Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

998 задач
Бразильська математична олімпіада (OBM)
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2018-025

Червоні клітинки в грі на дошці 9×9

Марія та Педру грають на дошці 9×99 \times 9. Марія починає, фарбуючи у червоний колір 46 клітинок дошки. Далі Педру має вибрати квадрат 2×22 \times 2. Якщо вибраний Педру квадрат має 3 або більше клітинок, пофарбованих у червоний колір, то він виграє гру. Інакше виграє Марія. Хто з них може завжди гарантувати собі перемогу незалежно від ходу суперника?
8–9 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2018-026

Шаховий турнір з рівним розподілом очок

Розгляньмо шаховий турнір за участю землян та інопланетян, у якому кожен гравець грає проти кожного іншого рівно один раз. Наприкінці турніру кожен гравець здобув половину своїх очок у партіях проти землян і половину — у партіях проти інопланетян. Нехай tt і aa — кількості землян та інопланетян відповідно. Дайте відповідь на запитання: а) Яка загальна кількість партій цього турніру як функція від tt і aa? б) У цьому турнірі кожна перемога дає 1 очко, кожна нічия дає 0,5 очка, а кожна поразка дає нуль очок. Яка загальна кількість очок землян як функція від tt і aa? в) Доведіть, що загальна кількість гравців турніру є повним квадратом.
8–9 класиПідрахунок двома способами
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2018-027

Розфарбування дошки 7 на 7 з точністю до повороту

Дві клітинки дошки 7×77 \times 7 пофарбовано в жовтий колір, а решту — у зелений. Дві схеми розфарбування вважаються еквівалентними, якщо одну можна отримати з іншої поворотом у площині дошки. Скільки нееквівалентних схем розфарбування можна отримати?
8–9 класиКомбінації
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2018-028

Розламування ланцюжка для отримання всіх ваг

Жуан має єдиний шматок ланцюжка з nn ланок, кожна з яких важить 1 г1~\text{г}. Щоразу, коли ланку якогось шматка ланцюжка розламують, отримуємо 3 шматки. Наприклад, якщо шматок має 9 ланок і ми розламаємо четверту, то матимемо шматки з такою кількістю ланок: 3, 1 і 5. Розламана ланка й далі важить 1 г1~\text{г}. a) Якщо n=8n=8, покажіть приклад того, як, розламавши лише 2 ланки, отримати шматки, які можна поєднувати так, щоб отримати будь-яку вагу від 1 г1~\text{г} до 8 г8~\text{г}. b) Якщо n=16n=16, покажіть приклад того, як, розламавши лише 2 ланки, отримати шматки, які можна поєднувати так, щоб отримати будь-яку вагу від 1 г1~\text{г} до 16 г16~\text{г}. c) Якщо n=63n=63, покажіть приклад того, як, розламавши лише 3 ланки, отримати шматки, які можна поєднувати так, щоб отримати будь-яку вагу від 1 г1~\text{г} до 63 г63~\text{г}. d) Якщо n=k⋅2k−1n=k \cdot 2^{k}-1, покажіть приклад того, як, розламавши лише k−1k-1 ланки, отримати шматки, які можна поєднувати так, щоб отримати будь-яку вагу від 1 г1~\text{г} до n гn~\text{г}.
8–9 класиСистеми числення
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2018-029

Рівнобедрений трикутник з внутрішньою точкою

На рисунку нижче ABCABC — рівнобедрений трикутник із BA=BCBA = BC. Точка DD лежить всередині нього так, що ∠ABD=13∘\angle ABD = 13^{\circ}, ∠ADB=150∘\angle ADB = 150^{\circ} і ∠ACD=30∘\angle ACD = 30^{\circ}. Крім того, ADEADE — рівносторонній трикутник. Знайдіть величину кута ∠DBC\angle DBC.
8–9 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2018-030

Трикутник з рівністю сторони та кутовими умовами

У трикутнику ABCABC на рисунку точка DD лежить на стороні ABAB, причому AB=CDAB = CD, ∠ABC=100∘\angle ABC = 100^{\circ} і ∠DCB=40∘\angle DCB = 40^{\circ}. a) Яка градусна міра кута ∠BDC\angle BDC? b) Яка градусна міра кута ∠ACD\angle ACD?
8–9 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2018-031

Симетрія десяткового періоду простих чисел

а) Нехай pp — просте число, яке ділить 10n+110^{n}+1 для деякого цілого додатного nn. Наприклад, p=7p=7 ділить 103+110^{3}+1. Аналізуючи головний період десяткового зображення числа 1p\frac{1}{p}, доведіть, що кількість появ цифри ii дорівнює кількості появ цифри 9−i9-i для кожного i∈{0,1,2,…,9}i \in\{0,1,2, \ldots, 9\}. б) Розглянемо просте число pp, яке не ділить 10, і припустимо, що період десяткового зображення числа 1p\frac{1}{p} дорівнює 2k2k. Чи завжди можна розбити період на два числа, які в сумі дають 10k−110^{k}-1? Наприклад, період числа 17\frac{1}{7} має довжину 6=2k6=2k, оскільки дорівнює 142857. Зауважимо, що 142+857=999=103−1=10k−1142+857=999=10^{3}-1=10^{k}-1. в) Нехай x=11998+119998+1199998+…x=\frac{1}{1998}+\frac{1}{19998}+\frac{1}{199998}+\ldots Якщо записати 2x2x у вигляді десяткового числа, якою буде 5959-та цифра після коми?
8–9 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-019

Показникові рівняння зі степенями

Відомо, що 8x2x+y=64і9x+y34y=243\frac{8^{x}}{2^{x+y}}=64 \quad \text{і} \quad \frac{9^{x+y}}{3^{4 y}}=243 Знайдіть значення 2xy2 x y.
8–9 класиПоказникові та логарифмічні рівня…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-020

Добутки різних степенів чисел 2, 3, 5

Жуан записав усі степені чисел 22, 33 і 55, більші за 11 і менші за 20172017, на аркуші паперу. Потім він утворив усі можливі добутки двох різних чисел із цього аркуша і записав їх на іншому аркуші паперу. Скільки цілих чисел Жуан записав на другому аркуші?
8–9 класиОсновна теорема арифметики
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-021

Білий квадрат на дошці з вісьмома чорними клітинками

Квадрат 9×99 \times 9 поділено на 81 квадратик 1×11 \times 1, і 8 з них пофарбовано в чорний колір, а решту — в білий. a) Покажіть, що незалежно від того, які саме квадратики пофарбовано, завжди можна знайти квадрат 3×33 \times 3, складений із квадратиків і зі сторонами, паралельними сторонам дошки, так, щоб усі його квадратики були білими. b) Наведіть приклад розфарбування дошки, за якого не можна знайти жодного прямокутника з більш ніж 9 квадратиками, також складеного із квадратиків і зі сторонами, паралельними сторонам дошки, який не містив би пофарбованого в чорний колір квадратика.
8–9 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-022

Простота числа з одиниць із двійкою посередині

Визначте, чи число 11…1⏟2016211…1⏟2016\underbrace{11 \ldots 1}_{2016} 2 \underbrace{11 \ldots 1}_{2016} є простим чи складеним.
8–9 класиМетод факторизації (розкладання н…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-023

Нумерація трикутної сітки з різницями 1 або 2

На рисунку нижче намальовано 16 рівносторонніх трикутників зі стороною 11. Кажемо, що два з них є сусідніми, якщо вони мають спільну сторону. Визначте, чи можна вписати числа від 11 до 1616 у ці трикутники так, щоб усі різниці між числами, вписаними у два сусідні трикутники, дорівнювали 11 або 22.
8–9 класиШляхи на графах
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-024

Спільна дотична вписаних кіл двох частин трикутника

Точку DD вибрано на стороні BCBC трикутника ABCABC. Пряма, дотична до вписаних кіл трикутників ABDABD і ADCADC та відмінна від прямих BCBC і ADAD, перетинає відрізок ADAD у точці TT. Якщо AB=40 смAB=40\ \text{см}, AC=50 смAC=50\ \text{см} і BC=60 смBC=60\ \text{см}, знайдіть довжину відрізка ATAT.
8–9 класиДотична кола
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-025

Кількість цифр у добутку та записі чисел поруч

а) Визначте кількість цифр добутку 111111⋅1111111111111111 \cdot 1111111111, у якому перший множник має 6 цифр, а другий — 10 цифр. б) Числа 220162^{2016} і 520165^{2016} записують одне біля одного, щоб утворити єдине число NN, яке має кількість цифр, що дорівнює сумі кількостей цифр цих двох чисел. Наприклад, якби ми зробили це з 232^{3} і 535^{3}, ми отримали б число 8125, яке має 4 цифри. Визначте кількість цифр числа NN.
8–9 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-026

Рівняння з аліквотними дробами

Жуан готувався до математичних олімпіад і натрапив на таке рівняння 1x+1y=12+1z\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2} + \frac{1}{z} де xx, yy і zz — натуральні числа. Після безуспішних спроб знайти всі розв'язки він попросив про допомогу вчителя Піралдо, який вирішив дати йому кілька підказок про те, як слід діяти. Допоможімо Жуану розтлумачити ці підказки. а) Якщо x=1x=1, знайдіть усі пари (y,z)(y, z) натуральних чисел, які задовольняють рівняння. б) Якщо x=2x=2 і y≥2y \geq 2, знайдіть усі пари (y,z)(y, z) натуральних чисел, які задовольняють рівняння. в) Якщо x=3x=3 і y≥3y \geq 3, знайдіть усі пари (y,z)(y, z) натуральних чисел, які задовольняють рівняння. г) Якщо xx і yy не менші за 4, перевірте, що рівняння не має розв'язків.
8–9 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-027

Перетин прямих у суміжних квадратах

На малюнку нижче ABCDABCD і EFGCEFGC — квадрати. Прямі BGBG і DEDE перетинаються в точці HH. a) Перевірте, що ∠BHD=90∘\angle BHD = 90^\circ, і зробіть висновок, що точка HH лежить одночасно на колах з діаметрами BDBD і EGEG. b) Знайдіть значення ∠AHD+∠DHG+∠GHF\angle AHD + \angle DHG + \angle GHF.
8–9 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-028

Відстань між бісектрисою та основою висоти

Трикутник ABCAB C має сторони завдовжки AB=50 смAB = 50~\text{см}, BC=20 смBC = 20~\text{см} і AC=40 смAC = 40~\text{см}. Нехай MM і NN — точки на стороні ABAB такі, що CMCM — бісектриса кута ∠ACB\angle ACB, а CNCN — висота, проведена до сторони ABAB. Чому дорівнює довжина відрізка MNMN у сантиметрах?
8–9 класиОсновна властивість бісектриси
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-029

Лінійне діофантове рівняння і складені числа

(a) Знайдіть усі пари (m,n)(m, n) невід'ємних цілих чисел, які задовольняють рівняння 5m+8n=1205 m + 8 n = 120 (b) Нехай aa, bb і cc — натуральні числа, де c>1c > 1, такі, що 1a+1b=1c\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c} Доведіть, що принаймні одне з чисел a+ca + c або b+cb + c є складеним числом, тобто має деякий дільник, більший за 1 і менший від нього самого.
8–9 класиЛінійні діофантові рівняння
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-030

Трикутники на папері в клітинку зі спільною вершиною

Жуан має аркуш паперу в клітинку розміром 10 клітинок завдовжки та 7 клітинок завширшки. Він вибрав 30 трикутників з вершинами в перетинах ліній цього паперу в клітинку. Поясніть, чому обов'язково існують принаймні два вибрані трикутники зі спільною вершиною.
8–9 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-031

Замощення дошки кутовими та прямими триміно

Хочемо покрити клітчасту дошку певними фігурками без накладань і так, щоб жодна їхня частина не виходила за межі дошки. Використовуватимемо фігурки, складені з клітинок, які називаються L-триміно та I-триміно і які можна повертати в положення, описані на рисунку нижче. Щоб довести, що покриття можливе, достатньо показати один спосіб розміщення фігурок. З іншого боку, щоб довести, що деяке покриття неможливе, не завжди зручно перевіряти всі можливі конфігурації фігурок, і часто потрібні винахідливі міркування. Наприклад, доведемо, що неможливо покрити дошку 3×33 \times 3, використовуючи лише L-триміно. Погляньте на зафарбовані клітинки на рисунку. Їх 4, і жодне L-триміно не може накрити дві з них. Отже, щоб накрити ці 4 клітинки, довелося б використати принаймні 4 L4 \mathrm{~L}-триміно, але це дало б 4⋅3=124 \cdot 3=12 накритих клітинок, що явно перевищує 9 клітинок усієї дошки. Тому неможливо покрити дошку 3×33 \times 3 L-триміно. a) Покажіть спосіб покрити дошку 3×43 \times 4, використовуючи лише L-триміно. b) Доведіть, що неможливо покрити дошку 3×53 \times 5, використовуючи лише L-триміно. c) Дошку 3×53 \times 5 можна покрити, використавши рівно одне I-триміно та кілька L-триміно. Визначте положення, які може займати I-триміно, щоб решту дошки можна було покрити L-триміно.
8–9 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-032

Дільники квадрата числа з обмеженнями

Щоб визначити кількість додатних дільників числа, достатньо розкласти його на степені різних простих чисел і перемножити числа, на одиницю більші за показники. Наприклад, 2016=25⋅32⋅712016=2^{5} \cdot 3^{2} \cdot 7^{1} має (5+1)(2+1)(1+1)=36(5+1)(2+1)(1+1)=36 додатних дільників. Розглянемо число n=27⋅34n=2^{7} \cdot 3^{4}. а) Визначте кількість додатних дільників числа n2n^{2}. б) Скільки дільників числа n2n^{2} більші за nn? в) Скільки дільників числа n2n^{2} більші за nn і не є кратними nn?
8–9 класиКількість дільників τ(n)
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-033

Конгруентні трикутники на зовнішніх квадратах

Розглянемо трикутник ABCABC і квадрати ABDEABDE та ACFGACFG, побудовані назовні на його сторонах. Відрізки BGBG і ECEC перетинаються в точці PP. a) Доведіть, що трикутники BAGBAG і EACEAC конгруентні. b) Оскільки ці два трикутники конгруентні та мають спільну точку AA, ми можемо повернути один із них навколо точки AA, щоб отримати інший. Визначте кут повороту та обчисліть кут ∠BPC\angle BPC.
8–9 класиПоворот
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-034

Серединний перпендикуляр і центр описаного кола

Серединним перпендикуляром до відрізка XYX Y називається пряма, перпендикулярна до відрізка, що проходить через його середину. Основна властивість серединного перпендикуляра полягає в тому, що точка лежить на ньому тоді й лише тоді, коли відстань від цієї точки до XX дорівнює відстані від цієї точки до YY. Твердження, сформульоване з використанням «тоді й лише тоді», рівносильне двом імплікаціям. У даному випадку, щоб перевірити сформульоване твердження, нам потрібно, з одного боку, показати, що якщо відстань до XX дорівнює відстані до YY, то точка лежить на серединному перпендикулярі. З іншого боку, нам потрібно показати, що якщо точка лежить на серединному перпендикулярі, то відстані до точок XX і YY рівні. Щоб довести першу частину, розгляньмо точку PP таку, що PX=PYP X=P Y, і нехай MM — середина відрізка XYX Y. Трикутники PMXP M X і PMYP M Y рівні, оскільки мають три відповідні сторони однакової довжини. Отже, ∠PMX=∠PMY\angle P M X=\angle P M Y. Оскільки X,MX, M і YY колінеарні, маємо ∠PMX+∠PMY=180∘\angle P M X+\angle P M Y=180^{\circ}. Отже, ∠PMX=90∘\angle P M X=90^{\circ} і PP лежить на прямій, перпендикулярній до відрізка, що проходить через його середину. a) Доведіть другу частину твердження, тобто доведіть, що якщо PP — точка на серединному перпендикулярі до відрізка XYX Y, то PX=PYP X=P Y. b) Доведіть, що будь-який трикутник ABCA B C має точку OO в тій самій площині таку, що OA=OB=OCO A=O B=O C. Ця точка називається центром описаного кола трикутника, оскільки коло з центром OO і радіусом AOA O проходить через три вершини трикутника ABCA B C. c) Розгляньмо чотирикутник ABCDA B C D. Припустимо, що серединні перпендикуляри до відрізків ABA B, ACA C і ADA D перетинаються в одній точці, тобто всі три проходять через одну й ту саму точку. Доведіть, що існує коло, яке проходить через 4 вершини чотирикутника ABCDA B C D.
8–9 класиТочка перетину серединних перпенд…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-035

Нескінченно багато чисел з рівною сумою цифр

Натуральне число nn є цікавим, якщо сума цифр числа nn дорівнює сумі цифр числа 3n+113n+11. Доведіть, що існує нескінченно багато цікавих чисел.
8–9 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-036

Максимальна кількість людей у ряду стільців

У ряд стоїть 2017 вільних стільців. Щохвилини приходить людина й сідає на один із вільних стільців і, у той самий момент, якщо сусідній стілець зайнятий, людина із сусіднього стільця встає й іде. Яка найбільша кількість людей, які можуть одночасно сидіти в ряду стільців?
8–9 класиОптимальна конструкція (оцінка і…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.