Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

2 587 задач
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-120

Найменше x, що ділить N + y при y<x-1

Нехай дано натуральне N>1N > 1. Позначимо через xx найменше натуральне число, що має таку властивість: існує натуральне число y<x−1y < x - 1 таке, що x∣N+yx \mid N + y. Доведіть, що x=pkx = p^k або x=2px = 2p для деяких чисел: kk — натурального та pp — простого.
9 класОсновна теорема арифметики
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-121

Пари триномів з добутком триномом степеня 15

Назвемо триномом степеня pp многочлен вигляду xp+axq+1x^p+ax^q+1, де p>qp>q — натуральні числа, aa — довільне (можливо, нульове) дійсне число. Знайдіть усі пари триномів, які в добутку дають трином 1515-го степеня.
9 класМетод невизначених коефіцієнтів
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-159

Зростання і спадання послідовності з цілими частинами

Нехай [x][x] — ціла частина числа xx. Визначимо послідовність an=1n([n1]+[n2]+…+[nn])a_n=\frac{1}{n}\left(\left[\frac{n}{1}\right]+\left[\frac{n}{2}\right]+\ldots+\left[\frac{n}{n}\right]\right). Доведіть, що an+1>ana_{n+1}>a_n для нескінченної кількості натуральних nn. Чи справджується протилежна нерівність для нескінченної кількості натуральних nn?
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-160

Опуклий чотирикутник і стала відстань між центрами кіл

В опуклому чотирикутнику ABCDABCD найкоротша сторона ABAB строго менша від найдовшої сторони CDCD. Доведіть, що на стороні CDCD існує така точка EE, що для довільної точки PP на відрізку CDCD, відмінної від точки EE, довжина відрізка O1O2O_1O_2 є сталою величиною, де O1,O2O_1, O_2 — центри описаних кіл трикутників APDAPD та BPEBPE відповідно.
10–11 класиОписане коло
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-161

Ферзі на дошці 2017 × 2017 з обмеженою атакою

Яку найбільшу кількість ферзів можна розташувати на шахівниці розміром 2017×20172017 \times 2017 таким чином, щоб кожний ферзь був атакований не більше ніж одним іншим?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-162

Функція на натуральних числах з рівністю

Чи існує функція f ⁣:N→Nf\colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}, що для всіх натуральних mm, nn задовольняє умову f(mf(n))=f(m) f(m+n)+n?f(mf(n)) = f(m)\,f(m+n) + n?
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-163

Функціональне рівняння з добутком xy − 1

Знайдіть усі функції f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R} такі, що ∀x,y∈R\forall x, y\in\mathbb{R} задовольняють рівність f(xy−1)+f(x) f(y)=2xy−1.f(xy-1)+f(x)\,f(y)=2xy-1.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-164

Найменший об’єм многогранника з проєкціями на грані паралелепіпеда

Усередині прямокутного паралелепіпеда (ПП) одиничного об’єму розміщено опуклий многогранник MM таким чином, що його проєкція на кожну з граней ПП збігається з усією гранню. Який найменший об’єм може мати многогранник MM?
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-057

Порівняння двох добутків сум степенів a і b

Порівняйте числа AA та BB, де A=(a2001+b2001)(a2002+b2002)(a2017+b2017)(a2018+b2018);A=(a^{2001}+b^{2001})(a^{2002}+b^{2002})(a^{2017}+b^{2017})(a^{2018}+b^{2018}); B=(a2008+b2008)(a2009+b2009)(a2010+b2010)(a2011+b2011),B=(a^{2008}+b^{2008})(a^{2009}+b^{2009})(a^{2010}+b^{2010})(a^{2011}+b^{2011}), а числа a≠ba \neq b — натуральні.
7–8 класиЧислові нерівності
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-058

Найменше середнє різних натуральних чисел з дробовою частиною

На дошці записано декілька різних цілих додатних чисел. Середнє арифметичне цих чисел дорівнює десятковому числу, дрібна частина якого дорівнює точно 0,20160{,}2016. Яке найменше можливе значення середнього арифметичного цих чисел?
7–8 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-059

Покупки морозива з монетами від 1 до 20

У Країні Дурнів в обігу є лише монети номіналом 11, 22, 33, …\ldots, 1919, 2020, інших не існує. У Буратіно була одна монета. Він купив порцію морозива та отримав одну монету решти. Потім знову купив таке саме морозиво й отримав решту в три монети різного номіналу. Буратіно хотів утретє купити таке саме морозиво, але грошей не вистачило. Скільки коштує порція морозива?
7–8 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-060

Чотирикутник на медіанах трикутника як прямокутник

У трикутнику ABCABC проведено медіани AA1AA_1, BB1BB_1 та CC1CC_1, що перетинаються в точці TT, при цьому A1B=A1TA_1B = A_1T. На промені CC1CC_1 за точкою C1C_1 вибрано точку C2C_2, для якої C1C2=13CC1C_1C_2 = \frac{1}{3}CC_1, та аналогічно на промені BB1BB_1 за точкою B1B_1 узято точку B2B_2, для якої B1B2=13BB1B_1B_2 = \frac{1}{3}BB_1. Доведіть, що чотирикутник TB2AC2TB_2AC_2 — прямокутник.
7–8 класиТочка перетину медіан
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-061

Точка P всередині трикутника і точка H на BC

Усередині трикутника ABCABC розміщено точку PP. На стороні BCBC вибрано точку HH таким чином, що бісектриса кута AHPAHP перпендикулярна до сторони BCBC. Крім того, ∠ABC=∠HPC\angle ABC = \angle HPC та ∠BPC=130∘\angle BPC = 130^\circ. Знайдіть величину кута BACBAC.
7–8 класиСиметрія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-062

Складання квадратів з чотирьох фігурок і квадрата

У Віки є чотири фігурки, кожна з яких складається з квадратиків 1×11 \times 1, при цьому кожна з фігурок є зв'язною по стороні квадратика (тобто шахова тура може пройти між будь-якими двома квадратиками фігурки). Аліна має квадрат n×nn \times n, а Поліна — квадрат m×mm \times m, де m≠nm \neq n. Аліна та Віка можуть скласти квадрат, використовуючи всі свої п'ять фігурок. Чи можуть Поліна та Віка також скласти квадрат, використовуючи всі свої п'ять фігурок? Примітка. Квадрати треба складати без накладань фігурок і без просвітів між ними.
7–8 класиРозрізання, покриття та замощення
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-063

Гра Алекса і Білла зі збільшенням k чисел

Алекс і Білл грають у таку гру. Алекс вибирає натуральне число kk, що не перевищує 10001000, а Білл — набір чисел BB, що складається з n>kn > k чисел (не обов'язково різних) із множини {0,1,2,…,1000}\{0, 1, 2, \ldots, 1000\}. Далі Алекс вибирає будь-які kk чисел b1,b2,…,bkb_1, b_2, \ldots, b_k із множини BB і проводить такі зміни: для кожного i=1,k‾i = \overline{1, k} замінює число bib_i на число bi+1b_i + 1, якщо bi<1000b_i < 1000, і замінює число bib_i на 00, якщо bi=1000b_i = 1000. У разі коли після деякої кількості таких операцій усі числа в множині BB дорівнюють 00, Алекс перемагає. Інакше перемагає Білл. Для яких значень kk Алекс гарантовано переможе, незалежно від того, яку множину вибере Білл?
7–8 класиОстача від ділення
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-064

Гра з фішками на смужці з 2018 квадратів

Алекс і Барбара грають у гру на смужці з 20182018 одиничних квадратів, що пронумеровані зліва направо числами 1,2,…,20181, 2, \ldots, 2018. У них є 20182018 фішок, що так само пронумеровані числами 1,2,…,20181, 2, \ldots, 2018. Вони роблять по черзі ходи одного з таких типів: - гравець вибирає фішку, яка ще не стоїть на смужці та яку можна поставити в будь-який вільний від фішок одиничний квадрат, якщо при цьому всі фішки будуть розташовані зліва направо в порядку зростання їхніх номерів; - гравець вибирає фішку, яка стоїть на смужці та яку можна пересунути в сусідній справа чи зліва квадрат за умови, що він вільний та що фішка стає ближчою до квадрата з номером, який дорівнює номеру фішки. Наприклад, якщо фішка з номером 900900 розташована у квадраті з номером 10001000, то її можна пересунути лише ліворуч, а якщо вона розташована у квадраті з номером 900900, то пересунути її нікуди не можна. Виграє той, хто робить останній хід. Якщо першим ходить Алекс, то хто переможе в цій грі?
7–8 класиСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-065

Подільність b² + 3a на a²b для натуральних чисел

Визначте всі пари натуральних чисел (a,b)(a, b), для яких число a2ba^2b ділить націло число b2+3ab^2+3a.
7–8 класиДільники та кратні (базові власти…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-066

Рівняння з послідовними четвертими степенями і квадратами

Доведіть, що не має розв'язків у цілих числах таке рівняння: k4+(k+1)4+(k+2)4=n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2.k^4+(k+1)^4+(k+2)^4=n^2+(n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2.
7–8 класиМіркування за модулем
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-067

Числа з ненульовими цифрами та дільниками після викреслювання

Знайдіть усі натуральні числа n⩾11n \geqslant 11, які мають таку властивість: усі цифри числа nn ненульові, а після викреслювання будь-якої кількості цифр із запису числа nn отримують число, що є дільником числа nn.
7–8 класиДільники та кратні (базові власти…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-068

Найбільша кількість додатних чисел на колі з 2018 точок

На колі відмічено 20182018 точок, кожну з яких помічено цілим числом. Кожне число більше за суму двох, що передують йому за рухом годинникової стрілки. Яка найбільша кількість додатних чисел може трапитися в такій конфігурації?
7–8 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-069

Множина з числом 2018, дільниками і добутком плюс один

Множина натуральних чисел MM має такі властивості: - 2018∈M2018 \in M; - якщо m∈Mm \in M, то й усі дільники mm належать MM; - якщо k,m∈Mk, m \in M та 1<k<m1 < k < m, то число km+1∈Mkm + 1 \in M. Доведіть, що M=NM = N.
7–8 класиМетод математичної індукції
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-122

Нерівність з добутком та мінімумом чисел з інтервалу

Доведіть, що для довільних чисел a,b,c,d∈(0;1)a, b, c, d \in (0; 1) справджується нерівність (ab−cd)(ac+bd)(ad−bc)+min⁡{a,b,c,d}<1.(ab-cd)(ac+bd)(ad-bc)+\min\{a, b, c, d\}<1.
9 класНерівність Коші
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-123

Основи перпендикулярів із C і D та кут ABC

Точку DD вибрано на стороні BCBC гострокутного трикутника ABCABC таким чином, щоб AD=ACAD = AC. Точки PP, QQ — основи перпендикулярів, опущених із точок CC, DD на сторону ABAB. Відомо, що AP2+3BP2=AQ2+3BQ2AP^2 + 3BP^2 = AQ^2 + 3BQ^2. Знайдіть величину кута ABCABC.
9 класВідношення відрізків в подібних т…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-124

Описане коло трикутника AKL, що дотикається до BC

Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторін BCBC, ACAC та ABAB у точках DD, EE та FF відповідно. Точка MM — середина відрізка EFEF, точка LL — друга точка перетину описаного кола трикутника DFMDFM зі стороною ABAB, а точка KK — друга точка перетину описаного кола трикутника DEMDEM зі стороною ACAC. Доведіть, що описане коло трикутника AKLAKL дотикається до сторони BCBC.
9 класДотична кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-125

Можливий хід у грі з фішками на смужці

Алекс і Барбара грають у гру на смужці з 20182018 квадратів, що пронумеровані зліва направо числами 1,2,…,20181, 2, \ldots, 2018. У них є 20182018 фішок, що так само пронумеровані числами 1,2,…,20181, 2, \ldots, 2018. Вони роблять по черзі ходи одного з таких типів: - гравець вибирає фішку, яка ще не стоїть на смужці та яку можна поставити в будь-який вільний квадрат, якщо при цьому всі фішки будуть розташовані зліва направо в порядку зростання їхніх номерів; - гравець вибирає фішку, яка стоїть на смужці та яку можна пересунути в сусідній справа чи зліва квадрат за умови, що він вільний та що фішка стає ближчою до квадрата з номером, який дорівнює номеру фішки. Наприклад, фішку з номером 900900, якщо вона розташована у квадраті з номером 10001000, можна пересунути лише ліворуч, а якщо вона розташована у квадраті з номером 900900, то пересунути її нікуди не можна. Доведіть, що коли є фішка, яку ще не виставлено на смужку, то можна зробити черговий хід.
9 класМетод математичної індукції

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.