Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

69 задач
Корейська математична олімпіада (KMO)
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2024-001

Сума парності за функціями підлоги

Нехай aa, bb, cc, dd — попарно взаємно прості додатні непарні числа. Для додатних цілих чисел nn ми визначаємо f(n)=⌊na⌋+⌊nb⌋+⌊nc⌋+⌊nd⌋.f(n) = \lfloor \frac{n}{a} \rfloor + \lfloor \frac{n}{b} \rfloor + \lfloor \frac{n}{c} \rfloor + \lfloor \frac{n}{d} \rfloor. Доведіть, що ∑n=1abcd(−1)f(n)=1.\sum_{n=1}^{abcd} (-1)^{f(n)} = 1.
10–11 класиКитайська теорема про остачі
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2024-002

Оптимальний вибір цукерок з обмеженнями на коробки

Нехай n(≥2)n (\ge 2) — натуральне число. Аліса розкладає 2n2n цукерок у 4n4n коробок B1,B2,…,B4nB_1, B_2, \dots, B_{4n}. Подивившись, скільки цукерок Аліса поклала в кожну коробку, Боб вибирає 2n2n коробок Bk1,Bk2,…,Bk2nB_{k_1}, B_{k_2}, \dots, B_{k_{2n}} із 4n4n коробок, які задовольняють таку умову, і забирає всі цукерки з вибраних коробок. ki−ki−1∈{1,3} для кожного i=1,2,…,2n, і k2n=4n. (k0=0)k_i - k_{i-1} \in \{1, 3\} \text{ для кожного } i = 1, 2, \dots, 2n, \text{ і } k_{2n} = 4n.\ (k_0 = 0) Аліса забирає всі цукерки з 2n2n коробок, які Боб не вибрав. Якщо Аліса і Боб дотримуються своїх найкращих стратегій, щоб взяти якомога більше цукерок, скільки цукерок зможе взяти Аліса?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2024-003

Екстремальна сума з упорядкованими послідовностями

Знайдіть найменше додатне дійсне число p(≤1)p (\le 1) таке, що нерівність ∑i=12024xi(y2025−i−y2024−i)≥1−p\sum_{i=1}^{2024} x_i (y_{2025-i} - y_{2024-i}) \ge 1 - p виконується для всіх дійсних чисел 0≤x1≤x2≤⋯≤x2024≤10 \le x_1 \le x_2 \le \dots \le x_{2024} \le 1 і 0=y0≤y1≤y2≤⋯≤y2024≤10 = y_0 \le y_1 \le y_2 \le \dots \le y_{2024} \le 1, які задовольняють ∑i=12024xi=∑i=12024yi=2024p.\sum_{i=1}^{2024} x_i = \sum_{i=1}^{2024} y_i = 2024p.
10–11 класиМетод Штурма
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2024-004

Колінеарність у конфігурації дотичної та кола

Нехай OO — описане коло трикутника ABCABC. Нехай D(≠A)D (\neq A) — точка на продовженні відрізка BABA за точку AA. Точки EE і FF — дві різні точки на колі OO такі, що прямі DEDE і DFDF є дотичними до кола OO. Відрізок EFEF перетинає сторону CACA в точці T(≠C)T (\neq C). Нехай P(≠B,C)P (\neq B, C) — точка на дузі BCBC кола OO, яка не містить точку AA. Нехай точка перетину прямої DPDP і кола OO — Q(≠P)Q (\neq P). Прямі BQBQ і DTDT перетинаються в точці XX (відмінній від QQ). Нехай Y(≠P)Y (\neq P) — точка перетину прямої PTPT і кола OO. Доведіть, що точки C,X,і YC, X, \text{і } Y колінеарні.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2024-005

Найбільше значення знакозмінної суми перестановки

Нехай n(≥4)n (\ge 4) — натуральне число, а a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n — попарно різні натуральні числа, не більші за nn. Знайдіть найбільше значення ∑i=1n∣ai−ai+1+ai+2−ai+3∣.\sum_{i=1}^{n} |a_i - a_{i+1} + a_{i+2} - a_{i+3}|. (an+i=aia_{n+i} = a_i для i=1,2,3i = 1, 2, 3)
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2024-006

Межа подільності частки Ферма

Покажіть, що існує додатне ціле число KK таке, що для будь-якого простого числа p>Kp > K кількість цілих чисел 1≤a≤p1 \le a \le p таких, що ap−1−1a^{p-1} - 1 ділиться на p2p^2, менша або дорівнює p22024\frac{p}{2^{2024}}.
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2023-001

Точки на сторонах трикутника і відрізки PX та PY

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якому AB<ACAB < AC. Точки D,ED, E лежать у внутрішності відрізків AB,ACAB, AC відповідно. Нехай PP — точка, для якої PB=PD,PC=PEPB = PD, PC = PE. Нехай XX — точка у внутрішності дуги ACAC описаного кола трикутника ABCABC, яка не містить точку BB. Пряма XAXA вдруге перетинає описане коло трикутника ADEADE у точці YY. Доведіть, що PX=PYPX = PY.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2023-002

Строго спадна функція на додатних дійсних числах

Нехай R+\mathbb{R}^+ — множина додатних дійсних чисел. Нехай f:R+→R+f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ — функція, яка задовольняє таку умову. Для кожного додатного дійсного числа xx існує y∈Ry \in \mathbb{R} таке, що (x+f(y))(y+f(x))≤4,(x + f(y))(y + f(x)) \leq 4, і кількість таких yy скінченна. Доведіть, що f(x)>f(y)f(x) > f(y) для кожної пари додатних дійсних чисел xx і yy з x<yx < y.
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2023-004

Найбільша кількість ходів для скриньок за модулем 3

Нехай nn — натуральне число. Є nn скриньок B1,B2,…,BnB_1, B_2, \dots, B_n, у кожній з яких лежить деяка кількість кульок. Можна виконувати такі ходи. Виберіть натуральні числа ii і jj з 1≤i≤j≤n1 \le i \le j \le n і додайте рівно по одній кульці до кожної зі скриньок Bi,Bi+1,…,BjB_i, B_{i+1}, \dots, B_j. Для натуральних чисел x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_n нехай f(x1,x2,…,xn)f(x_1, x_2, \dots, x_n) — найменша кількість ходів, необхідна для того, щоб кількість кульок у кожній скриньці стала кратною 33, починаючи з xix_i кульок у скриньці BiB_i для кожного i=1,2,…,ni = 1, 2, \dots, n. Знайдіть найбільше значення f(x1,x2,…,xn)f(x_1, x_2, \dots, x_n). (Якщо 3∣xi3|x_i при i=1,2,…,ni = 1, 2, \dots, n, то f(x1,x2,…,xn)=0f(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0)
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2023-003

Циклічна нерівність зі зсувами

Нехай n≥3n \ge 3 — ціле число, а a1,…,ana_1, \dots, a_n і b1,…,bnb_1, \dots, b_n — дійсні числа. Доведіть таку нерівність. ∑i=1nai(bi−bi+3)≤3n8∑i=1n[(ai−ai+1)2+(bi−bi+1)2](an+1=a1 і bn+1=b1 для i=1,2,3)\sum_{i=1}^{n} a_i (b_i - b_{i+3}) \le \frac{3n}{8} \sum_{i=1}^{n} \left[ (a_i - a_{i+1})^2 + (b_i - b_{i+1})^2 \right] \\ (a_{n+1} = a_1 \text{ і } b_{n+1} = b_1 \text{ для } i = 1, 2, 3)
10–11 класиНерівність Коші3 розв’язки
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2016-002

Коло через чотири точки решітки

Нехай nn і kk — цілі числа, що задовольняють n≥2n \ge 2 і k≥52n−1k \ge \frac{5}{2}n - 1. Доведіть, що за будь-якого вибору kk різних точок серед усіх цілочисельних точок (x,y)(x, y) для яких 1≤x,y≤n1 \le x, y \le n існує коло, яке проходить принаймні через чотири різні вибрані точки.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2016-001

Відсутність раціональних розв’язків симетричного рівняння

Доведіть, що не існує раціональних чисел xx і yy таких, що x−1x+y−1y=4.x - \frac{1}{x} + y - \frac{1}{y} = 4.
10–11 класиМетод нескінченного спуску
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2016-004

Найбільше значення симетричного добутку за умови

Знайдіть найбільше значення (x2−yz)(y2−zx)(z2−xy)(x^2 - yz)(y^2 - zx)(z^2 - xy), якщо x,y,zx, y, z — дійсні числа, що задовольняють x2+y2+z2=1x^2 + y^2 + z^2 = 1.
10–11 класиНерівність Коші
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2016-003

Дотичні вписаного кола та відношення перетинів

Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторін BCBC, ACAC, ABAB у точках DD, EE, FF відповідно. Нехай пряма EFEF перетинає прямі BIBI, CICI, BCBC, DIDI у точках KK, LL, MM, QQ відповідно, де II — інцентр △ABC\triangle ABC. Якщо пряма, що проходить через середину відрізка CLCL і MM, перетинає CKCK у точці PP, доведіть, що PQ=AB⋅KQBI.PQ = \frac{AB \cdot KQ}{BI}.
10–11 класиТеорема Менелая
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2016-005

Підмножина трикутників без 6-циклу

Нехай UU — множина з mm трикутників. Доведіть, що існує підмножина WW множини UU, яка задовольняє такі умови: (i) Кількість трикутників у WW становить принаймні 0.45m4/50.45m^{4/5}. (ii) Не існує 6 різних точок A,B,C,D,EA, B, C, D, E і FF таких, що WW містить 6 трикутників ABC,BCD,CDE,DEF,EFAABC, BCD, CDE, DEF, EFA і FABFAB.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2015-001

Функціональне рівняння з високими степенями

Знайдіть усі функції f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} такі, що для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R} f(x2015+f(y)2015)=f(x)2015+y2015.f(x^{2015} + f(y)^{2015}) = f(x)^{2015} + y^{2015}.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2015-002

Центри описаних кіл у конфігурації з вписаним колом

Нехай II — інцентр трикутника ABCABC, вписане коло якого дотикається до сторін BCBC, ACAC, ABAB у точках DD, EE, FF відповідно. Припустимо, що описане коло трикутника ABCABC перетинає пряму EFEF у точках PP і QQ. Якщо O1O_1 і O2O_2 — центри описаних кіл трикутників IABIAB і IACIAC відповідно, доведіть, що центр описаного кола трикутника DPQDPQ лежить на прямій O1O2O_1O_2.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2015-004

Центр кола через ортоцентр на описаному колі

Нехай HH — ортоцентр гострокутного трикутника ABCABC, а коло ω\omega, що проходить через точки HH, AA, BB, перетинає відрізок BCBC у точці D(≠B)D (\neq B). Нехай PP — точка перетину прямої DHDH і відрізка ACAC, а QQ — центр описаного кола трикутника ADPADP. Доведіть, що центр кола ω\omega лежить на описаному колі трикутника BDQBDQ.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2015-003

Цілочисельність добутку рекурентних послідовностей

Для заданого натурального числа kk визначимо дві послідовності {an}\{a_n\} і {bn}\{b_n\} так: a1=k,a2=k,an+2=anan+1(n≥1)b1=1,b2=k,bn+2=bn+13+1bn(n≥1)\begin{aligned} a_1 &= k, & a_2 &= k, & a_{n+2} &= a_n a_{n+1} \quad (n \ge 1) \\ b_1 &= 1, & b_2 &= k, & b_{n+2} &= \frac{b_{n+1}^3 + 1}{b_n} \quad (n \ge 1) \end{aligned} Для будь-якого натурального числа nn доведіть, що a2nbn+3a_{2n}b_{n+3} — ціле число.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2014-001

Нерівність із симетричними сумами та кубами

Нехай xx, yy, zz — додатні дійсні числа, які задовольняють x+y+z=1x + y + z = 1. Доведіть, що (1+xy+yz+zx)(1+3x3+3y3+3z3)9(x+y)(y+z)(z+x)≥(x1+x3+9x24+y1+y3+9y24+z1+z3+9z24)2\frac{(1 + xy + yz + zx)(1 + 3x^3 + 3y^3 + 3z^3)}{9(x + y)(y + z)(z + x)} \ge \left( \frac{x\sqrt{1+x}}{\sqrt[4]{3+9x^2}} + \frac{y\sqrt{1+y}}{\sqrt[4]{3+9y^2}} + \frac{z\sqrt{1+z}}{\sqrt[4]{3+9z^2}} \right)^2
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2014-002

Вписаність і серединний перпендикуляр у трикутнику

Дано трикутник ABCABC, у якого AC=BC>ABAC = BC > AB. Нехай EE і FF — середини сторін ACAC і ABAB відповідно. Серединний перпендикуляр ℓ\ell до сторони ACAC перетинає ABAB у точці KK, а пряма, паралельна до KCKC, що проходить через точку BB, перетинає ACAC у точці LL. Для точки PP на відрізку BFBF нехай HH — ортоцентр трикутника ACPACP. Відрізки BHBH і CPCP перетинаються в точці JJ, а прямі FJFJ і ℓ\ell перетинаються в точці MM. Нехай WW — точка перетину прямих FLFL і ℓ\ell. Доведіть, що AW=PWAW = PW тоді й лише тоді, коли точки B,E,F,MB, E, F, M лежать на одному колі.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2014-003

Перестановки, що переживають чотири видалення нерухомих точок

nn учнів з різними іменами стають у коло обличчям до центра кола. Спочатку nn бейджів з іменами учнів роздають їм навмання. Учні повторюють такий процес: [процес] Кожен учень, що має бейдж зі своїм іменем, виходить з кола, а решта учнів передають свої бейджі праворуч. Знайдіть кількість початкових роздач бейджів, за яких після 4 процесів ще залишаться деякі учні.
10–11 класиПерестановки
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2014-004

Дотик і перпендикулярність у рівнобедреній конфігурації

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник з AC=BCAC = BC. Нехай DD — точка на прямій BABA така, що AA лежить між BB і DD. Нехай O1O_1 — описане коло трикутника DACDAC. Коло O1O_1 перетинає BCBC у точці EE. Нехай FF — точка на прямій BCBC така, що пряма FDFD дотикається до кола O1O_1, а O2O_2 — описане коло трикутника DBFDBF. Два кола O1,O2O_1, O_2 перетинаються в точці GG (G≠DG \neq D). Нехай OO — центр описаного кола трикутника BEGBEG. Доведіть, що пряма FGFG дотикається до кола OO тоді й лише тоді, коли пряма DGDG перпендикулярна до прямої FOFO.
10–11 класиДотична кола
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2014-005

Еквівалентні умови оборони замків

На континенті є скінченна кількість замків, і кожен замок належить рівно одній з двох країн AA і BB. У кожному замку є один генерал. Будемо казати, що два замки сусідні, якщо між цими двома замками є шлях. Також будемо казати, що замок PP і множина замків QQ сусідні, якщо PP є сусіднім з деяким замком із QQ. Доведіть, що такі дві умови рівносильні: 1. Якщо деякі генерали з країни BB перейдуть у деякі сусідні замки й атакують, генерали з країни AA можуть перейти у деякі сусідні замки так, щоб у кожному замку з країни AA кількість генералів з AA була не меншою за кількість генералів з BB. 2. Якщо XX — множина замків з країни AA, то кількість генералів з AA, які перебувають у XX або в замках, сусідніх з XX, не менша за кількість генералів з BB, які перебувають у замках, сусідніх з XX.
10–11 класиКласичні теореми теорії графів
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2013-005

Рівні відстані від точки перетину

Нехай ABCABC — трикутник, для якого ∠B>∠C\angle B > \angle C, і нехай DD — точка на стороні ACAC така, що ∠ADC=∠C\angle ADC = \angle C. Нехай II — інцентр трикутника ABCABC, а EE — точка перетину описаного кола трикутника CDICDI з прямою AIAI, відмінна від II. Нехай PP — точка перетину прямої BDBD з прямою, паралельною ABAB, що проходить через EE. Нехай JJ — інцентр трикутника ABDABD, а A′A' — точка, симетрична точці AA відносно II. Припустімо, що прямі JPJP і A′CA'C перетинаються в точці QQ. Доведіть, що QJ=QA′QJ = QA'.
10–11 класиТеорема Менелая

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.