Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

72 задачі
Румунський майстер математики (RMM)
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2020-002

Нулі у взаємно гармонічних періодичних послідовностях

Нехай для натурального N⩾2N \geqslant 2 a=(a1,…,aN)a=(a_1,\ldots,a_N) та b=(b1,…,bN)b=(b_1,\ldots,b_N) є послідовностями цілих невід'ємних чисел. Для кожних i,k∈Ni,k \in \mathbb{N}: i≡k(modN)⇒ai=ak,bi=bki \equiv k \pmod{N} \Rightarrow a_i=a_k,\quad b_i=b_k. Скажемо, що послідовність aa є bb-гармонічною, якщо ∀iai=12bi+1∑s=−bibiai+s\forall i\quad a_i=\dfrac{1}{2b_i+1}\sum\limits_{s=-b_i}^{b_i} a_{i+s}. Припустимо, що ні aa, ні bb не є сталими послідовностями, а також послідовність aa є bb-гармонічною, а послідовність bb є aa-гармонічною. Доведіть, що з 2N2N чисел a1,…,aN, b1,…,bNa_1,\ldots,a_N,\ b_1,\ldots,b_N принаймні N+1N+1 є нулем.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2020-003

Непарний замкнений маршрут з рейсами різних авіакомпаній

У країні є n⩾3n \geqslant 3 аеропортів та nn авіакомпаній, що здійснюють двосторонні рейси на певних авіалініях. Для кожної авіакомпанії є непарне число m⩾3m \geqslant 3 та mm різних аеропортів c1,…,cmc_1, \ldots, c_m, для яких усі рейси цієї авіакомпанії — це рейси між такими парами міст: c1c_1 та c2c_2, c2c_2 та c3c_3, …\ldots, cm−1c_{m-1} та cmc_m, cmc_m та c1c_1. Доведіть, що існує замкнений маршрут, що складається з непарної кількості рейсів, у якому жодні два рейси не здійснюються однією авіакомпанією.
10–11 класиДвочасткові графи
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2020-004

Сюр'єктивні функції, що зберігають вільні від сум множини

Множину A⊂NA \subset N називають вільною від сум, якщо для довільних та не обов’язково різних елементів xx, yy цієї множини їхня сума x+y∉Ax+y \notin A. Знайдіть усі сюр’єктивні функції f:N→Nf:\mathbb{N} \to \mathbb{N}, для яких кожна вільна від сум множина AA має образом множину f(A)={f(a)∣a∈A}f(A)=\{f(a) \mid a \in A\}, також вільну від сум. Примітка. Функцію f:N→Nf:\mathbb{N} \to \mathbb{N} називають сюр’єктивною, якщо ∀n∈N∃m∈N: f(m)=n.\forall n \in \mathbb{N}\quad \exists m \in \mathbb{N}:\ f(m)=n.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2020-005

Вузловий опуклий многокутник з однією новою вершиною

Вузлами на координатній площині називатимемо точки, обидві координати яких є цілими. Вузловим многокутником назвемо многокутник, у якого всі вершини є вузлами. Нехай Γ\Gamma — вузловий опуклий многокутник. Доведіть, що всі вершини цього многокутника Γ\Gamma містяться в деякому вузловому опуклому многокутнику Ω\Omega такому, що всі вершини Γ\Gamma лежать на межі Ω\Omega, та рівно одна вершина Ω\Omega не є вершиною Γ\Gamma.
10–11 класиДискретні набори точок та прямих…
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2020-006

Найбільші прості дільники сусідніх чисел та дивні пари

Для кожного натурального n⩾2n \geqslant 2 позначимо через F(n)F(n) найбільший простий дільник числа nn. Пару простих чисел pp та qq називають дивною, якщо не існує такого числа n⩾2n \geqslant 2, для якого F(n)F(n+1)=pqF(n) F(n+1) = pq. Доведіть, що існує нескінченно багато дивних пар.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2019-001

Гра з відніманням квадратів до нуля на дошці

Аня та Боб грають у таку гру. Спочатку Аня записує на дошці натуральне число. Потім гравці ходять по черзі. Розпочинає Боб. Кожним своїм кроком він вибирає натуральне число bb і замість числа nn, що було записане на цей момент на дошці, записує число n−b2n-b^2. Кожним своїм кроком Аня вибирає натуральне число kk і замість числа nn записує на дошці число nkn^k. Боб виграє, якщо число, записане на дошці, після якогось його кроку дорівнюватиме нулеві. Чи може Аня завадити Бобу виграти?
10–11 класиНапівінваріанти
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2019-002

Рівнобічна трапеція, середина діагоналі та дотичні до кіл

Дано рівнобічну трапецію ABCDABCD з основами ABAB і CDCD. Нехай точка EE — середина сторони ACAC, ω\omega та Ω\Omega — описані кола трикутників ABEABE та CDECDE відповідно. Точка PP — точка перетину дотичної до кола ω\omega у точці AA та дотичної до кола Ω\Omega у точці DD. Доведіть, що пряма PEPE дотикається до кола Ω\Omega.
10–11 класиДотична кола
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2019-003

Два різних простих цикли однакової довжини в графі

Дано додатнє число ε\varepsilon. Доведіть, що для всіх натуральних чисел nn, окрім скінченної кількості, справджується твердження: у довільному графі на nn вершинах, у якому кількість ребер не менша від (1+ε)n(1+\varepsilon)n, існують два різних простих цикли однакової довжини. Примітка. Графом називають множину VV вершин і множину EE ребер, де кожне ребро з множини EE є парою різних вершин із множини VV. Простий цикл довжини k⩾3k \geqslant 3 — це kk-елементна підмножина CC ребер із множини EE, для якої існує послідовність попарно різних вершин V1,V2,…,VkV_1, V_2, \ldots, V_k така, що для кожного 1⩽i<k1 \leqslant i < k пара {Vi,Vi+1}\{V_i, V_{i+1}\} належить підмножині CC і пара {Vk,V1}\{V_k, V_1\} також належить підмножині CC.
10–11 класиДерева
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2019-004

Многокутник з рівно n різними тріангуляціями

Доведіть, що для довільного натурального числа nn існує многокутник (не обов'язково опуклий), жодні три вершини якого не лежать на одній прямій і для якого існує рівно nn різних тріангуляцій.
10–11 класиГеометричні приклади і контрприкл…
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2019-005

Функціональне рівняння з x + y f(x) і xy

Знайдіть усі функції f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R} такі, що для всіх дійсних чисел xx, yy справджується рівність f(x+yf(x))+f(xy)=f(x)+f(2019y).f(x+yf(x))+f(xy)=f(x)+f(2019y).
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2019-006

Пари c, d і покриття остач орбітами многочлена

Знайдіть усі пари цілих чисел (c,d)(c, d), більших за 11, для яких виконується умова: для довільного многочлена QQ степеня dd із цілими коефіцієнтами та старшим коефіцієнтом 11 і довільного простого числа p>c(2c+1)p > c(2c + 1) існує така множина SS, яка складається не більше ніж із (2c−12c+1)p\left(\frac{2c-1}{2c+1}\right)p цілих чисел, що ⋃s∈S{s,Q(s),Q(Q(s)),Q(Q(Q(s))),…}\bigcup_{s \in S} \{s, Q(s), Q(Q(s)), Q(Q(Q(s))), \ldots\} містить повну систему остач за модулем pp (тобто перетинає кожен клас остач за модулем pp).
10–11 класиОрієнтовані графи
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2018-001

Вписаний чотирикутник і дотик двох описаних кіл

Нехай чотирикутник ABCDABCD — вписаний, а точка PP лежить на стороні ABAB. Діагональ ACAC перетинає відрізок DPDP у точці QQ. Пряма, що проходить через точку PP паралельно стороні CDCD, перетинає продовження сторони CBCB за точку BB у точці KK, а пряма, що проходить через точку QQ паралельно діагоналі BDBD, перетинає продовження сторони CBCB за точку BB у точці LL. Доведіть, що описані кола трикутників BKPBKP та CLQCLQ дотикаються.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2018-002

Два непостійні многочлени з рівністю виразів

Чи існують два непостійних многочлени P(x)P(x) і Q(x)Q(x) з дійсними коефіцієнтами такі, що P(x)10+P(x)9=Q(x)21+Q(x)20?P(x)^{10} + P(x)^9 = Q(x)^{21} + Q(x)^{20}?
10–11 класиДілення многочленів з остачею
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2018-003

Гра з орієнтуванням відрізків решітки та цикл

Анна та Боб грають у гру на нескінченній клітчастій решітці (сторона клітинки дорівнює 1), виконуючи ходи по черзі. Анна ходить першою. Хід полягає в тому, щоб орієнтувати один з одиничних відрізків решітки, який не був орієнтований раніше. Якщо в певний момент деякі орієнтовані відрізки утворюють орієнтований цикл, то виграє Боб. Чи дійсно стратегія Боба гарантує йому перемогу?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2018-004

Значення НСД двох лінійних виразів

Нехай a,b,c,da, b, c, d — натуральні числа такі, що ad≠bcad \neq bc та НСД(a,b,c,d)=1(a, b, c, d) = 1. Нехай SS — множина всіх значень, яких набуває вираз НСД(an+b,cn+d)(an + b, cn + d), коли nn пробігає всі натуральні числа. Доведіть, що SS є множиною всіх натуральних дільників деякого натурального числа.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2018-005

Кількість способів сполучити 2n точок на колі стрілками

Нехай nn — натуральне число. На колі зафіксовано 2n2n різних точок. Знайдіть кількість способів сполучити ці точки nn стрілками (орієнтованими відрізками) так, щоб виконувалися такі умови: - кожна з 2n2n точок є початком або кінцем деякої стрілки; - жодні дві стрілки не перетинаються; - не знайдеться двох стрілок AB‾\overline{AB} та CD‾\overline{CD} таких, що точки A,B,C,DA, B, C, D розташовані на колі в зазначеному порядку за годинниковою стрілкою (не обов'язково поспіль).
10–11 класиБієкції
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2018-006

Дотичні з точок кола і описане коло трикутника

Зафіксуємо коло Γ\Gamma, пряму ll, що дотикається до кола Γ\Gamma, і ще одне коло Ω\Omega, яке не має спільних точок із прямою ll, причому кола Γ\Gamma і Ω\Omega лежать по різні боки від ll. Дотичні до кола Γ\Gamma, проведені зі змінної точки XX, що лежить на колі Ω\Omega, перетинають пряму ll у точках YY та ZZ. Доведіть, що коли точка XX пробігає коло Ω\Omega, то описане коло трикутника XYZXYZ дотикається до двох фіксованих кіл.
10–11 класиІнверсія
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2016-001

Точка на стороні трикутника та прямі AD, BP, CQ

На стороні BCBC трикутника ABCABC вибрано точку DD, відмінну від вершин. Описане коло трикутника ABDABD перетинає вдруге сторону ACAC у точці EE, описане коло трикутника ACDACD перетинає вдруге сторону ABAB у точці FF. Позначимо через A′A' точку, що симетрична точці AA відносно сторони BCBC. Нехай A′C∩DE=PA'C \cap DE = P, A′B∩DF=QA'B \cap DF = Q. Доведіть, що прямі ADAD, BPBP та CQCQ перетинаються в одній точці або паралельні.
10–11 класиСиметрія
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2016-002

Найбільша кількість доміно без 2×2 з покритим верхнім рядом

Задано натуральні числа mm, nn, де n⩾mn \geqslant m. Визначте найбільшу кількість доміно (прямокутників розміром 1×21 \times 2 чи 2×12 \times 1), які можна розташувати на дошці, що має mm рядків та 2n2n стовпчиків, розрізаних на квадратики 1×11 \times 1, щоб виконувалися такі умови: - кожне доміно покриває рівно дві сусідні комірки дошки; - жодні два доміно не перекриваються; - жодні два доміно не утворюють разом квадрат 2×22 \times 2; - верхній ряд дошки повністю покритий nn фігурками доміно.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2016-003

Кубічна послідовність із квадратами на місцях 2015 і 2016

Послідовність (an)(a_n) цілих чисел називають кубічною, якщо an=n3+bn2+cn+da_n = n^3 + bn^2 + cn + d, де bb, cc, dd — цілі константи, а nn пробігає всі можливі цілі значення (у тому числі й від’ємні). а) Доведіть, що існує кубічна послідовність, у якій тільки два елементи a2015a_{2015} та a2016a_{2016} є квадратами цілих чисел. б) Визначте всі можливі значення членів a2015a_{2015} та a2016a_{2016} для всіх кубічних послідовностей, що задовольняють умову пункту а).
10–11 класиМетод діофантових січних
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2016-004

Нерівність для додатних x, y зі степенем 2016

Нехай xx, yy — додатні числа, що задовольняють умову x+y2016⩾1x+y^{2016}\geqslant 1. Доведіть, що x2016+y⩾1−1100x^{2016}+y\geqslant 1-\frac{1}{100}.
10–11 класиІнші класичні нерівності
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2016-005

Вписаний шестикутник і радіуси трьох дотичних кіл

Опуклий шестикутник A1B1A2B2A3B3A_1B_1A_2B_2A_3B_3 вписано в коло Ω\Omega радіуса RR. Діагоналі A1B2A_1B_2, A2B3A_2B_3, A3B1A_3B_1 перетинаються в точці XX. Для i=1;2;3i = 1; 2; 3 позначимо через wiw_i коло, яке дотикається до відрізків XAiXA_i, XBiXB_i та дуги AiBiA_iB_i, що не містить інших вершин шестикутника, rir_i — радіус кола wiw_i. а) Доведіть, що R⩾r1+r2+r3R \geqslant r_1 + r_2 + r_3. б) Доведіть, що коли R=r1+r2+r3R = r_1 + r_2 + r_3, то 6 точок, де кола wiw_i дотикаються до діагоналей A1B2A_1B_2, A2B3A_2B_3, A3B1A_3B_1, лежать на одному колі.
10–11 класиКоло і подібність
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2016-006

Скінченність послідовності перетворень AB-дерев

У тривимірному евклідовому просторі є множина з nn точок така, що жодні 4 з них не лежать в одній площині. Цю множину розбили на дві підмножини AA та BB. ABAB-деревом називають таку конфігурацію з n−1n-1 відрізка, кожний з яких має кінці в різних підмножинах AA та BB так, що відрізки не формують жодної замкненої ламаної. ABAB-дерево перетворюють на інше ABAB-дерево таким чином: вибирають довільні три різні відрізки A1B1A_1B_1, B1A2B_1A_2 та A2B2A_2B_2, де A1∈AA_1 \in A та A1B1+A2B2>A1B2+A2B1A_1B_1 + A_2B_2 > A_1B_2 + A_2B_1 і міняють сегмент A1B1A_1B_1 на A1B2A_1B_2. Доведіть для довільного заданого ABAB-дерева, що будь-яка послідовність припустимих перетворень дійде кінця, тобто після скінченної кількості кроків неможливо буде зробити жодного припустимого перетворення.
10–11 класиНапівінваріанти
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2015-001

Послідовність, взаємно прості лише сусідні члени

Чи існує нескінченна послідовність натуральних чисел a1, a2, a3, …a_1,\ a_2,\ a_3,\ \ldots, така що ama_m та ana_n — взаємно прості тоді і лише тоді, коли ∣m−n∣=1|m-n| = 1?
10–11 класиОсновна теорема арифметики
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2015-002

Гра трьох фішок на n-кутнику зі збільшенням площі

Дано натуральне число n⩾5n \geqslant 5. Два гравці грають у таку гру на правильному nn-кутнику. Початково на трьох послідовних вершинах многокутника лежить по одній фішці. За хід гравець має вибрати довільну фішку та пересунути на будь-яку кількість ребер уздовж границі в іншу вершину nn-кутника, не перескочуючи через інші фішки. Хід називають допустимим, якщо площа трикутника, утвореного фішками, після ходу строго більша, ніж до нього. Гравці роблять допустимі ходи по черзі, і той, хто не може зробити допустимий хід, програє. Для яких значень nn у гравця, що робить перший хід, є виграшна стратегія?
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.