Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

666 задач
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіади
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-001

Найменше число послідовності 3, 31, 313, подільне на 99

Знайдіть найменше натуральне число в послідовності 33, 3131, 313313, 31313131, 31 31331\,313, …\ldots, яке ділиться націло на 9999.
8 класОзнаки подільності на 2, 3, …
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-002

Часткові суми набору чисел та відношення членів

Для набору чисел a1, a2, …, aNa_1,\ a_2,\ \ldots,\ a_N позначимо через Sn=a1+a2+…+anS_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n для всіх n=1,N‾n = \overline{1, N}. Відомо, що для будь-яких k, m∈Nk,\ m \in \mathbb{N} виконується рівність SmSk=m2k2\dfrac{S_m}{S_k} = \dfrac{m^2}{k^2}. Доведіть, що для будь-яких k, m∈Nk,\ m \in \mathbb{N} справджується також відношення amak=2m−12k−1\dfrac{a_m}{a_k} = \dfrac{2m - 1}{2k - 1}.
8 класСуми послідовностей
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-003

Концентричне коло, що перетинає два малі кола

Усередині кола Γ\Gamma одиничного радіуса розташовано декілька менших кіл, сумарна довжина яких більша або дорівнює π\pi і жодне з яких не містить центр одиничного кола всередині. Доведіть, що існує коло, концентричне до кола Γ\Gamma, яке перетинає принаймні два малих кола.
8 класПринцип Діріхле (довжини, площі,…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-004

Рівнобедрений трикутник і кут EDC

У рівнобедреному трикутнику ABCABC кут при основі BCBC дорівнює 80∘80^\circ. На бічній стороні ABAB вибрано точку DD таку, що AD=BCAD = BC, а на промені CBCB — точку EE таку, що AC=ECAC = EC. Знайдіть у градусах величину кута EDCEDC.
8 класРівнобедрений та рівносторонній т…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-013

Прості числа p і q із заданою рівністю

Знайдіть усі такі прості числа pp, qq, які задовольняють рівність p5+p3+2=q2−q.p^5 + p^3 + 2 = q^2 - q.
9 класМетод факторизації (розкладання н…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-014

Можливість зараження всього квадрата 10 × 10

У квадраті 10×1010 \times 10 деякі комірки заражені інфекцією. Далі кожної секунди всі комірки, у яких 22 чи більше сусідніх по стороні клітин заражені, також стають зараженими. Чи можуть через деякий час виявитися зараженими всі комірки квадрата, якщо із самого початку були заражені рівно: а) 99 комірок; б) 1010 комірок?
9 класНапівінваріанти
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-019

Функціональне рівняння з f(f(x - y)) і xy

Знайдіть усі функції f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, що ∀x, y∈R\forall x,\ y \in \mathbb{R}, задовольняють умову f(f(x−y))=f(x)f(y)−f(x)+f(y)−xy.f(f(x-y)) = f(x)f(y) - f(x) + f(y) - xy.
10 класБазові підстановки (однакові аргу…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-020

Нерівність для кількості перестановок з обмеженням

Нехай sns_n позначає кількість перестановок (a1,a2,…,an)(a_1, a_2, \ldots, a_n) чисел 1, 2, …, n1,\ 2,\ \ldots,\ n таких, що 1⩽∣ai−i∣⩽21 \leqslant |a_i - i| \leqslant 2 для всіх ii: 1⩽i⩽n1 \leqslant i \leqslant n. Доведіть, що для всіх n>6n > 6 виконується нерівність 7sn−14<sn<2sn−1\dfrac{7s_{n-1}}{4} < s_n < 2s_{n-1}.
10 класРекурентний підрахунок
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-021

Точки на колі і прямі через A та B

Задано коло ω\omega та точки AA, BB на прямій, яка не перетинає коло ω\omega. На колі вибрано довільну точку X0X_0 і далі побудовано такі послідовності точок (Yn)(Y_n) та (Xn)(X_n): YnY_n — друга точка перетину прямої AXnAX_n з колом ω\omega, n⩾0n \geqslant 0, а Xn+1X_{n+1} — друга точка перетину прямої BYnBY_n з колом ω\omega, n⩾0n \geqslant 0. Доведіть, що коли для деякої точки X0X_0 та для деякого натурального kk точка Xk=X0X_k = X_0, то Xk=X0X_k = X_0 при довільному виборі точки X0X_0.
10 класІнверсія
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-028

Рівність степенів з простим p і натуральним n

Знайдіть усі такі прості числа pp та натуральні nn, які задовольняють рівність p8−p4=n5−n.p^8 - p^4 = n^5 - n.
11 класМетод факторизації (розкладання н…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-029

Цілі числа-суми без нулів та різні елементи

Нехай FF — скінченний непорожній набір цілих чисел, у якому можуть бути рівні. Відомо, що для деякого натурального nn множина FF задовольняє такі умови: - ∀x∈F  ∃y,z∈F∖{x} ⁣: x=y+z\forall x \in F\ \ \exists y, z \in F \setminus \{x\}\colon\ x = y + z; - ∀k⩽n  ∀x1,…,xk∈F\forall k \leqslant n\ \ \forall x_1, \ldots, x_k \in F, має місце x1+…+xk≠0x_1 + \ldots + x_k \neq 0. Доведіть, що FF має принаймні 2n+22n + 2 різних елементів.
11 класПринцип Діріхле (скінченні множин…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-005

Висота CH, перпендикуляр на AO і середина BC

У гострокутному трикутнику ABCABC проведено висоту CHCH, OO — центр описаного кола, TT — основа перпендикуляра, що опущений з вершини CC на пряму AOAO. Доведіть, що THTH ділить навпіл сторону BCBC.
8 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-006

Таблиця 5 × 5 з однаковими числами

Числа від 11 до 2525 записано в комірках таблиці 5×55 \times 5, як це показано на рис. 3.1. За один хід дозволяється: - вибрати довільні дві комірки зі спільною стороною та збільшити (зменшити) число в одній із цих комірок на 22 й водночас із цим в іншій комірці записане число зменшити (збільшити відповідно) на 11; - вибрати довільні дві комірки зі спільною вершиною (але не стороною) та збільшити число в одній із цих комірок на 11 і водночас із цим в іншій комірці записане число зменшити на 11. | | | | | | |---|---|---|---|---| | 11 | 22 | 33 | 44 | 55 | | 66 | 77 | 88 | 99 | 1010 | | 1111 | 1212 | 1313 | 1414 | 1515 | | 1616 | 1717 | 1818 | 1919 | 2020 | | 2121 | 2222 | 2323 | 2424 | 2525 | Рис. 3.1 а) Чи можна після скінченної кількості ходів одержати таблицю з однаковими числами в усіх комірках? б) Чи можна після скінченної кількості ходів одержати таблицю із записаним числом 22 в кожній комірці?
8 класКольорові інваріанти (розфарбуван…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-007

Сума квадратних коренів з точністю до сотих

Знайдіть з точністю до сотих значення виразу 1+112+122+1+122+132+1+132+142+…+1+120132+120142.\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+\ldots+\sqrt{1+\frac{1}{2013^2}+\frac{1}{2014^2}}.
8 класСуми послідовностей
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-008

Гарне число з 2013 різними простими дільниками

Нехай a1, …, ama_1,\ \ldots,\ a_m — усі дільники числа nn. Якщо існують mm цілих чисел b1, …, bmb_1,\ \ldots,\ b_m, для яких n=∑i=1m(−1)biain = \sum\limits_{i=1}^{m} (-1)^{b_i} a_i, то число nn називають гарним. Доведіть, що існує гарне число, яке має рівно 20132013 різних простих дільників.
8 класКонструкція за індукцією
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-015

Рівні відрізки від вершин до кола навколо ортоцентра

У гострокутному трикутнику ABCABC точки DD, EE, FF — середини сторін BCBC, CACA та ABAB відповідно. Побудуємо коло ω\omega із центром в ортоцентрі трикутника ABCABC таке, щоб трикутник ABCABC був усередині цього кола. Нехай промені EFEF, FDFD і DEDE перетинають коло ω\omega у точках PP, QQ і RR відповідно. Доведіть, що AP=BQ=CRAP = BQ = CR.
9 класТочка перетину висот
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-016

Сума кубів з коренями для додатних чисел з умовою

Нехай для додатних чисел aa, bb, cc справджується нерівність 1a+1b+1c⩽16(a+b+c)\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \leqslant 16(a+b+c). Доведіть, що 1(a+b+2(a+c))3+1(b+c+2(b+a))3+1(c+a+2(c+b))3⩽89.\frac{1}{\left(a+b+\sqrt{2(a+c)}\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c+\sqrt{2(b+a)}\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a+\sqrt{2(c+b)}\right)^3} \leqslant \frac{8}{9}.
9 класНерівність Коші
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-022

Спільна дотична двох кіл, пряма Ейлера і прогресія кутів

Доведіть, що в нерівнобедреному трикутнику ABCABC спільна дотична до кола дев'яти точок та вписаного кола паралельна прямій Ейлера тоді і тільки тоді, коли кути трикутника утворюють арифметичну прогресію. Пряму, що проходить через центр описаного кола та ортоцентр трикутника, називають прямою Ейлера трикутника. Коло дев'яти точок — це коло, що проходить через такі точки: середину кожної сторони трикутника; основи кожної висоти та середини відрізків, що сполучають вершини трикутника з ортоцентром.
10 класКоло Ейлера (коло 9 точок)
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-023

Таблиця 7×7 з числами 1–49 і однакові числа

Числа від 11 до 4949 по одному записано в комірках таблиці 7×77 \times 7, як це показано на рис. 3.2. За один хід дозволяється вибрати довільну комірку та збільшити (зменшити) число в цій комірці на 11 і водночас із цим у деяких двох комірках, сусідніх по стороні з вибраною, зменшити (збільшити) на 11 числа в цих комірках. а) Чи можна після скінченної кількості ходів одержати таблицю, у всіх комірках якої записано однакові числа? б) Чи можна після скінченної кількості ходів одержати таблицю, у всіх комірках якої записано число 20132013? | | | | | | | | |---|---|---|---|---|---|---| | 11 | 22 | 33 | 44 | 55 | 66 | 77 | | 88 | 99 | 1010 | 1111 | 1212 | 1313 | 1414 | | 1515 | 1616 | 1717 | 1818 | 1919 | 2020 | 2121 | | 2222 | 2323 | 2424 | 2525 | 2626 | 2727 | 2828 | | 2929 | 3030 | 3131 | 3232 | 3333 | 3434 | 3535 | | 3636 | 3737 | 3838 | 3939 | 4040 | 4141 | 4242 | | 4343 | 4444 | 4545 | 4646 | 4747 | 4848 | 4949 | Рис. 3.2
10 класКольорові інваріанти (розфарбуван…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-024

Число n²⁰¹³ − n²⁰ + n¹³ − 2013 з не менше ніж N дільниками

Доведіть, що для будь-якого натурального NN існує таке натуральне nn, що число n2013−n20+n13−2013n^{2013} - n^{20} + n^{13} - 2013 має не менше NN дільників.
10 класРозподіл простих чисел
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-030

Вписане коло, дотична та прямий кут

Вписане в трикутник ABCABC коло ω\omega дотикається до його сторін BCBC, CACA та ABAB у точках DD, EE та FF відповідно. Пряма, що проходить через точку AA та не проходить через точку DD, перетинає дугу EFEF у точці TT. Дотична до кола ω\omega у точці TT перетинає EFEF у точці PP, а пряма, що проходить через точку PP паралельно ABAB, перетинає ATAT у точці HH. Доведіть, що ∠HEF=90∘\angle HEF = 90^\circ.
11 класПроєктивна геометрія
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-031

Нерівність із сумою обернених та найменша константа

Для натурального nn та додатних чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n доведіть нерівність ∑k=1nka1−1+a2−1+…+ak−1⩽2∑k=1nak.\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{a_1^{-1}+a_2^{-1}+\ldots+a_k^{-1}} \leqslant 2\sum_{k=1}^{n} a_k. Чи є константа 22 найменшою можливою?
11 класНерівність Коші-Буняковського
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-009

Добуток дробів з переставленими цілою і дробовою частинами

Для натуральних чисел aa, bb позначимо через a,b‾\overline{a{,}b} десятковий дріб, у якого aa записано перед комою, а bb — після коми. Наприклад, для a=303a = 303, b=20b = 20 маємо, що a,b‾=303,2\overline{a{,}b} = 303{,}2, b,a‾=20,303\overline{b{,}a} = 20{,}303. а) Знайдіть усі такі числа aa, bb, для яких a,b‾⋅b,a‾=13\overline{a{,}b} \cdot \overline{b{,}a} = 13. б) Доведіть, що існує нескінченно багато таких натуральних nn, для яких рівняння a,b‾⋅b,a‾=n\overline{a{,}b} \cdot \overline{b{,}a} = n не має розв'язків у натуральних числах aa, bb.
8 класРозклад по розрядах, десяткові др…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-010

Дотик кіл на сторонах чотирикутника і ромб

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник. Позначимо через γAB\gamma_{AB}, γBC\gamma_{BC}, γCD\gamma_{CD}, γDA\gamma_{DA} кола, що побудовані на сторонах ABAB, BCBC, CDCD, DADA відповідно як на діаметрах. Відомо, що кола γAB\gamma_{AB} та γCD\gamma_{CD} дотикаються між собою, а також кола γBC\gamma_{BC} та γDA\gamma_{DA} дотикаються між собою. Доведіть, що ABCDABCD — ромб.
8 класКола, що дотикаються
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-011

Дороги між містами зі сталою кількістю серед 98 міст

У країні Лапландії є всього 100100 міст. Кожні два з них або сполучені єдиною дорогою, або взагалі безпосередньо не сполучені. Відомо, що коли вибрати будь-які 9898 міст, то загальна кількість доріг, що існують між цими 9898 містами, є сталою величиною, яка не залежить від вибору цих 9898 міст. Якого значення може набувати NN — загальна кількість доріг у Лапландії?
8 класПідрахунок двома способами

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.