Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

998 задач
Бразильська математична олімпіада (OBM)
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-050

Кути трикутника з точок дотику вписаного кола

На рисунку нижче зображено прямокутний трикутник ABCABC з прямим кутом CC і коло всередині нього, яке дотикається до трьох сторін ABAB, BCBC і CACA у точках C1C_1, A1A_1 і B1B_1 відповідно. Нехай HH — основа висоти, проведеної до сторони A1C1A_1C_1 трикутника A1B1C1A_1B_1C_1. a) Обчисліть величину кута ∠A1C1B1\angle A_1C_1B_1. b) Доведіть, що точка HH лежить на бісектрисі кута ∠BAC\angle BAC.
Дотична кола
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-055

Рекурентна послідовність з приростом оберненого квадрата

Послідовність дійсних чисел xnx_{n} — це впорядкований список дійсних чисел, у якому перше число списку — це член x1x_{1}, друге — член x2x_{2} і так далі. Наприклад, звичайну послідовність додатних цілих чисел можна описати як xn=nx_{n}=n для всіх натуральних чисел nn. Деякі послідовності можна задавати рекурентними співвідношеннями, у яких член визначається через свої попередні. Наприклад, послідовність додатних цілих чисел можна було б задати як x1=1x_{1}=1 і xn=xn−1+1x_{n}=x_{n-1}+1 для всіх натуральних чисел n≥2n \geq 2. Тоді можна було б обчислити x2=1+1=2x_{2}=1+1=2, x3=2+1=3x_{3}=2+1=3 і так далі. Розглянемо послідовність дійсних чисел, задану як x1=1x_{1}=1 і xn=xn−1+1xn−12x_{n}=x_{n-1}+\frac{1}{x_{n-1}^{2}} для всіх натуральних чисел n≥2n \geq 2. a) Обчисліть x2,x3x_{2}, x_{3} і x4x_{4}. b) Перевірте, що послідовність строго зростає, тобто що xn>xn−1x_{n}>x_{n-1} для всіх натуральних чисел nn. c) Зауважимо, що послідовність, здається, зростає дуже повільно. Після обчислення кількох початкових членів можна було б запідозрити, що жоден член не перевищує 2016, але насправді ми доведемо, що існують члени, більші за 2016. Для цього скористаємося допоміжною послідовністю yn=xn3y_{n}=x_{n}^{3}. Доведіть, що yn>yn−1+3y_{n}>y_{n-1}+3 для всіх n≥2n \geq 2. d) Доведіть, що існує таке число NN, що xN>2016x_{N}>2016.
Послідовності (інші властивості)
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-047

Конгруентні трикутники з центрів квадратів

Розглянемо гострокутний трикутник ABCA B C і квадрати ABZXA B Z X та ACWYA C W Y, побудовані зовні на його сторонах. Точки MM і PP — середини відрізків BCB C і XYX Y відповідно; точки QQ і NN — центри квадратів ABZXA B Z X і ACWYA C W Y відповідно; а точки RR і SS — середини сторін ABA B і ACA C відповідно. Доведемо, що чотирикутник MNPQM N P Q — квадрат, у кілька кроків. a) Перевірте, що трикутники QRMQ R M і MSNM S N конгруентні. b) Перевірте, що ∠QMN=90∘\angle Q M N=90^{\circ}. c) Знаючи попередні результати, покажіть, що чотирикутник MNPQM N P Q — квадрат.
Паралельні прямі і теорема Фалеса
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-003

Колінеарні точки з рівними відрізками

Розглянемо три колінеарні точки BB, CC і DD такі, що CC лежить між BB і DD. Нехай AA — точка, яка не належить прямій BDBD, така, що AB=AC=CDAB = AC = CD. a. Якщо ∠BAC=36∘\angle BAC = 36^{\circ}, то доведіть, що 1CD−1BD=1CD+BD\frac{1}{CD} - \frac{1}{BD} = \frac{1}{CD + BD} b. Припустимо тепер, що виконується 1CD−1BD=1CD+BD\frac{1}{CD} - \frac{1}{BD} = \frac{1}{CD + BD} Доведіть, що ∠BAC=36∘\angle BAC = 36^{\circ}.
Ознаки подібності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-015

Покриття дошки 6×6 L-триміно

Фігурки нижче називаються LL-триміно. Цими фігурками повністю покривають дошку 6×66 \times 6. У такому покритті кожне LL-триміно покриває рівно 3 клітинки дошки 6×66 \times 6, і жодна клітинка не покрита більше ніж одним LL-триміно. а) Скільки LL-триміно використано для покриття дошки 6×66 \times 6? б) У покритті всієї дошки будемо казати, що ряд (рядок або стовпець) перетинає LL-триміно, коли ряд містить принаймні одну з клітинок, покритих цим LL-триміно. Якби існувало покриття дошки 6×66 \times 6, у якому кожен ряд перетинав би рівно однакову кількість L-триміно, то якою була б ця кількість? в) Доведіть, що не існує покриття дошки 6×66 \times 6 LL-триміно, у якому кожен ряд перетинає однакову кількість LL-триміно.
Підрахунок двома способами
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-013

Група гостей свята, що не дарували подарунків одне одному

На святі присутні 2017 людей. У певний момент кожна з них дарує подарунок іншому гостю (можливо, що один гість отримає більше одного подарунка). Покажіть, що можна знайти групу з 673 людей на святі так, щоб жодні двоє з них не дарували подарунків одне одному.
Орієнтовані графи
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-049

Сума третього стовпця на дошці 5×5

Кожне з чисел 1,2,3,…,251,2,3, \ldots, 25 розміщено в одній з клітин дошки 5×55 \times 5. У кожному рядку вони йдуть у порядку зростання зліва направо. Знайдіть найбільше та найменше можливі значення суми чисел третього стовпця.
Оптимальна конструкція (оцінка і…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-005

Спільний дідусь або бабуся серед дітей

На святі є 25 дітей. Відомо, що будь-які двоє з них мають принаймні одного спільного дідуся чи бабусю (діда або бабу). Поясніть, чому принаймні 17 дітей мають або одного й того самого діда, або одну й ту саму бабу в цій родині.
Принцип Діріхле (скінченні множин…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-016

Прості числа з десятковим періодом довжини 5

Знайдіть усі прості числа pp такі, що десятковий запис дробу 1p\frac{1}{p} має період довжини 5. Зауваження: якщо десятковий запис числа має послідовність цифр, яка повторюється періодично, то довжина найменшої послідовності цифр, що повторюється, є довжиною періоду десяткового запису. Наприклад, 61/495=0,1232323…61 / 495=0{,}1232323 \ldots, хоча 23, 2323 є послідовностями цифр, що повторюються в десятковому записі, довжина найменшої послідовності дорівнює 2, і це є довжина періоду.
Порядок (показник) числа за модул…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-010

Вибір різнокольорових намистин із коробок

Є 2m2m намистин mm різних кольорів, по дві кожного кольору. Ці намистини розкладено в mm коробок, по дві в кожній коробці, так, що можна вибрати по одній намистині з кожної з них і отримати набір із mm намистин різних кольорів. Доведіть, що кількість способів зробити такий вибір обов'язково є степенем двійки.
Зв’язність
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-018

Розбиття натуральних чисел з нескінченним класом

Розбиттям множини натуральних чисел називається набір множин A1,A2,…,AkA_{1}, A_{2}, \ldots, A_{k} такий, що кожне натуральне число належить рівно одній з них. Зауважимо, що в будь-якому розбитті множини натуральних чисел принаймні одна з цих множин є нескінченною, бо інакше множина натуральних чисел була б об'єднанням скінченної кількості скінченних множин і була б, отже, скінченною. Приклад розбиття множини натуральних чисел: за A1A_{1} взяти множину всіх парних натуральних чисел, а за A2A_{2} — множину всіх непарних натуральних чисел. Існує багато можливих розбиттів, і наступні два пункти є загальними фактами, які можна перевірити для будь-якого з цих розбиттів. a) Поясніть, чому для кожного фіксованого додатного цілого xx завжди існує якась із множин AiA_{i} з нескінченною кількістю кратних xx. b) За попереднім пунктом, для даних двох додатних цілих pp і qq існує одна з множин розбиття з нескінченною кількістю кратних pp та інша множина, що містить нескінченну кількість кратних qq. Однак ці дві множини не обов'язково мають збігатися. Покажіть тепер, що завжди якась із цих множин AiA_{i} містить нескінченну кількість кратних будь-якого додатного цілого.
Принцип Діріхле (інші випадки)
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-045

Впорядковані пари з фіксованою сумою та НСД

Скільки існує впорядкованих пар (a,b)(a, b), де aa і bb — натуральні числа, таких, що a+b+НСД(a,b)=33?a + b + \text{НСД}(a, b) = 33? (Тут НСД — найбільший спільний дільник.)
НСД та НСК
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-053

Цілі розв’язки білінійної системи

Знайдіть усі цілі розв’язки системи {xz−2yt=3xt+yz=1\left\{\begin{array}{l} x z-2 y t=3 \\ x t+y z=1 \end{array}\right.
Метод факторизації (розкладання н…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-044

Лінійне рівняння з 28 розв'язками

Нехай nn — натуральне число. Якщо рівняння 2x+2y+z=n2x + 2y + z = n має 28 розв'язків у натуральних числах xx, yy і zz, знайдіть усі можливі значення nn.
Лінійні діофантові рівняння
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-001

Мітки годинника, що утворюють многокутник

Починаючи з полудня, Жуан кожні 80 хвилин робить позначку в положенні годинної стрілки свого годинника. a) Через скільки часу вже не буде потреби робити нові позначки на годиннику? b) Яка сума внутрішніх кутів многокутника, утвореного позначками?
Кути багатокутника. Зовнішні кути
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-002

Співвідношення Ейлера для зрізаного куба

Франсішку щойно вивчив на уроці стереометрії співвідношення Ейлера для опуклих многогранників: V+F=A+2V+F=A+2 У наведеній вище рівності VV, AA і FF позначають кількість вершин, ребер і граней многогранника відповідно. Можна перевірити, що співвідношення Ейлера справджується для зображеного нижче куба, оскільки він має 6 граней, 12 ребер, 8 вершин і V+F=8+6=12+2=A+2V+F=8+6=12+2=A+2 Франсішку вирішив перевірити співвідношення Ейлера на іншому многограннику, отриманому з дерев'яного куба. Він позначив середини кожного ребра і на кожній грані з'єднав їх, утворивши квадрати, як показано на рисунку нижче. Потім він відрізав 8 пірамід, утворених навколо кожної вершини, отримавши новий многогранник. Визначте: а) нову кількість вершин; б) нову кількість ребер; в) нову кількість граней.
Планарні графи
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-003

Ітерації дробового перетворення

Науковий калькулятор Жоао має спеціальну клавішу, яка перетворює будь-яке число xx, записане на екрані й відмінне від 11, на число 11−x\frac{1}{1-x}. а) Що станеться, якщо на екрані записано число 22 і натиснути спеціальну клавішу тричі? б) Що станеться, якщо на екрані записано число 22 і натиснути спеціальну клавішу десять разів? в) Нарешті, що станеться, якщо на екрані записано число 22 і натиснути спеціальну клавішу 20152015 разів?
Періодичні і неперіодичні послідо…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-004

Квадратні корені зі зсунутих добутків

a) Жозе навчився швидше обчислювати добутки двох чисел методом, що ґрунтується на розкладі на множники: (n−k)(n+k)=n2−k2(n-k)(n+k)=n^{2}-k^{2} Щоб обчислити 23⋅1723 \cdot 17, він вибирає n=20,k=3n=20, k=3 і обчислює: 23⋅17=202−32=400−9=39123 \cdot 17=20^{2}-3^{2}=400-9=391 Знайдіть без калькулятора значення 1001⋅1003+1\sqrt{1001 \cdot 1003+1}. b) Перевірте, що (n(n+3)+1)2=n(n+1)(n+2)(n+3)+1(n(n+3)+1)^{2}=n(n+1)(n+2)(n+3)+1. c) Знайдіть без калькулятора значення: (2014)(2015)(2016)(2017)+1\sqrt{(2014)(2015)(2016)(2017)+1}
Розкладання на множники і розкрит…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-005

Члени арифметичної прогресії із заданими сумами

Арифметична прогресія, яку зазвичай називають А. П., — це послідовність, у якій кожен член, починаючи з другого, дорівнює сумі попереднього члена і фіксованого числа rr, яке називають різницею прогресії. Наприклад, послідовність нижче є арифметичною прогресією з початковим членом 3 і різницею 4. a1=3,a2=7,a3=11,a4=15,a5=19,a6=23,a7=27,a8=31,a9=35,…a_{1}=3, a_{2}=7, a_{3}=11, a_{4}=15, a_{5}=19, a_{6}=23, a_{7}=27, a_{8}=31, a_{9}=35, \ldots Зауважимо, що ми позначаємо число на позиції ii символом aia_{i}. а) Якщо перший член арифметичної прогресії дорівнює 2, а її різниця дорівнює 3, чому дорівнює значення четвертого члена? б) Вчителька Жуана попросила його обчислити одинадцятий член арифметичної прогресії. На жаль, він забув, якими були початковий член і різниця. Єдині відомості, які він пам'ятав, були такими: a4+a7+a10=207a5+a6+a7+a8+a9+a10+a11=553\begin{aligned} a_{4}+a_{7}+a_{10} & =207 \\ a_{5}+a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}+a_{10}+a_{11} & =553 \end{aligned} Чому дорівнює одинадцятий член?
Арифметична прогресія
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-006

Початкові числа після двох замін сумами

Фокусник Магіматик викликає трьох людей із залу: Ану, Бету і Кайю, щоб вони допомогли йому в його матемагії. Він каже кожному задумати число від 1 до 50, не повідомляючи його фокусникові, і сказати його кожному з двох інших учасників. Далі кожен з них має одночасно замінити своє число на суму чисел двох інших. Наприклад, Ана отримує суму чисел Бету і Кайю. Потім Магіматик просить їх повторити цей процес ще раз. Після завершення другої заміни він просить їх назвати свої числа. Ана відповідає 104, Бету — 123, а Кайю — 137. На подив усіх, Магіматик вгадує початкові числа, вибрані цими трьома. Які числа було вибрано спочатку?
Лінійні рівняння та системи
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-007

Тупокутні трикутники з малими цілими сторонами

Для трикутника зі сторонами a≤b≤ca \leq b \leq c за теоремою косинусів маємо: cos⁡C^=a2+b2−c22ab\cos \hat{C}=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b} Якщо кут C^\hat{C} тупий, cos⁡C^<0\cos \hat{C}<0. Оскільки 2ab2 a b додатне, це те саме, що a2+b2−c2<0a^{2}+b^{2}-c^{2}<0. Тому, щоб трикутник був тупокутним, квадрат найбільшої сторони має бути більшим за суму квадратів двох інших сторін. Крім того, за нерівністю трикутника знаємо, що найбільша сторона менша за суму двох інших. Ці дві умови можна об'єднати в нерівності a2+b2<c2<(a+b)2a^{2}+b^{2}<c^{2}<(a+b)^{2} Скільки тупокутних трикутників можна утворити з цілими додатними сторонами, меншими за 7? Зауваження: Вважайте, що два трикутники з однаковими довжинами сторін, але в різному порядку, являють собою той самий трикутник.
Метод оцінок, що веде до малого п…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-008

Неперетинні множини смаків морозива

Педру вирішив повести всіх своїх дітей, хлопчиків і дівчаток, у морозивницю «Математичне морозиво» поласувати морозивом. У морозивниці є 12 різних смаків морозива, і кожна дитина замовила комбо з 3 кульок морозива. Після виходу з морозивниці Педру помітив, що загалом було замовлено рівно по дві кульки кожного наявного смаку. a) Скільки всього дітей (дівчаток і хлопчиків) у Педру, якщо сам він морозива не їв? b) Педру уважніше придивився до смаків, які замовив кожен, і помітив, що жоден смак не був замовлений і хлопчиком, і дівчинкою, тобто якщо хлопчик обрав якийсь смак, то жодна дівчинка той самий смак не обирала. Знаючи, що принаймні один з його дітей — хлопчик і що доньок у нього більше, ніж синів, визначте кількість його доньок.
Парність та непарність
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-009

Сума послідовних непарних чисел

Дуже поширеним прийомом для обчислення сум є телескопічна сума. Вона полягає в «розкладанні» доданків суми на частини, які скорочуються. Наприклад, 11⋅2+12⋅3+13⋅4+14⋅5=(11−12)+(12−13)+(13−14)+(14−15)=11−15=45\begin{aligned} & \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 5}= \\ & \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)= \\ & \frac{1}{1}-\frac{1}{5}= \\ & \frac{4}{5} \end{aligned} За допомогою цього прийому можна знайти спосіб додавати послідовні непарні числа. Розгляньмо: a) Перелічуючи непарні числа по одному, починаючи з 1, перевірте, що число на позиції mm дорівнює m2−(m−1)2m^{2}-(m-1)^{2}. b) Обчисліть суму всіх непарних чисел між 1000 і 2014.
Суми послідовностей
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-010

Алгоритм відновлення пари чисел доміно

Фокусник Магіматик пропонує глядачеві вибрати довільну кісточку звичайного доміно. Така кісточка утворена парою чисел від 0 до 6. Далі він пропонує вибрати одне з чисел кісточки та виконати таку послідовність дій: 1. помножити його на 5; 2. до попереднього результату додати 15; 3. останній результат помножити на 22 і, нарешті, 4. до останнього результату додати інше число кісточки. Після виконання цих дій результат оголошують, а Магіматик вражає публіку, точно називаючи числа, написані на вибраному доміно. a) Відомо, що результат дорівнював 62. Як фокусник визначив числа, вибрані глядачем? b) Якщо результат дорівнював nn, як визначити числа вибраної кісточки?
Розклад по розрядах, десяткові др…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-011

Кількість цифр числа 2 у сотому степені

Скільки цифр має число 31003^{100}? Що ж, можна дати наближену відповідь на це запитання без калькулятора, просто порівнявши його зі степенями числа 1010. Зауважимо, що 32<103^{2}<10, звідки випливає, що (32)50=3100<1050(3^{2})^{50}=3^{100}<10^{50}. Отже, 31003^{100} має щонайбільше 5050 цифр, оскільки 105010^{50} — це перше число з 5151 цифрою. Насправді число 31003^{100} має 4848 цифр! А тепер ваша черга. Нехай NN — кількість цифр числа 21002^{100}. Знайдіть таке натуральне число kk, що k≤N≤k+5k \leq N \leq k+5.
Розклад по розрядах, десяткові др…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.