Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

2 587 задач
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-123

Послідовність кількостей дільників без квадратів

Кожному натуральному числу kk, k≥2k \ge 2 ставиться у відповідність послідовність an(k)a_n(k) за таким правилом: a0(k)=ka_0(k) = k, an(k)=τ(an−1(k))a_n(k) = \tau\left(a_{n-1}(k)\right) для n≥1n \ge 1, де через τ(a)\tau(a) позначається кількість різних дільників числа aa. Знайдіть усі kk, для яких послідовність an(k)a_n(k) не містить квадратів натуральних чисел.
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-124

Відношення площ чотирикутника APEF і трикутника ABP

Всередині трикутника ABCABC взяли точку PP, таку що ∠PBC=∠PCA<∠PAB\angle PBC = \angle PCA < \angle PAB. Пряма BPBP перетинає коло, описане навколо ΔABC\Delta ABC у точках BB та EE. Описане коло навколо ΔAPE\Delta APE перетинається з прямою CECE в точках EE та FF. Доведіть, що відношення площ чотирикутника APEFAPEF та трикутника ABPABP не залежить від точки PP.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-125

Функції на відрізку з рівністю різниць

Знайдіть усі функції f:[0,1]→[0,1]f : [0,1] \to [0,1], які задовольняють наступним умовам f(0)=0f(0) = 0, f(1)=1f(1) = 1, f(x+y)−f(x)=f(x)−f(x−y)f(x+y) - f(x) = f(x) - f(x-y) для будь-яких x,y≥0x, y \ge 0, таких що (x−y),(x+y)∈[0,1](x - y), (x + y) \in [0,1].
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-126

Покриття кола перетинами дуг двох покриттів

Нехай SS – це коло і α={A1,...,An}\alpha = \{A_1, ..., A_n\} – сімейство відкритих дуг на SS. Нехай N(α)=nN(\alpha) = n позначає кількість елементів в α\alpha. Будемо казати, що α\alpha є покриттям SS, якщо S⊂⋃k=1nAkS \subset \bigcup\limits_{k=1}^{n} A_k. Нехай α={A1,...,An}\alpha = \{A_1, ..., A_n\} і β={B1,...,Bm}\beta = \{B_1, ..., B_m\} – два покриття SS. Доведіть, що з сімейства всіх множин виду Ai∩BjA_i \cap B_j, i=1,n‾i = \overline{1,n}, j=1,m‾j = \overline{1,m} можна обрати покриття γ\gamma кола SS, таке що N(γ)≤N(α)+N(β)N(\gamma) \le N(\alpha) + N(\beta).
10–11 класиЖадібний алгоритм
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-127

Нерівність з добутком двох сум для a, b, c

Нехай a,b,ca, b, c додатні числа, довести нерівність: (1a+1b+1c)(11+a+11+b+11+c)≥91+abc.\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)\left(\frac{1}{1+a} + \frac{1}{1+b} + \frac{1}{1+c}\right) \ge \frac{9}{1 + abc}.
10–11 класиНерівність Коші
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-128

Рівність відношень протилежних сторін опуклого шестикутника

Для опуклого шестикутника ABCDEFABCDEF справджуються такі рівності: AD=BC+EFAD = BC + EF, BE=AF+CDBE = AF + CD, CF=DE+ABCF = DE + AB. Доведіть, що тоді ABDE=CDAF=EFBC\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{CD}{AF} = \dfrac{EF}{BC}.
10–11 класиВекторний метод
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-129

Два рівняння з трьома квадратами 0 і 1

Нехай a,b,ca, b, c – цілі числа, відмінні від нуля. Відомо, що рівняння ax2+by2+cz2=0ax^2 + by^2 + cz^2 = 0 має цілий ненульовий розв'язок. Довести, що рівняння ax2+by2+cz2=1ax^2 + by^2 + cz^2 = 1 має розв'язок у раціональних числах.
10–11 класиРівняння Пелля
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-043

Найменша кількість кольорів бездоганного розфарбування 17-кутника

Є правильний 17-кутник A1A2...A17A_1A_2...A_{17}. Відстань dijd_{ij} між вершинами AiA_i і AjA_j (i≠j)(i \ne j) означимо як dij=min⁡{∣j−i∣+1, 18−∣j−i∣}d_{ij} = \min\{|j-i|+1,\, 18-|j-i|\} тобто dijd_{ij} дорівнює найменшій кількості вершин між вершинами AiA_i і AjA_j, включаючи їх самих, якщо йти вздовж межі багатокутника. Розфарбування 17-кутника назвемо бездоганним, якщо будь-які дві вершини, відстань між якими дорівнює або 3, або 5, або 9, зафарбовано різними кольорами. Скільки щонайменше потрібно кольорів для бездоганного розфарбування 17-кутника?
8–9 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-044

Натуральні числа a, b, c та цілість двох дробів

Відомо, що для натуральних чисел a,b,ca, b, c число a3+bb3+c\frac{a\sqrt{3}+b}{b\sqrt{3}+c} – ціле. Довести, що тоді цілим є і число a2+b2+c2a+b+c\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}.
8–9 класиРаціональні та ірраціональні числа
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-045

Система нерівностей з добутками x³y для додатних чисел

Для додатних чисел x,y,zx, y, z розв'язати систему нерівностей x3y+3≤4zx^3y + 3 \le 4z, y3z+3≤4xy^3z + 3 \le 4x, z3x+3≤4yz^3x + 3 \le 4y.
8–9 класиНерівність Коші
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-046

Прямокутний трикутник, перетин кіл і бісектриса

У прямокутному трикутнику ABCABC з прямим кутом ∠A\angle A точка MM – середина сторони BCBC. На промені ACAC вибрано таку точку DD, що AD=AMAD = AM. Нехай PP – точка перетину кіл, описаних навколо трикутників AMCAMC і BDCBDC, що відмінна від точки CC. Довести, що CPCP – бісектриса кута ∠ACB\angle ACB.
8–9 класиЦентральні і вписані кути
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-047

Кількість лисиць, вовків і ведмедів на полюванні

Лисиці, вовки і ведмеді організували велике полювання на кроликів. Усього в полюванні взяли участь 4545 мисливців. Кожна лисиця вполювала 5959 кроликів, кожен вовк – 4141 кролика, кожен ведмідь – 4040 кроликів; усі ж разом вони вполювали 20082008 кроликів. Скільки серед мисливців було лисиць, вовків і ведмедів?
8–9 класиЛінійні діофантові рівняння
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-048

Безліч розв’язків рівняння з сумою квадратів

Довести, що для довільного натурального n≥2n \ge 2 рівняння 1+x12+x22+…+xn2=y21 + x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 = y^2 має безліч розв'язків у натуральних числах таких, що 1<x1<x2<…<xn<y1 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n < y
8–9 класиМетод факторизації (розкладання н…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-049

Межі дробу зі сторонами трикутника та медіанами

Знайти найбільше дійсне число pp та найменше дійсне число qq, для яких нерівність p<a+mbb+ma<qp < \dfrac{a + m_b}{b + m_a} < q справджується для довільного трикутника ABCABC зі сторонами a,ba, b і відповідними медіанами ma,mbm_a, m_b.
8–9 класиІнші нерівності в геометрії
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-050

Рівняння з перевернутим записом числа та половиною

Нехай натуральне число A=a1a2...an−1an‾A = \overline{a_1a_2...a_{n-1}a_n}. Розглянемо функцію f(A)=anan−1...a2a1‾f(A) = \overline{a_na_{n-1}...a_2a_1} (наприклад f(123)=321f(123) = 321, f(100)=1f(100) = 1). Розв'язати рівняння f(n)=⌈n2⌉f(n) = \left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil, де nn – натуральне, а ⌈x⌉\lceil x \rceil – найменше ціле число, що не менше за xx (наприклад: ⌈2,1⌉=3\lceil 2{,}1 \rceil = 3, ⌈π⌉=4\lceil \pi \rceil = 4).
8–9 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-051

Число n за 16720 трійок із сумою, кратною трьом

Нехай AnA_n позначає кількість різних трійок (a,b,c)(a, b, c) елементів з множини A={1,2,...,n}A = \{1, 2, ..., n\} таких, що (a−b)(b−c)(c−a)≠0(a-b)(b-c)(c-a) \neq 0 і (a+b+c)⋮3(a+b+c) \vdots 3. Знайти всі nn, для яких An=16720A_n = 16720.
8–9 класиРозбиття на випадки
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-052

Гра у вписування чисел 1–16 та виграшна стратегія

Богдан та Сашко грають у гру «Молодець». Вони по черзі вписують в різні клітинки дошки числа 1,2,…,161, 2, \ldots, 16 (в кожній клітинці дошки – одне число), причому числа у будь-якому рядку, стовпчику чи в 1616 квадратах 44 на 44 різні (рис. 21). Програє той, хто не зможе вписати наступне число. Першим ходить Богдан. Хто має у цій грі стратегію, щоб виграти?
8–9 класиСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-130

Дев'ять міст з односторонніми дорогами і круговий маршрут

Дев'ять міст зв'язані дорогами з одностороннім рухом. З кожного міста виходять 3 дороги по яким можна виїхати в 3 інших міста. Довести, що існує круговий маршрут, що узгоджений з напрямком руху і містить не більше ніж 3 міста.
10–11 класиОрієнтовані графи
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-131

Нерівність для чисел з проміжку від нуля до одиниці

Для довільних x1,x2,...,xn∈[0,1)x_1, x_2, ..., x_n \in [0, 1) довести нерівність: 1(1−x1)(1−x2)...(1−xn)≥1+x11−x1+(2x22−x1−x2)2+...+(nxnn−x1−x2−...−xn)n.\frac{1}{(1-x_1)(1-x_2)...(1-x_n)} \ge 1 + \frac{x_1}{1-x_1} + \left(\frac{2x_2}{2-x_1-x_2}\right)^2 + ... + \left(\frac{nx_n}{n-x_1-x_2-...-x_n}\right)^n.
10–11 класиНерівність Коші
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-132

Гра з червоними та зеленими фішками

На початку гри на столі знаходиться mm червоних та nn зелених фішок. Дмитро та Євген роблять ходи по черзі. Кожним своїм ходом гравець вибирає колір і забирає зі стола kk фішок цього кольору, причому kk повинно бути дільником кількості фішок іншого кольору, які в даний момент знаходяться на столі. Виграє той, хто забере зі стола останню фішку. Починає Дмитро. Хто з хлопців може забезпечити собі виграш при правильній грі?
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-133

Замкнені обмежені фігури з півколами між точками

Опишіть усі замкнені обмежені фігури Ф на площині, кожні дві точки яких можна з'єднати півколом, яке цілком належить Ф.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-134

Натуральні розв'язки рівняння x² + y² = n²

Для кожного натурального nn позначимо через M(n)M(n) кількість натуральних розв'язків рівняння x2+y2=n2x^2 + y^2 = n^2. Доведіть, що існує натуральне число mm, що для усіх n>mn > m виконується нерівність: M(n)n<120082008.\frac{M(n)}{n} < \frac{1}{2008^{2008}}.
10–11 класиПіфагорові трійки
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-135

Захоплення квадратної станції починаючи з n відсіків

Космічна станція має форму квадрата n×nn \times n, n≥3n \geq 3 поділеного на n2n^2 відсіків розміру 1×11 \times 1. Відсіки є суміжними, якщо мають спільну сторону. У першій день інопланетяни захопили деякі nn відсіків, а потім кожного наступного дня захоплюють усі вільні відсіки, для яких принаймні два сусідні відсіки вже захоплено. Чи може трапитись, що після [n22]\left[\dfrac{n^2}{2}\right] дня ще залишаються вільні (не захоплені) відсіки, але врешті-решт усю станцію буде захоплено? Тут [a][a] – ціла частина числа aa.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-136

Відношення відрізків KL і MN у гострому куті

Дано гострий кут з вершиною OO. На одній стороні обрано довільні точки A,DA, D, на іншій – B,CB, C. Нехай M,NM, N – середини відрізків ABAB і CDCD відповідно. KK – точка перетину дотичних до описаного кола трикутника OABOAB в точках AA і BB; LL – точка перетину дотичних до описаного кола трикутника OCDOCD в точках CC і DD. Довести, що відношення KLMN\frac{KL}{MN} не залежить від вибору точок A,B,C,DA, B, C, D.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-137

Рівняння з цілими частинами степенів ікса

Розв'язати рівняння: [x2−1]+[x]=[x3]+[2x],\left[x^2 - 1\right] + [x] = \left[x^3\right] + [2x], де [x][x] – ціла частина xx.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.