Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

666 задач
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіади
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-11-12-025

Кути BAT і BB'Q та відрізки SQ і RB'

Точку PP вибрано всередині трикутника ABCABC таким чином, що ∠CAP=∠BCP\angle CAP = \angle BCP. Нехай B′=BP∩ACB' = BP \cap AC, C′=CP∩ABC' = CP \cap AB, а QQ — відмінна від AA точка перетину прямої APAP з колом, описаним навколо трикутника ABCABC. Нехай також R=B′Q∩CPR = B'Q \cap CP і S=B′Q∩lS = B'Q \cap l, де ll — пряма, яка проходить через точку PP і паралельна до ACAC. Точка T=B′C′∩QBT = B'C' \cap QB лежить з іншого боку від прямої ABAB, ніж точка CC. Коло, описане навколо трикутника PB′C′PB'C', удруге перетинає пряму APAP в точці, яка лежить усередині трикутника ABCABC. Доведіть, що ∠BAT=∠BB′Q⇔SQ=RB′,\angle BAT = \angle BB'Q \Leftrightarrow SQ = RB', тобто що кути BATBAT і BB′QBB'Q рівні між собою тоді й лише тоді, коли рівними є відрізки SQSQ та RB′RB'.
11 класЦентральні і вписані кути
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-10-11-001

Квадрати перемог і поразок у круговому турнірі

У тенісному турнірі в одне коло (кожний гравець грає з кожним рівно по одному разу) грали nn тенісистів. Позначимо через wiw_i та lil_i відповідно кількість перемог та поразок ii-го учасника (нічиїх у тенісі не буває). Доведіть, що виконується рівність w12+w22+…+wn2=l12+l22+…+ln2.w_1^2 + w_2^2 + \ldots + w_n^2 = l_1^2 + l_2^2 + \ldots + l_n^2.
8 класЛінійні заміни (зведення до нуля,…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-10-11-002

Прямокутник ABCD з рівностороннім трикутником EZC

Задано прямокутник ABCDABCD зі сторонами AB=aAB = a та BC=bBC = b, OO — точка перетину його діагоналей. На промені BABA за точку AA відкладено відрізок AE=AOAE = AO, а на промені DBDB за точку BB — відрізок BZ=BOBZ = BO. Відомо, що трикутник EZCEZC — рівносторонній. Доведіть, що: а) AZ=EOAZ = EO; б) EO⊥ZDEO \perp ZD.
8 класЦентральні і вписані кути
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-10-11-003

Спадні шістки натуральних чисел із сумами пар 22

Скільки існує різних упорядкованих шісток натуральних чисел (a,b,c,d,e,f)(a, b, c, d, e, f), для яких справджуються такі умови: a>b>c>d>e>fa > b > c > d > e > f та a+f=b+e=c+d=22a + f = b + e = c + d = 22?
8 класБієкції
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-10-11-004

Вираз M(a,b) та квадрати цілих чисел

а) Нехай aa та bb — натуральні числа, для яких цілим є число M(a,b)=a−1b+b(b+3a).M(a, b) = a - \frac{1}{b} + b\left(b + \frac{3}{a}\right). Доведіть, що число M(a,b)M(a, b) — квадрат цілого числа. б) Чи існують ненульові цілі cc і dd, для яких число M(c,d)M(c, d) є натуральним, але не дорівнює квадрату цілого числа?
8 класДільники та кратні (базові власти…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-10-11-013

Нерівність для добутку при a+b=3 і xyz=1

Додатні числа aa, bb, xx, yy, zz задовольняють умови a+b=3a + b = 3 та xyz=1xyz = 1. Доведіть, що справджується нерівність (ax+b)(ay+b)(az+b)⩾27.(ax + b)(ay + b)(az + b) \geqslant 27. При яких значеннях змінних має місце рівність?
9 класНерівність Коші
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-10-11-014

Парність кількості п'ятірок з сумою обернених одиниця

Позначимо через NN кількість упорядкованих п'ятірок (a1,a2,a3,a4,a5)(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5) натуральних чисел, які задовольняють умову 1a1+1a2+1a3+1a4+1a5=1.\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \frac{1}{a_4} + \frac{1}{a_5} = 1. З'ясуйте, парним чи непарним є число NN. Зауваження. Якщо п'ятірка чисел упорядкована, такі набори вважають різними: (1,2,3,4,5)(1, 2, 3, 4, 5) та (2,1,3,4,5)(2, 1, 3, 4, 5).
9 класСиметрія та розбиття на пари
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-10-11-023

Трикутник з висотою та дотик до кола CGF

У трикутнику ABCABC, у якого AB≠ACAB \ne AC, проведено висоту ADAD. Точки EE та FF — відповідно середини відрізків ADAD та BCBC. Точка GG — основа перпендикуляра, опущеного з точки BB на пряму AFAF. Доведіть, що пряма EFEF у точці FF дотикається до кола, що описане навколо трикутника CGFCGF.
10 класДотична кола
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-10-11-024

Кратне q=2p+1 з малою сумою цифр

Нехай прості числа pp та qq пов'язані рівністю q=2p+1q = 2p + 1. Доведіть, що існує натуральне число, яке кратне числу qq та має суму цифр, що не перевищує 33.
10 класМала теорема Ферма
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-10-11-031

Найбільша підмножина для нерівностей із квадратними коренями

Визначте найбільшу підмножину M⊆RM \subseteq \mathbb{R} таку, що нерівність ab+cd⩾a+b+c+d\sqrt{ab} + \sqrt{cd} \geqslant \sqrt{a + b} + \sqrt{c + d} справджується для всіх a,b,c,d∈Ma, b, c, d \in M. А чи справджуватиметься нерівність ab+cd⩾a+c+b+d\sqrt{ab} + \sqrt{cd} \geqslant \sqrt{a + c} + \sqrt{b + d} для всіх aa, bb, cc, dd, що належать знайденій підмножині MM?
11 класНерівності та системи другого сте…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-10-11-032

Мінімальна множина значень сусідніх сум 2010 чисел

Для якого мінімального натурального kk існують множина AA, що складається рівно з kk дійсних чисел, та попарно різні дійсні числа x1,x2,…,x2010x_1, x_2, \ldots, x_{2010}, які задовольняють умову: всі числа x1+x2x_1 + x_2, x2+x3x_2 + x_3, …\ldots, x2009+x2010x_{2009} + x_{2010}, x2010+x1x_{2010} + x_1 належать множині AA?
11 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-10-11-005

Умова на суму дробів і сума їх модулів

Дійсні числа aa, bb, cc задовольняють умову a2+b2−c22ab+a2+c2−b22ac+c2+b2−a22cb=1.\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} + \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} + \frac{c^2 + b^2 - a^2}{2cb} = 1. Чому дорівнює значення виразу ∣a2+b2−c22ab∣+∣a2+c2−b22ac∣+∣c2+b2−a22cb∣?\left|\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right| + \left|\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\right| + \left|\frac{c^2 + b^2 - a^2}{2cb}\right|?
8 класРозкладання на множники і розкрит…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-10-11-006

Прямокутник з колом та точкою на діагоналі

У прямокутнику ABCDABCD зі сторонами AB>BCAB > BC серединний перпендикуляр до діагоналі ACAC перетинає сторону DCDC в точці EE. Коло з центром у точці EE та радіусом AEAE перетинає відрізок ABAB вдруге в точці FF. Точка GG — основа перпендикуляра, опущеного з точки CC на відрізок EFEF. Доведіть, що точка GG лежить на діагоналі BDBD.
8 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-10-11-007

Числа 1 і -1 із сумою добутків 999

Чи існують числа x1,x2,…,x2009x_1, x_2, \ldots, x_{2009}, кожне з яких дорівнює 11 або −1-1, для яких виконується рівність x1x2+x2x3+…+x2008x2009+x2009x1=999?x_1x_2 + x_2x_3 + \ldots + x_{2008}x_{2009} + x_{2009}x_1 = 999?
8 класПарність і непарність
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-10-11-008

П'ятицифрові паліндромічні добутки з обернених множників

Розглянемо всі натуральні п'ятицифрові числа, які не діляться на 1010. Назвемо таке число паліндромічним добутком, якщо воно задовольняє такі дві умови: 1) саме число є паліндромом, тобто його природний запис та число, що записане тими самими цифрами у зворотному порядку, збігаються; 2) це число є добутком двох натуральних множників, таких що якщо цифри першого множника записати у зворотному порядку, то вийде число, яке дорівнює другому множнику. Наприклад, 20 502=102⋅20120\,502 = 102 \cdot 201 є паліндромічним добутком. Знайдіть усі п'ятицифрові паліндромічні добутки.
8 класРозклад по розрядах, десяткові др…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-10-11-015

Фарбування n-кутника в n кольорів з триколірними трикутниками

Знайдіть усі натуральні nn, для яких усі сторони та діагоналі опуклого nn-кутника можна пофарбувати в один із заданих nn кольорів (відрізок фарбують повністю одним кольором) таким чином, що справджується умова: для кожної трійки різних кольорів існує трикутник з вершинами серед вершин многокутника такий, що його сторони пофарбовано в ці кольори.
9 класПідрахунок двома способами
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-10-11-016

Різниця x-y — квадрат за умови 3x²+x=4y²+y

Натуральні числа xx та yy задовольняють умову 3x2+x=4y2+y3x^2 + x = 4y^2 + y. Доведіть, що вираз x−yx - y є квадратом цілого числа.
9 класМетод факторизації (розкладання н…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-10-11-025

Многочлени f і g найменшого степеня з рівністю

Знайдіть хоча б один многочлен f(x)f(x) із найменшим можливим степенем, такий що в парі з деяким іншим многочленом g(x)≢0g(x) \not\equiv 0 задовольняє для всіх xx співвідношення f(x3)+g(x)=f(x)+x5g(x)f(x^3) + g(x) = f(x) + x^5g(x).
10 класДілення многочленів з остачею
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-10-11-026

Перетин прямих через точки дотику та бісектриси трикутника

Бісектриси кутів AA, BB та CC трикутника ABCABC перетинають описане навколо цього трикутника коло S1(O,R)S_1(O, R) у точках A2A_2, B2B_2, C2C_2 відповідно. Дотичні до кола S1S_1 у точках A2A_2, B2B_2, C2C_2 перетинаються між собою в точках A3A_3, B3B_3, C3C_3 (точки AA і A3A_3 лежать по один бік від прямої BCBC, аналогічно для інших точок). Нехай вписане у трикутник ABCABC коло S2(I,r)S_2(I, r) дотикається до його сторін у точках A1A_1, B1B_1, C1C_1 відповідно (точка A1∈BCA_1 \in BC, аналогічно для інших точок). Доведіть, що прямі A1A2A_1A_2, B1B2B_1B_2, C1C2C_1C_2, AA3AA_3, BB3BB_3, CC3CC_3 перетинаються в одній точці.
10 класГомотерія і подібність
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-10-11-033

Найменша кількість натискань для вимкнення 2011 ламп

Є ряд ламп, що пронумеровані числами 1,2,…,20111, 2, \ldots, 2011. Кожна лампа має свій окремий перемикач, який після натискання переводить відповідну лампу зі стану ВКЛ у стан ВИКЛ та навпаки. Перемикачі можна натискати лише в такий спосіб: 1. Перемикач № 11 можна натискати будь-коли. 2. Перемикач з номером k∈{2,3,…,2011}k \in \{2, 3, \ldots, 2011\} можна натискати тільки за умови, що лампа з номером k−1k - 1 перебуває в стані ВКЛ, а лампи з номерами 1,2,…,k−21, 2, \ldots, k - 2 (якщо такі існують) — у стані ВИКЛ. Спершу всі лампи перебувають у стані ВКЛ. Доведіть, що найменша кількість натискань на перемикачі, які потрібно зробити, щоб перевести всі лампи у стан ВИКЛ, дорівнює 22012−13\dfrac{2^{2012} - 1}{3}.
11 класЛінійні рекурентні послідовності
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-10-11-034

Додатні числа з сумою коренів 1 та натуральним зсувом

Знайдіть усі додатні дійсні числа xx, yy та zz, серед яких є різні, та натуральні числа nn, для яких справджуються умови: x+y+z=1,x+n+y+n+z+n∈N.\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} = 1, \quad \sqrt{x + n} + \sqrt{y + n} + \sqrt{z + n} \in \mathbb{N}.
11 класНерівність Коші
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-10-11-009

Найменша сума цифр числа n від простого p

Нехай n=(p2+2)2−9(p2−7)n = (p^2 + 2)^2 - 9(p^2 - 7) — натуральне число, а pp — просте число. Яку найменшу суму цифр може мати число nn і для яких простих pp вона досягається?
8 класМіркування за модулем
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-10-11-010

Пряма через середину сторони паралельна бісектрисі

Через точку LL — середину сторони BCBC трикутника ABCABC, у якого AC<ABAC < AB, — провели пряму ll, що паралельна бісектрисі AVAV кута BACBAC. Пряма ll перетинає прямі ABAB та ACAC в точках XX та YY відповідно. На промені XYXY позначено точку ZZ, для якої справджується рівність XY=YZXY = YZ. Прямі BYBY та CZCZ перетинаються в точці DD. Доведіть, що бісектриса кута BDCBDC паралельна прямій ll.
8 класСиметрія
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-10-11-011

Трикутники з вершинами в заданих точках без точок всередині

На площині задано n⩾3n \geqslant 3 точок, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Доведіть, що існує принаймні n(n−2)3\dfrac{n(n-2)}{3} трикутники, вершини яких вибрані серед заданих точок, такі, що всередині трикутників не міститься жодної іншої точки з цієї множини.
8 класПідрахунок двома способами
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-10-11-012

Рівняння з оберненими, НСД і НСК та найменша сума

Натуральні числа aa, bb та nn задовольняють рівність 1a+1b+n[a,b]=1(a,b),\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{n}{[a, b]} = \frac{1}{(a, b)}, де через [a,b][a, b] та (a,b)(a, b) позначені відповідно НСК та НСД чисел aa та bb. а) Доведіть, що nn — непарне. б) Знайдіть для n=2011n = 2011 такі значення aa та bb, для яких сума a+ba + b є мінімальною.
8 класНСД та НСК

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.