Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

666 задач
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіади
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-20-21-007

Квадрат, дотична до кола і перетин трьох прямих

Нехай ABCDABCD — квадрат, kk — коло із центром у точці BB, що проходить через точки AA, CC і деяку точку TT всередині квадрата. Дотична до кола kk у точці TT перетинає сторони CDCD і DADA в точках EE і FF відповідно. Нехай GG і HH — точки перетину прямих BEBE і BFBF з відрізком ACAC відповідно. Доведіть, що прямі BTBT, EHEH і FGFG проходять через одну точку.
8 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-20-21-008

Четвірки чисел з рівністю для будь-якої перестановки

Знайдіть усі такі четвірки чисел xi, i=1,4‾x_i,\ i = \overline{1,4}, коли для будь-якої перестановки індексів ii, jj, kk, ll (тобто {i,j,k,l}={1,2,3,4}\{i, j, k, l\} = \{1, 2, 3, 4\}) справджується рівність xi+xj=xk2+xl2+6xkxlx_i + x_j = x_k^2 + x_l^2 + 6x_kx_l.
8 класСиметричні системи рівнянь
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-20-21-018

Розфарбування n-кутника для гарних чисел 7 і 2021

Натуральне число nn називають гарним, якщо всі сторони та діагоналі правильного nn-кутника можна пофарбувати в декілька кольорів так, щоб для кожної пари вершин AA і BB існувала рівно одна вершина CC, відмінна від точок AA і BB і така, що всі сторони трикутника ABCABC були пофарбовані в однаковий колір. З’ясуйте, яке із чисел — n=7n = 7 чи n=2021n = 2021 — є гарним.
9 класПідрахунок двома способами
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-20-21-019

Добуток факторіалів і дві квадратні частки на факторіал

Позначимо деяке натуральне число через Pn=1!⋅2!⋅3!⋅…⋅n!P_n = 1! \cdot 2! \cdot 3! \cdot \ldots \cdot n!. Доведіть, що існує нескінченно багато таких натуральних nn, для яких число Pnm!\frac{P_n}{m!} є точним квадратом цілого числа принаймні для двох різних натуральних значень mm.
9 класОсновна теорема арифметики
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-20-21-026

Трикутник ADM і точка, симетрична центру кола

Нехай kk — коло із центром у точці OO. Нехай ABAB — хорда кола, точка MM — середина цієї хорди. Дотичні до кола kk у точках AA і BB перетинаються в точці TT. Пряма ll проходить через точку TT, перетинає коротшу дугу ABAB у точці CC, а довшу дугу ABAB — у точці DD так, що BC=BMBC = BM. Доведіть, що центр описаного кола трикутника ADMADM є точкою, яка симетрична точці OO відносно прямої ADAD.
10 класСтепінь точки відносно кола
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-20-21-027

Функціональне рівняння з добутками xf(y) та xy

Знайдіть усі функції f ⁣:R→Rf\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, коли ∀x,y∈R\forall x, y \in \mathbb{R} справджується рівність f(xf(y))=(1−y)f(xy)+x2y2f(y).f(xf(y)) = (1-y)f(xy) + x^2y^2f(y).
10 класБазові підстановки (однакові аргу…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-20-21-032

2018 кошиків з рівною масою і найчастіші м'ячі

Нехай a⩾2018a \geqslant 2018 — дійсне число, є 20182018 кошиків, кожен із яких містить скінченну кількість м’ячів. Відомо, що маса кожного м’яча дорівнює aka^k, де kk — ціле число, яке може бути різним для різних м’ячів, а сумарна маса всіх м’ячів у кожному кошику — однакова. Нехай BB — загальна кількість м’ячів з однаковою масою, які трапляються найчастіше. Знайдіть найменше можливе значення BB.
11 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-20-21-033

Зростаючі кортежі натуральних чисел з цілою часткою

Для заданого натурального nn знайдіть усі кортежі натуральних чисел (a1,a2,…,an)(a_1, a_2, \ldots, a_n), де a1<a2<…<ana_1 < a_2 < \ldots < a_n, такі, що для довільного натурального dd є цілим число (a1+d)(a2+d)…(an+d)a1a2…an.\frac{(a_1+d)(a_2+d)\ldots(a_n+d)}{a_1a_2\ldots a_n}.
11 класАрифметика остач (базові властиво…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-20-21-009

Найменше значення виразу при умові на добуток

Якщо числа xx, yy задовольняють умову (x+1)(y+2)=8(x+1)(y+2)=8, то якого найменшого значення може набувати вираз (xy−10)2(xy-10)^2?
8 класНерівність Коші
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-20-21-010

Рівносторонній трикутник CEH у прямокутному трикутнику

На катеті ABAB прямокутного рівнобедреного трикутника ABCABC із прямим кутом при вершині AA вибрано точку DD так, що 3AD=AB3AD = AB. У півплощині, яку задано прямою ABAB по один бік з точкою CC, вибрано таку точку EE, що ∠BDE=60∘\angle BDE = 60^\circ і ∠DBE=75∘\angle DBE = 75^\circ. Точка G=BC∩DEG = BC \cap DE, пряма, що проходить через точку GG паралельно прямій ACAC, перетинає пряму BEBE в точці HH. Доведіть, що трикутник CEHCEH — рівносторонній.
8 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-20-21-011

Натуральні числа, подавані у вигляді m + 2S(m)

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких існує натуральне число mm таке, що справджується рівність m+2S(m)=nm + 2S(m) = n. Примітка. Тут через S(m)S(m) позначено суму цифр натурального числа mm.
8 класКонструкція за індукцією
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-20-21-012

Рядки і стовпці з k клітинками без спільних вершин

Натуральне число k>1k > 1. Знайдіть найменше натуральне число nn, для якого деякі клітинки (комірки) 1×11 \times 1 дошки розміром n×nn \times n можна пофарбувати в чорний колір так, що в кожному рядку та кожному стовпці розташовано рівно kk чорних клітинок, при цьому жодні дві клітинки чорного кольору не мають спільних вершин.
8 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-20-21-020

Зростаюча функція із зсувом на 2019 і композицією

Назвемо функцію f:N→Nf:\mathbb{N} \to \mathbb{N} зростаючою, якщо ∀i<j⇒f(i)<f(j)\forall i < j \Rightarrow f(i) < f(j). Знайдіть усі такі зростаючі функції, які задовольняють умову f(n+2019)=f(f(f(f(n))))f(n+2019) = f(f(f(f(n)))) ∀n∈N\forall n \in \mathbb{N}.
9 класВластивості монотонності або обме…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-20-21-021

Мультиплікативна функція на сумах квадратів

Нехай функція f:N→Nf:\mathbb{N}\to\mathbb{N} задовольняє такі умови: - f(mn)=f(m)f(n)f(mn)=f(m)f(n) для взаємно простих чисел mm, nn; - f(4)=4f(4)=4 і f(m2+n2)=f(m2)+f(n2)f(m^2+n^2)=f(m^2)+f(n^2) для довільних натуральних чисел mm, nn. Доведіть, що для кожного натурального mm справджується рівність f(m2)=m2f(m^2)=m^2.
9 класМетод математичної індукції
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-20-21-028

Дотична і січна до кола та рівність відрізків

З точки PP проведено дотичну PAPA до кола Γ\Gamma, A∈ΓA \in \Gamma. Січна ll, що проходить через точку PP, перетинає коло Γ\Gamma у точках BB і CC, точка BB лежить на відрізку PCPC. Точка DD симетрична точці AA відносно точки PP. Кола w1w_1 і w2w_2, описані навколо трикутників DACDAC і PABPAB відповідно, мають другою точкою перетину точку E≠AE \neq A. Пряма BEBE перетинає вдруге коло w1w_1 у точці FF. Доведіть, що CF=ABCF = AB.
10 класЦентральні і вписані кути
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-20-21-029

Кругова подорож через міста країн, сполучені дорогами

Маємо на планеті MM країн і NN міст. Деякі міста сполучено дорогами. При цьому відомо, що: 1) у кожній країні щонайменше 33 міста; 2) кожне місто в країні сполучено дорогою принаймні з половиною міст своєї країни; 3) кожне місто сполучено дорогою рівно з одним містом деякої іншої країни; 4) існує щонайбільше 22 дороги між містами двох країн; 5) якщо у двох країнах є менше ніж 2M2M міст, то існує принаймні одна дорога між цими країнами. Доведіть, що за таких умов існує кругова подорож, що проходить щонайменше через M+12NM+\frac{1}{2}N міст.
10 класКласичні теореми теорії графів
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-20-21-034

Можливі значення ab+bc+ca при нульовій сумі чисел

Три дійсних числа aa, bb і cc задовольняють умови a+b+c=0a + b + c = 0 і a4+b4+c4=128a^4 + b^4 + c^4 = 128. Яких значень може набувати вираз ab+bc+caab + bc + ca?
11 класТеорема Вієта
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-20-21-035

Функції на парах натуральних чисел з подільністю

Знайдіть усі функції f ⁣:N×N→Nf\colon \mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{N}, які задовольняють такі умови: - f(a,b)+a+b=f(a,1)+f(1,b)+abf(a, b) + a + b = f(a, 1) + f(1, b) + ab справджується ∀a,b∈N\forall a, b \in \mathbb{N}; - якщо принаймні одне із чисел — a+ba + b чи a+b−1a + b - 1 — ділиться націло на просте число p>2p > 2, то й значення f(a,b)f(a, b) ділиться націло на pp.
11 класБазові підстановки (однакові аргу…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-20-21-013

Рекурентна послідовність із заданою умовою та сума членів

Відомо, що для кожного натурального nn справджується умова an+1=n+1nan+1a_{n+1} = \frac{n+1}{n}a_n + 1, при цьому a2020=2020a_{2020} = 2020. Чому може дорівнювати сума a1+a2+…+a2020a_1 + a_2 + \ldots + a_{2020}?
8 класСуми послідовностей
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-20-21-014

Рівність відрізків у рівнобедреному трикутнику

Точка DD — середина основи BCBC рівнобедреного трикутника ABCABC з кутом при вершині ∠BAC<60∘\angle BAC < 60^\circ. На прямій, що проходить через вершину BB перпендикулярно до сторони BCBC, вибрано таку точку EE, для якої ∠EAB=∠BAC\angle EAB = \angle BAC. На прямій, що проходить через вершину CC паралельно стороні BABA, вибрано таку точку FF, для якої ∠CAD=∠FAC\angle CAD = \angle FAC і точки FF і DD лежать по різні боки від прямої ACAC. Доведіть, що: а) AE=CFAE = CF; б) BF=EFBF = EF.
8 класСиметрія
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-20-21-015

Поділ 22 цукерок чотирьох кольорів між двома дітьми

Матуся принесла своїм дітям — Марії та Юрію пакунок із 2222 цукерками чотирьох різних кольорів, при цьому цукерок жовтого кольору було більше, ніж будь-якого іншого. Вона попросила поділити ці цукерки порівну за такими правилами. Діти будуть брати цукерки, поки пакунок не спорожніє. Юрій розпочинає першим і кожним своїм ходом бере дві довільні цукерки або одну — останню цукерку, якщо це останній хід у грі. Марія кожним своїм ходом бере по одній цукерці кожного з кольорів, що лишаються в пакунку, тобто вона може взяти від 11 до 44 цукерок у разі різних ситуацій. За якої максимальної та мінімальної кількості жовтих цукерок у пакунку гра може завершитися так, що в Марії та Юрія їх буде однакова кількість?
8 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-20-21-022

Нерівність для коренів-сторін трикутника із сумою 5

Нехай xx, yy, zz — дійсні числа такі, що x\sqrt{x}, y\sqrt{y}, z\sqrt{z} — сторони трикутника, а xy+yz+zx=5\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}=5. Доведіть, що справджується нерівність x(y2−2z2)z+y(z2−2x2)x+z(x2−2y2)y⩾0.\frac{x(y^2-2z^2)}{z}+\frac{y(z^2-2x^2)}{x}+\frac{z(x^2-2y^2)}{y}\geqslant 0.
9 класЧислові нерівності
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-20-21-023

Перетин прямих AO та IT на описаному колі

Нехай дано коло Ω\Omega, описане навколо чотирикутника ABCDABCD, із центром у точці OO та коло ω\omega, що вписане в чотирикутник ABCDABCD, із центром у точці II. Діагоналі чотирикутника ACAC і BDBD перетинаються в точці EE. Коло ω\omega дотикається до сторін ADAD і ABAB у точках PP і QQ відповідно. Точка TT — це ортогональна проєкція точки EE на пряму PQPQ. Доведіть, що прямі AOAO та ITIT перетинаються в точці, що належить колу Ω\Omega.
9 класІнверсія
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-19-20-001

Пари a² + b і степінь двійки

Доведіть, що для кожного натурального nn існує не більше як дві пари натуральних чисел (a,b)(a, b), що задовольняють такі умови: a2+b=na^2 + b = n; a+b=2ka + b = 2^k, для деякого цілого невід’ємного kk.
8 класМетод факторизації (розкладання н…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-19-20-002

Множина попарно несхожих гарних четвірок

Четвірку цілих чисел (a,b,c,d)(a, b, c, d) називають гарною, якщо ad−bc=2018ad - bc = 2018. Дві гарні четвірки називають несхожими, якщо одну не можна отримати з іншої за скінченну кількість таких трьох дозволених операцій: - (a,b,c,d)→(−c,−d,a,b)(a, b, c, d) \to (-c, -d, a, b); - (a,b,c,d)→(a,b,c+a,d+b)(a, b, c, d) \to (a, b, c + a, d + b); - (a,b,c,d)→(a,b,c−a,d−b)(a, b, c, d) \to (a, b, c - a, d - b). Покажіть, що будь-яка множина попарно різних несхожих гарних четвірок має не більше як 30303030 елементів.
8 класАлгоритм Евкліда

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.