT — перетин сторони ACAC з прямою, що проходить через PP і перпендикулярна до APAP. a. Доведіть, що центром описаного кола трикутника APRAPR є QQ; b. Доведіть, що трикутник STCSTC подібний до трикутника APCAPC.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-009

Перетин висоти з описаним колом і рівність трикутників

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник; нехай OO — центр його описаного кола, а P,QP, Q — точки (відмінні від AA), в яких відповідно висота, проведена з вершини AA, і продовження відрізка AOAO перетинають описане коло трикутника ABCABC. a. Доведіть, що кути BA^PB\widehat{A}P і QA^CQ\widehat{A}C рівні; b. Доведіть, що трикутники BCPBCP і CBQCBQ рівні; c. Доведіть, що, якщо MM і NN — середини сторін ABAB і ACAC, то площа чотирикутника ABPCABPC у чотири рази більша за площу чотирикутника AMONAMON.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Італійська математична олімпіадаITAMO-2011-001

Розбиття трапеції на рівновеликі трапеції

Дано трапецію з основами завдовжки 11 і 44 відповідно. Розділимо її на дві трапеції розрізом, паралельним основам, завдовжки 33. Тепер хочемо розділити дві нові трапеції, знову розрізами, паралельними основам, на mm і nn трапецій відповідно так, щоб усі m+nm+n утворених трапецій мали однакову площу. Визначити найменше можливе значення m+nm+n і довжини розрізів, які треба виконати для досягнення цього найменшого значення.
10–11 класиПлощі подібних фігур
Італійська математична олімпіадаITAMO-2011-002

Драбинки без спільних елементів з умовами на НСД

(a) Доведіть, що для кожного натурального числа nn існують дві драбинки довжини nn, без спільних елементів, a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} і b1,b2,…,bnb_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}, такі, що для кожного ii від 1 до nn найбільший спільний дільник чисел aia_{i} і bib_{i} дорівнює 1. (b) Доведіть, що для кожного натурального числа nn існують дві драбинки довжини nn, без спільних елементів, a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} і b1,b2,…,bnb_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}, такі, що для кожного ii від 1 до nn найбільший спільний дільник чисел aia_{i} і bib_{i} більший за 1.
10–11 класиНСД та НСК
Італійська математична олімпіадаITAMO-2011-003

Перетворення набору доповненням до повної множини

На дошці написані цілі числа від 1 до 7. Можливо, що не всі числа від 1 до 7 присутні, а також можливо, що одне, декілька або всі числа повторюються один або більше разів. Хід полягає у виборі одного або більше чисел, присутніх на дошці, за умови, що всі вони різні, їх викресленні та написанні на їхнє місце чисел, які разом із викресленими утворюють усю множину {1,2,3,4,5,6,7}\{1,2,3,4,5,6,7\}. Наприклад, дозволеними ходами є: - викреслити 4 і 5, а на їхнє місце написати числа 1, 2, 3, 6 і 7; - викреслити 1, 2, 3, 4, 5, 6 і 7, нічого не написавши на їхнє місце. Доведіть, що, якщо можна знайти послідовність ходів, яка, починаючи з початкової ситуації, приводить до того, що на дошці залишиться єдине число (написане один раз), то це число не залежить від використаної послідовності ходів.
10–11 класиПарність і непарність
Італійська математична олімпіадаITAMO-2011-004

Чотирикутник із зовнішніми бісектрисами

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник. Нехай PP — перетин зовнішніх бісектрис кутів DA^CD\widehat{A}C і DB^CD\widehat{B}C. Доведіть, що AP^D=BP^CA\widehat{P}D = B\widehat{P}C тоді і лише тоді, коли AD+AC=BC+BDAD + AC = BC + BD. [Примітка: Нагадаємо, що зовнішня бісектриса кута — це пряма, яка проходить через вершину кута і перпендикулярна до внутрішньої бісектриси (тобто звичайної бісектриси) того самого кута.]
10–11 класиСиметрія
Італійська математична олімпіадаITAMO-2010-004

Фарба для лінії між конусами

16 дорожніх конусів поставлено в ряд по прямій на відстані 10 метрів один від одного. На дорозі хочуть намалювати неперервну лінію, яка йтиме від першого до останнього конуса. Відомо, що для малювання 100 метрів неперервної лінії потрібно 6 літрів фарби. Скільки літрів фарби потрібно, щоб виконати цю роботу? (A) 8,4 (B) 9 (C) 9,6 (D) 10 (E) жодна з попередніх.
10–11 класиАрифметична прогресія
Італійська математична олімпіадаITAMO-2010-001

Колір суми та добутку двох червоних чисел

Кожне невід'ємне ціле число пофарбовано в білий або в червоний колір так, що: - є принаймні одне біле число та принаймні одне червоне число; - сума білого числа та червоного числа є білою; - добуток білого числа та червоного числа є червоним. Доведіть, що добуток двох червоних чисел завжди є червоним числом і що сума двох червоних чисел завжди є червоним числом.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2010-007

Логічна задача про лицарів і брехунів

На острові є два типи мешканців: лицарі, які завжди кажуть правду, і брехуни, які завжди брешуть. Ми зустріли на цьому острові групу з чотирьох мешканців, які на запитання про те, хто вони, відповіли: A: «Серед нас є принаймні один брехун.» B: «Серед нас щонайбільше двоє лицарів.» C: «Серед нас є принаймні троє брехунів.» D: «Серед нас немає лицарів.» Скільки лицарів у цій четвірці мешканців? (A) Жоден (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) усі.
10–11 класиПідрахунок двома способами

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.