Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

666 задач
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіади
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-026

Послідовність з рівністю для F(F(n¹⁶³))

Чи існує послідовність F(n)F(n), n⩾1n \geqslant 1 невід'ємних цілих чисел, що задовольняє такі умови: - у цій послідовності зустрічається кожне із цілих чисел 0,1,2,…0, 1, 2, \ldots; - кожне натуральне число зустрічається в цій послідовності нескінченну кількість разів; - для кожного n⩾2n \geqslant 2 справджується рівність: F(F(n163))=F(F(n))+F(F(361)).F(F(n^{163})) = F(F(n)) + F(F(361)).
10 класКонструктивна побудова функції
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-027

Прямі X1Y1, X2Y2 та PQ у трикутнику

У трикутнику ABCABC на стороні BCBC вибрано точку PP, точки I1I_1 та I2I_2 — центри вписаних кіл трикутників ABPABP та APCAPC відповідно. Кола ω1\omega_1 та ω2\omega_2 мають центрами точки I1I_1 та I2I_2 відповідно та проходять через точку PP. Точка QQ — друга точка перетину кіл ω1\omega_1 та ω2\omega_2. X1X_1 та Y1Y_1 — точки перетину ω1\omega_1 із прямими ABAB та BCBC відповідно, які є ближчими до вершини BB. X2X_2 та Y2Y_2 — точки перетину ω2\omega_2 з прямими ACAC та BCBC відповідно, які є ближчими до вершини CC. Доведіть, що прямі X1Y1X_1Y_1, X2Y2X_2Y_2 та PQPQ перетинаються в одній точці.
10 класРадикальна вісь
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-032

Хто переможе в грі з купками монет

Альберт і Барбара грають у таку гру: спочатку на столі лежить 40484048 купок монет, що містять відповідно 1,1,…,1⏟2024,2,3,4,…,2025\underbrace{1, 1, \ldots, 1}_{2024}, 2, 3, 4, \ldots, 2025 монет. Гравці роблять ходи по черзі, і розпочинає Альберт. Кожен гравець робить один з таких можливих ходів: - забирає 11 монету з будь-якої купки; - ділить довільну купку на дві купки, у кожній з яких має бути принаймні 11 монета. Перемагає той, хто забере зі стола останню монету. З'ясуйте, хто може перемогти в цій грі, якщо кожний прагне перемогти.
11 класІнші інваріанти
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-033

Нерівність для зростаючої послідовності дійсних чисел

Доведіть, що для довільного цілого n⩾3n \geqslant 3 та довільних дійсних чисел x1<x2<…<xnx_1 < x_2 < \ldots < x_n справджується нерівність: n(n−1)2∑i<jxixj>∑i=1n−1(n−i)xi⋅∑j=2n(j−1)xj.\frac{n(n-1)}{2}\sum_{i<j} x_i x_j > \sum_{i=1}^{n-1}(n-i)x_i \cdot \sum_{j=2}^{n}(j-1)x_j.
11 класІнші класичні нерівності
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-013

Початкові числа без чисел з понад чотирма цифрами

Петрик записує на дошці початкове число, що не перевищує 20252025. Після цього Петрик може повторювати такий крок для записаного на дошці числа nn: для парного числа nn записати замість nn число 12n\frac{1}{2}n, для непарного числа nn записати замість nn число n2+3n^2 + 3. Скільки існує таких початкових чисел, щоб Петрик ніколи не написав на дошці число, що має більше чотирьох цифр?
8 класПарність та непарність
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-014

Рівні відношення попарних сум та вираз із кубами

Ненульові числа aa, bb, cc задовольняють умову: a+bc=b+ca=c+ab.\frac{a+b}{c} = \frac{b+c}{a} = \frac{c+a}{b}. а) Доведіть, що a3+b3+c3≠0a^3+b^3+c^3 \neq 0. б) Знайдіть усі можливі значення, яких може набувати вираз (a+b)(b+c)(c+a)a3+b3+c3.\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{a^3+b^3+c^3}.
8 класПеретворення симетричних виразів
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-015

Рівність для відрізків KA, KD і KE у трикутнику

У трикутнику ABCABC, у якого ∠ABC<∠BCA\angle ABC < \angle BCA, визначимо точку KK як перетин внутрішньої бісектриси кута BB та зовнішніх бісектрис кутів AA та CC у трикутнику ABCABC. Прямі AKAK та BCBC перетинаються в точці DD. Нехай точка EE — центр описаного кола трикутника BKCBKC. Доведіть, що справджується рівність: 1KA=1KD+1KE.\frac{1}{KA} = \frac{1}{KD} + \frac{1}{KE}.
8 класЦентральні і вписані кути
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-016

Жовті, сині й зелені точки із заданими сумами відстаней

Знайдіть усі трійки натуральних чисел (a,b,c)(a, b, c), для яких a+b+c=10a+b+c=10, при цьому на площині існує aa жовтих, bb синіх та cc зелених точок (усі точки попарно різні) з такими властивостями: - сума відстаней між усіма парами точок, одна з яких жовта, а інша синя, дорівнює 3737; - сума відстаней між усіма парами точок, одна з яких зелена, а інша жовта, дорівнює 3030; - сума відстаней між усіма парами точок, одна з яких зелена, а інша синя, дорівнює 11.
8 класНерівність трикутника
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-034

Недосяжні значення суми модулів різниць сум цифр

Для натурального числа nn позначимо через S(n)S(n) суму цифр числа nn. Для кожного натурального числа nn визначимо функцію f(n)=∑k=1n∣S(k)−S(k−1)∣,f(n) = \sum_{k=1}^{n} \left| S(k) - S(k-1) \right|, де вважаємо, що S(0)=0S(0) = 0. Для скількох натуральних чисел NN з проміжку [1,2025][1, 2025] не існує натурального числа nn, для якого справджується рівність f(n)=Nf(n) = N?
11 класРозклад по розрядах, десяткові др…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-035

Функціональна нерівність з чотирма дійсними змінними

Знайдіть усі такі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, для яких умова f(a−b)f(c−d)+f(a−d)f(b−c)⩽(a−c)f(b−d)f(a-b)f(c-d) + f(a-d)f(b-c) \leqslant (a-c)f(b-d) справджується для довільних дійсних чисел aa, bb, cc та dd.
11 класБазові підстановки (однакові аргу…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-036

Медіана, бісектриса та висота трикутника

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB>BCAB > BC. Нехай BDBD та BEBE — медіана та бісектриса трикутника ABCABC. Відрізок CFCF — висота трикутника BCEBCE, точка G=CF∩BDG = CF \cap BD. Доведіть, що пряма DFDF ділить навпіл відрізок EGEG.
11 класОсновна властивість бісектриси
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-037

Координатний прямокутник на двох з 2024 точок

Для двох точок на площині P1(x1,y1)P_1(x_1, y_1) та P2(x2,y2)P_2(x_2, y_2) позначимо через R(P1,P2)R(P_1, P_2) прямокутник, що має сторони, паралельні координатним прямим та який має діагоналлю відрізок P1P2P_1P_2. Зрозуміло, що такий прямокутник може вироджуватися у відрізок. Для якого найбільшого значення kk справджується така умова: для довільної множини точок SS, у якої ∣S∣=2024|S| = 2024, існують такі дві точки P1,P2∈SP_1, P_2 \in S, для яких ∣S∩R(P1,P2)∣⩾k|S \cap R(P_1, P_2)| \geqslant k?
11 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-23-24-001

Перпендикуляри до BM і BD у прямокутнику

У прямокутнику ABCDABCD точка MM — середина сторони CDCD. Через точку CC проведено пряму, що перпендикулярна до прямої BMBM, а через точку MM — пряму, що перпендикулярна до прямої BDBD. Доведіть, що ці два проведених перпендикуляри перетинаються на прямій ADAD.
8 класТочка перетину висот
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-23-24-002

Найбільша можлива сума кількостей знайомих студентів

У таборі зібралися 20242024 студенти, деякі пари з них були знайомі. Відомо, що в будь-якій групі студентів є принаймні один студент, знайомий щонайбільше зі 100100 іншими студентами цієї групи. Занумеруємо студентів числами 1,2,…,20241, 2, \ldots, 2024 і для кожного i=1,2024‾i = \overline{1, 2024} позначимо через cic_i кількість знайомих студента за номером ii. Знайдіть максимальне можливе значення суми C=c1+c2+…+c2024C = c_1 + c_2 + \ldots + c_{2024}.
8 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-23-24-003

Числа m взаємно прості з усіма членами послідовності

Послідовність натуральних чисел a0,a1,a2,…a_0, a_1, a_2, \ldots задовольняє такі умови: a0=3a_0 = 3 та an+1−an=n(an−1)a_{n+1} - a_n = n(a_n - 1) для всіх n⩾0n \geqslant 0. Знайдіть усі такі натуральні mm, для яких (m,an)=1(m, a_n) = 1 (тобто НСД) при всіх n⩾0n \geqslant 0.
8 класТеорема Вільсона
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-23-24-004

Множина цілих чисел і числа 3 та 2021

Множина MM, що складається з деяких цілих чисел, задовольняє такі умови: - 1∈M1 \in M; - якщо x,y∈Mx, y \in M (не обов’язково x≠yx \neq y), то 2x+3y∈M2x + 3y \in M; - якщо цілі числа xx, yy такі, що 4x−3y∈M4x - 3y \in M, то xy∈Mxy \in M (самі числа xx, yy не обов’язково мають належати множині MM). Чи обов’язково належить множині MM число: а) 33; б) 20212021?
8 класМетод математичної індукції
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-23-24-013

Вписаний чотирикутник, бісектриси і пряма перетину кіл

Чотирикутник ABCDABCD вписано в коло ω\omega, BLBL і CNCN — бісектриси трикутників ABDABD та ACDACD відповідно. Кола, описані навколо трикутників ABLABL і CDNCDN, перетинаються в точках PP та QQ. Доведіть, що пряма PQPQ проходить через середину дуги ADAD кола ω\omega, що не містить точку BB.
9 класРадикальна вісь
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-23-24-014

Різниця сум найбільших і найменших добутків четвірок

Для всіх четвірок натуральних чисел 1⩽x,y,z,w⩽1001 \leqslant x, y, z, w \leqslant 100 знайдемо найбільше з трьох чисел xy+zwxy + zw, xz+ywxz + yw та xw+yzxw + yz. Далі знайдемо суму всіх таких найбільших чисел по всіх четвірках, яку позначимо MM. Аналогічно для таких саме четвірок виберемо найменше з трьох чисел xy+zwxy + zw, xz+ywxz + yw та xw+yzxw + yz. Суму всіх таких найменших чисел позначимо mm. Знайдіть число M−mM - m.
9 класСуми послідовностей
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-23-24-019

Найменше n для куба з одноколірними гранями

Для деякого n>1n > 1 є n3n^3 одиничних кубиків. Петрик фарбує грані цих кубиків у білий та чорний кольори таким чином, щоб кожна грань була повністю пофарбована в один з кольорів. Кубики не обов’язково всі пофарбовані однаково. Василь переможе, якщо із цього набору кубиків побудує великий куб зі стороною nn, у якого кожна грань має однаковий колір, інакше — переможе Петрик. При якому найменшому nn переможе Василь?
10 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-23-24-020

Кількість різних значень f(n) для n до 33333

Для кожного натурального nn визначимо f(n)f(n) — найменше натуральне число, взаємно просте із числом nn, а f(n)+1f(n)+1 — взаємно просте із числом n+1n+1. Скільки попарно різних чисел містить множина {f(1),f(2),…,f(33 333)}\{f(1), f(2), \ldots, f(33\,333)\}?
10 класПрості числа (базові властивості)
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-23-24-025

Рівні хорди на колі та відрізки FD і FM

На заданому колі із центром у точці MM вибрано різні точки AA, BB, CC, що задовольняють умову AB=BCAB = BC. Точка DD лежить усередині кола так, що трикутник BCDBCD — рівносторонній. Другу точку перетину заданого кола та прямої ADAD позначимо через FF. Доведіть, що FD=FMFD = FM.
11 класЦентральні і вписані кути
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-23-24-026

Функціональне рівняння з добутком xf(y)

Знайдіть усі такі функції f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, які для довільних дійсних xx, yy задовольняють рівність (y+1)f(x)+f(xf(y)+f(x+y))=y.(y+1)f(x) + f(xf(y) + f(x+y)) = y.
11 класВластивості ін'єктивність або сюр…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-23-24-005

Нерівність для суми з числами Фібоначчі

Нехай (Fn)(F_n) — послідовність чисел Фібоначчі, тобто F0=F1=1F_0 = F_1 = 1, Fn+2=Fn+1+FnF_{n+2} = F_{n+1} + F_n, n⩾0n \geqslant 0. Послідовність (an)(a_n) визначимо таким чином: an=1FnFn+2a_n = \dfrac{1}{F_nF_{n+2}}, n⩾0n \geqslant 0. Доведіть, що для всіх n⩾0n \geqslant 0 справджується нерівність a0+a1+…+an<1a_0 + a_1 + \ldots + a_n < 1.
8 класСуми послідовностей
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-23-24-006

Вписаний чотирикутник та центри вписаних кіл

Для вписаного чотирикутника ABCDABCD позначимо через LL, MM центри вписаних кіл трикутників ABCABC, BCDBCD відповідно. Нехай RR — точка перетину перпендикулярів, проведених із точок LL, MM на діагоналях ACAC та BDBD відповідно. Доведіть, що трикутник LMRLMR рівнобедрений.
8 класТеорема про тризуб
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-23-24-007

Максимальна кількість простих чисел у множині з дільниками

Множина SS із 20192019 попарно різних натуральних чисел має таку властивість: добуток будь-яких 100100 елементів набору чисел SS є дільником добутку інших 19191919 елементів. Яку максимальну кількість простих чисел може містити набір SS?
8 класФункція vₚ(n) та її властивості

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.