Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

2 587 задач
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-082

Найбільша кількість підмножин різного розміру без включень

Для деякого натурального n⩾4n \geqslant 4 розглянемо mm підмножин A1,A2,…,AmA_1, A_2, \ldots, A_m множини {1,2,…,n}\{1, 2, \ldots, n\}, що задовольняють такі умови: множина AjA_j, j=1,m‾j = \overline{1, m}, містить рівно jj елементів і для жодних i<ji < j не справджується включення Ai⊂AjA_i \subset A_j. Якого максимально можливого значення за таких умов може набувати mm?
9 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-083

Цифри в p коробках і подільність на p

Нехай p⩾2p \geqslant 2 — просте число, Петрик та Оксанка роблять по черзі ходи в такій грі. На столі стоять pp порожніх коробок одна за одною. Кожним ходом один із гравців кладе цифру в одну з коробок. Петрик ходить першим, і гра завершується, коли всі коробки стануть заповненими. Нехай ми отримали pp-цифрове число MM, у записі якого на початку можуть бути цифри 00. Мета Петрика — зробити число MM кратним числу pp, мета Оксанки — завадити цьому. Доведіть, що в Петрика є виграшна стратегія.
9 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-084

Послідовність з діленням на 3 або подвоєнням

Послідовність натуральних чисел (an)(a_n) задовольняє такі умови: an+1={13an,якщо an⋮3,2an+1,якщо інакше.a_{n+1}=\begin{cases}\dfrac{1}{3}a_n, & \text{якщо } a_n \vdots 3,\\ 2a_n+1, & \text{якщо інакше.}\end{cases} Покажіть, що послідовність (an)(a_n) або нескінченно зростає, або стає з певного моменту послідовністю 1,3,1,3,1,…1, 3, 1, 3, 1, \ldots.
9 класПослідовності (інші властивості)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-085

Опуклий n-кутник із правильних трикутників і чотирикутників

Дано довільну кількість правильних трикутників і чотирикутників зі стороною 11. Для яких натуральних nn із цих фігур можна побудувати опуклий nn-кутник, якщо обов'язково мають бути використані і трикутник, і чотирикутник? Примітка. Фігури мають повністю покривати nn-кутник і не накладатися одна на одну.
9 класРозрізання, покриття та замощення
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-118

Цілочисельні квадратні тричлени з нулями та рівність квадратів

Припустимо, що квадратні тричлени PP, QQ, RR, усі коефіцієнти яких — цілі числа, задовольняють такі умови: - P(1)=P(2)=Q(3)=0P(1) = P(2) = Q(3) = 0; - P2(x)+Q2(x)=R2(x),∀x∈RP^2(x)+Q^2(x)=R^2(x), \forall x \in \mathbb{R}; - не існує цілого числа, більшого від 11, що ділить усі коефіцієнти тричленів PP, QQ, RR; - коефіцієнт при x2x^2 у тричленів PP, QQ не нульовий, а в тричлена RR — додатний. Знайдіть усі многочлени RR, що задовольняють ці умови.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-119

Перпендикулярні чевіани трикутника і кут FDE

Нехай PP — точка всередині трикутника ABCABC, прямі APAP, BPBP і CPCP перетинають сторони BCBC, CACA та ABAB відповідно в точках DD, EE і FF. Нехай QQ — точка на промені BEBE така, що E∈BQE \in BQ і ∠EDQ=∠FDB\angle EDQ = \angle FDB. Нехай BE⊥ADBE \perp AD і DQ=2BDDQ = 2BD. Доведіть, що ∠FDE=60∘\angle FDE = 60^\circ.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-120

Перетини k та k+1 підмножин нескінченної сім’ї

Для даного натурального k⩾2k \geqslant 2 побудуйте таку множину AA, що складається з нескінченної кількості множин натуральних чисел, для якої перетин будь-яких kk елементів множини AA (тобто підмножин множини натуральних чисел) містить рівно один елемент, а перетин будь-яких двох (k+1)(k+1)-го елементів множини AA є порожнім.
10–11 класиБієкції
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-121

Бієкція N₀ та рівність для f(a), f(b), f(c)

Позначимо множину через N0=N∪{0}\mathbb{N}_0 = \mathbb{N} \cup \{0\}. Відомо, що f:N0→N0f: \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0 — бієкція, тобто взаємно однозначна відповідність. Доведіть, що існують такі цілі невід’ємні числа a<b<ca < b < c, для яких f(a)+f(c)=2f(b)f(a) + f(c) = 2f(b).
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-039

Чотири числа із сумою квадратів 4 і сума двох

Додатні числа a,b,c,da, b, c, d задовольняють умову a2+b2+c2+d2=4a^2+b^2+c^2+d^2=4. Доведіть, що існують два із цих чисел, сума яких не менша від 22.
7–8 класиЧислові нерівності
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-040

Таблиця 4×4 із сумами та найменше найбільше число

Попарно різні натуральні числа записано в комірках таблиці розміром 4×44 \times 4 таким чином, що в кожному рядку та кожному стовпці одне із чисел дорівнює сумі трьох інших. Позначимо через MM найбільше із 1616 записаних чисел. Якого найменшого значення може набувати число MM?
7–8 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-041

Бісектриса трикутника та паралельна їй пряма через вершину

У різносторонньому трикутнику ABCABC проведено бісектрису BDBD. З вершини CC проведено пряму, паралельну прямій BDBD, до перетину з продовженням сторони ABAB у точці FF. Доведіть, що трикутник BCFBCF — рівнобедрений.
7–8 класиПаралельні прямі і січна
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-042

Рівносторонні трикутники на сторонах трикутника і кут ABC

На сторонах трикутника ABCABC як на основах побудовано рівносторонні трикутники ABC1ABC_1 і A1BCA_1BC — у зовнішній бік та AB1CAB_1C — у внутрішній. Точки A1A_1, B1B_1 і C1C_1 лежать на одній прямій. Знайдіть кут ABCABC.
7–8 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-043

Чотири рядки і чотири стовпці для 12 чорних комірок

На дошці розміром 8×88 \times 8 довільні 1212 одиничних квадратиків (комірок) 1×11 \times 1 зафарбовано в чорний колір. Доведіть, що можна вибрати 44 рядки та 44 стовпці, у яких розташовано всі 1212 чорних комірок. Примітка. Кожна чорна комірка лежить або у вибраному рядку, або у вибраному стовпці.
7–8 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-044

Гра з парами коробок і різна кількість кульок

На столі стоїть 20182018 різних коробок. Петрик та Івасик грають у таку гру: вони по черзі, починає Петрик, записують пари коробок, при цьому кожна пара може бути записаною не більше ніж один раз. Вибір пар коробок завершується, коли записано 40324032 такі пари. Після цього Івасик нумерує кожну пару числами 1,2,…,40321, 2, \ldots, 4032 та для кожного k=1,4032‾k=\overline{1, 4032} кладе по kk кульок у кожну коробку з пари, що пронумерована номером kk. Чи зможе Івасик досягти того, щоб у кожній коробці була різна кількість кульок?
7–8 класиКласичні ігри
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-045

Власні дільники двох чисел, збільшені на один

Знайдіть усі пари натуральних чисел n,m⩾2n, m \geqslant 2, які задовольняють такі умови: якщо записати всі власні дільники числа mm у порядку зростання d1<d2<…<dkd_1 < d_2 < \ldots < d_k, то всіма власними дільниками числа nn є числа d1+1, d2+1, …, dk+1d_1 + 1,\ d_2 + 1,\ \ldots,\ d_k + 1. Примітка. Нагадаємо, що власним дільником числа ll є будь-який дільник, відмінний від 11 і ll.
7–8 класиДільники та кратні (базові власти…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-046

Рекурентна послідовність та квадрати раціональних чисел

Нехай (xn)(x_n), n∈Nn \in \mathbb{N}, — послідовність, що рекурентно задана такими умовами: xn+1=3xn3+xnx_{n+1} = 3x_n^3 + x_n, де дріб x1=abx_1 = \dfrac{a}{b} — додатний і нескоротний, при цьому число 33 не ділить число bb. Доведіть, що коли для деякого натурального mm число xmx_m є квадратом деякого раціонального числа, то x1x_1 також є квадратом раціонального числа.
7–8 класиОсновна теорема арифметики
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-047

Розбиття сітки 20×20 на прямокутники з чорними комірками

Дано сітку розміром 20×2020 \times 20, поділену на комірки 1×11 \times 1. Ми розглядаємо фарбування комірок у чорний і білий колір та розділ сітки на прямокутники, сторони яких ідуть уздовж ліній сітки. Для заданого фарбування PP розглянемо всі розділення його на прямокутники, серед яких немає таких, що містять більше ніж 22 чорні комірки. Позначимо через n(P)n(P) найменшу кількість прямокутників з не більше ніж однією чорною коміркою серед усіх таких розділень. Знайдіть найбільше значення n(P)n(P), якщо PP пробігає всі можливі розфарбування.
7–8 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-048

Значення квадратного тричлена з 2018 простими дільниками

Доведіть, що для довільної пари натуральних чисел (a,b)(a, b) існує натуральне nn, для якого число n2+an+bn^2 + an + b має щонайменше 20182018 попарно різних простих дільників.
7–8 класиМетод математичної індукції
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-086

Відстані від внутрішньої точки рівностороннього трикутника і нерівність

Нехай PP — внутрішня точка рівностороннього трикутника з висотою 11, відстані від точки PP до сторін трикутника позначимо через xx, yy, zz. Доведіть, що справджується нерівність x2+y2+z2⩾x3+y3+z3+6xyzx^2+y^2+z^2 \geqslant x^3+y^3+z^3+6xyz.
9 класНерівність Коші-Буняковського
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-087

Симетрії основи висоти та центри описаних кіл

У прямокутному трикутнику ABCABC з гіпотенузою ABAB проведено висоту CDCD. Точки EE та FF — образи точки DD при симетрії відносно прямих ACAC і BCBC відповідно. Точки O1O_1 і O2O_2 — центри описаних кіл трикутників EBCEBC і AFCAFC відповідно. Доведіть, що 2O1O2=AB2O_1O_2 = AB.
9 класОписане коло
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-088

Відношення сторін чотирикутника і відрізків діагоналі

Діагоналі опуклого чотирикутника ABCDABCD перетинаються в точці EE, при цьому ABCD=BCAD=BEDE\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{BC}{AD} = \sqrt{\dfrac{BE}{DE}}. Доведіть, що ABCDABCD — паралелограм або вписаний чотирикутник.
9 класМетричні співвідношення в колі
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-089

Гра фарбування 2018 точок і одноколірний трикутник

Маємо 20182018 точок, розташованих так, як показано на рис. 8.1. Петрик та Івасик по черзі фарбують (розпочинає Петрик) раніше не зафарбовані точки в жовтий і синій кольори, Петрик — у жовтий, Івасик — у синій. Після 20182018 ходів, коли всі точки було зафарбовано, якщо існує рівносторонній трикутник з усіма вершинами одного кольору, то перемагає Петрик, інакше — перемагає Івасик. Хто може перемогти за умови правильної гри?
9 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-090

Середина сторони, бісектриси кутів і прямий кут

Нехай точка DD є серединою сторони BCBC гострокутного трикутника ABCABC, точка PP належить відрізку ADAD. Бісектриси кутів ABPABP і ACPACP перетинаються в точці QQ. Виявилося, що BQ⊥QCBQ \perp QC. Доведіть, що точка QQ належить відрізку APAP.
9 класОсновна властивість бісектриси
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-122

Кількість спільних членів двох послідовностей

Дві послідовності (an)(a_n) і (bn)(b_n) задано такими умовами: a0=b0=2,a1=b1=14,an=14an−1+an−2іbn=6bn−1−bn−2, n⩾2.a_0 = b_0 = 2, \quad a_1 = b_1 = 14, \quad a_n = 14a_{n-1} + a_{n-2} \quad \text{і} \quad b_n = 6b_{n-1} - b_{n-2},\ n \geqslant 2. Скінченна чи нескінченна кількість натуральних чисел належить одночасно двом цим послідовностям?
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-123

Ламана з кроком 3 між протилежними вершинами куба

Розглянемо куб з ребром довжини 22. Точки AA і BB — вершини куба на найдовшій відстані одна від одної. Побудуємо послідовність вершин на поверхні куба A1,A2,…,AnA_1, A_2, \ldots, A_n, для яких A1=AA_1 = A, An=BA_n = B і ∀i=1, n−1→\forall i = \overrightarrow{1,\, n-1} AiAi+1=3A_iA_{i+1} = 3. Знайдіть найменше можливе значення nn.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.