Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

224 задачі
Швейцарська математична олімпіада
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2022-003

Послідовність із другим найбільшим дільником

Для цілого a≥2a \geq 2 позначимо через δ(a)\delta(a) другий за величиною дільник числа aa. Нехай (an)n≥1(a_{n})_{n \geq 1} — послідовність цілих чисел така, що a1≥2a_{1} \geq 2 і an+1=an+δ(an)a_{n+1}=a_{n}+\delta\left(a_{n}\right) для всіх n≥1n \geq 1. Доведіть, що існує натуральне число kk таке, що aka_{k} ділиться на 320223^{2022}.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2022-004

Розфарбування кола з умовою на послідовні групи

Нехай n≥3n \geq 3 — ціле число. Анналена має нескінченно багато коров'ячих дзвіночків кожного з nn різних кольорів. Для цілого числа m≥n+1m \geq n+1 і групи з mm корів, що стоять у колі, вона має пов'язати кожній корові на шию по одному дзвіночку так, щоб будь-яка група з n+1n+1 послідовних корів мала дзвіночки всіх можливих nn кольорів. Доведіть, що існує лише скінченно багато значень mm, для яких це неможливо, та визначте найбільше таке mm через nn.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2022-005

Парність показника найменшого простого дільника досконалого числа

Нехай n>6n > 6 — досконале число. Нехай p1a1⋅p2a2⋅…⋅pkakp_{1}^{a_{1}} \cdot p_{2}^{a_{2}} \cdot \ldots \cdot p_{k}^{a_{k}} — розклад числа nn на прості множники, де припускаємо, що p1<p2<…<pkp_{1} < p_{2} < \ldots < p_{k} і ai>0a_{i} > 0 для всіх i=1,…,ki = 1, \ldots, k. Доведіть, що a1a_{1} парне.
10–11 класиСума дільників σ(n)
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2022-006

Перпендикулярність інцентрів на стороні трикутника

Нехай ABCABC — трикутник, а PP — внутрішня точка сторони BCBC. Нехай I1I_{1} та I2I_{2} — інцентри трикутників APBAPB і APCAPC відповідно. Нехай XX — найближча до AA точка на прямій APAP така, що відрізок XI1XI_{1} перпендикулярний до відрізка XI2XI_{2}. Доведіть, що відстань AXAX не залежить від вибору PP.
10–11 класиВписане коло
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2021-001

Гра зі скошуванням кульбаб на прямокутній грядці

Нехай (m,n)(m, n) — пара натуральних чисел. Юлія дбайливо посадила mm рядків по nn кульбаб у вигляді масиву m×nm \times n у своєму саду. Тепер Яна та Вівіана вирішують зіграти в гру зі знайденою газонокосаркою. Роблячи ходи по черзі та починаючи з Яни, вони можуть скосити всі кульбаби вздовж прямої горизонтальної або вертикальної лінії (і вони повинні скосити принаймні одну кульбабу!). Перемагає та гравчиня, яка скошує останню кульбабу. Визначте всі пари (m,n)(m, n), для яких Яна має виграшну стратегію.
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2021-008

Розбиття каменів із забороненими парами

Анаель має 2n2 n каменів з написами 1,2,3,…,2n1,2,3, \ldots, 2 n, а також червону та синю коробки. Вона хоче розкласти всі 2n2 n каменів у ці дві коробки так, щоб камені kk і 2k2 k для кожного k=1,2,…,nk=1,2, \ldots, n опинялися в різних коробках. Скількома способами Анаель може це зробити?
10–11 класиБієкції
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2021-010

Подільність суми зростаючої послідовності

Доведіть, що для кожного натурального числа n≥3n \geq 3 існують натуральні числа a1<a2<…<ana_{1}<a_{2}<\ldots<a_{n} такі, що ak∣(a1+a2+…+an)a_{k} \mid\left(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}\right) для кожного k=1,2,…,nk=1,2, \ldots, n виконується.
10–11 класиМетод математичної індукції3 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2021-002

Два кола в рівнобедреному трикутнику ABC і чотирикутник PDXY

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з AB=ACAB = AC, а DD — точка на стороні BCBC. Коло з центром DD, що проходить через CC, перетинає описане коло трикутника ABDABD у точках PP і QQ, де QQ — точка, ближча до BB. Пряма BQBQ перетинає ADAD у точці XX, а ACAC — у точці YY. Доведіть, що PDXYPDXY — вписаний чотирикутник.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2021-011

Умова подільності для числа та його дільників

Знайдіть усі натуральні числа n≥2n \geq 2, такі, що для кожного дільника d>1d>1 числа nn виконується: d2+n∣n2+dd^{2}+n \mid n^{2}+d
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2021-007

Проєкції та середина в трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з BC>ACBC > AC. Серединний перпендикуляр до сторони ABAB перетинає пряму BCBC у точці XX і пряму ACAC у точці YY. Нехай PP — проєкція точки XX на пряму ACAC, а QQ — проєкція точки YY на пряму BCBC. Доведіть, що пряма PQPQ перетинає відрізок ABAB у його середині.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)3 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2021-009

Кругова розсадка з обмеженнями на відстань

Нехай n≥4n \geq 4 і k,d≥2k, d \geq 2 — натуральні числа, для яких k⋅d≤nk \cdot d \leq n. nn учасників Математичної олімпіади сидять за круглим столом і чекають на Патріка. Коли Патрік з'являється, ситуація йому зовсім не подобається, оскільки правил соціального дистанціювання не дотримано. Тож він вибирає kk з nn учасників, яким дозволено залишитися, а всіх інших випроваджує з кімнати так, щоб між будь-якими двома з kk учасників, що залишилися, було щонайменше d−1d-1 вільних місць. Скількома способами Патрік може це зробити, якщо вважати, що спочатку всі місця були зайняті?
10–11 класиБієкції
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2021-003

Скінченні множини, замкнені відносно виразу з квадратами

Знайдіть усі скінченні множини SS натуральних чисел, які містять принаймні два елементи, такі, що якщо m>nm > n — два елементи множини SS, то n2m−n\frac{n^{2}}{m-n} також є елементом множини SS.
10–11 класиЧислові нерівності
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2021-004

Ітерована функція з обмеженим зсувом

Нехай N\mathbb{N} — множина натуральних чисел. Нехай f:N→Nf: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} — функція така, що для кожного n∈Nn \in \mathbb{N} f(n)−n<2021 і f(f(⋯f(f⏟f(n)(n))⋯ ))=nf(n)-n<2021 \text{ і } \underbrace{f(f(\cdots f(f}_{f(n)}(n)) \cdots))=n Доведіть, що f(n)=nf(n)=n для нескінченно багатьох n∈Nn \in \mathbb{N}.
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2021-005

Мінімальна площа покриття прямокутників

Нехай m≥nm \geq n — натуральні числа. Фрідер отримав mnmn плакатів Лінуса з різними цілочисельними розмірами k×lk \times l, де 1≤k≤m1 \leq k \leq m і 1≤l≤n1 \leq l \leq n. Він має повісити їх усі по одному на стіну своєї спальні без поворотів. Щоразу, вішаючи плакат, він може розмістити його або на порожньому місці стіни, або на місці, де він повністю накриває один видимий плакат і не перекриває жодного іншого видимого плаката. Визначте мінімальну площу стіни, яка буде покрита плакатами. Зауваження: стіна — це конструкція, часто зроблена з цегли й бетону (або з картону, якщо ви живете у Вінтертурі), яку зазвичай можна знайти в будинках.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2021-006

Рівнобедрений трикутник з обчисленням кутів

Нехай ABCABC — трикутник із AB=ACAB = AC і ∠BAC=20∘\angle BAC = 20^{\circ}. Нехай DD — точка на стороні ABAB така, що ∠BCD=70∘\angle BCD = 70^{\circ}. Нехай EE — точка на стороні ACAC така, що ∠CBE=60∘\angle CBE = 60^{\circ}. Знайдіть величину кута ∠CDE\angle CDE.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…2 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2020-005

Дільники суми послідовних простих чисел

Нехай p≥5p \geq 5 — просте число, нехай qq — найменше просте число таке, що q>pq>p, і нехай nn — кількість додатних дільників числа p+qp+q (1 і p+qp+q включно). a) Доведіть, що незалежно від того, яке просте число pp обрано, число nn більше або дорівнює 4. b) Знайдіть найменше можливе значення mm, якого nn може набувати при всіх можливих виборах pp. Тобто: b1b_{1}) Наведіть приклад простого числа pp, для якого досягається значення mm. b2b_{2}) Доведіть, що не існує простого числа pp, для якого значення nn менше за mm.
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2020-001

Паралельні прямі в конфігурації з колом

Нехай kk — коло з центром OO. Нехай A,B,CA, B, C і DD — чотири різні точки на колі kk у такому порядку, що ABA B — діаметр кола kk. Описане коло трикутника CODC O D перетинає ACA C вдруге в точці PP. Доведіть, що прямі OPO P і BDB D паралельні.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)3 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2020-003

Прямокутники у квадраті 5 на 5

Розглянемо білий квадрат 5×55 \times 5, що складається з 25 одиничних квадратів. Скільки існує різних способів зафарбувати один або кілька одиничних квадратів у чорний колір так, щоб утворена чорна область була прямокутником?
10–11 класиКомбінації
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2020-002

Бісектриси кутів і паралельні хорди

Нехай ABCABC — трикутник, у якого AB>ACAB > AC. Бісектриси кутів при вершинах BB і CC перетинаються в точці II всередині трикутника ABCABC. Описане коло трикутника BICBIC перетинає ABAB вдруге в точці XX і ACAC вдруге в точці YY. Доведіть, що пряма CXCX паралельна прямій BYBY.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2020-006

Подільність на квадрат простого у циклічній системі

Нехай pp — просте число, а a,b,ca, b, c і nn — натуральні числа, для яких a,b,c<pa, b, c < p і виконуються три наведені нижче твердження: p2∣a+(n−1)⋅b,p2∣b+(n−1)⋅c,p2∣c+(n−1)⋅ap^{2} \mid a + (n-1) \cdot b, \quad p^{2} \mid b + (n-1) \cdot c, \quad p^{2} \mid c + (n-1) \cdot a Доведіть, що nn не є простим числом.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…2 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2020-004

Група однакового віку серед 2020 мешканців

Село Рош має 2020 мешканців. Одного дня відомий математик Жорж де Рам робить такі спостереження: - Кожен мешканець села знає ще одного такого самого віку. - У кожній групі зі 192 осіб із села є принаймні троє одного віку. Доведіть, що існує група з 22 мешканців села, які всі мають однаковий вік.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2019-002

Бісектриса кута перетинає коло на прямій AC

Нехай kk — коло з центром OO, а AA, BB і CC — три точки на колі kk такі, що ∠ABC>90∘\angle ABC > 90^{\circ}. Бісектриса кута ∠AOB\angle AOB перетинає описане коло трикутника BOCBOC вдруге в точці DD. Доведіть, що DD лежить на прямій ACAC.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2019-004

Розв'язки кубічного рівняння в натуральних числах

Знайдіть усі пари натуральних чисел (a,b)(a, b) таких, що ab+2=a3+2ba b+2=a^{3}+2 b
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2019-001

Незалежність точки D від вибору B і C

Нехай AA — точка, а kk — коло, яке проходить через AA. Нехай BB і CC — дві інші точки на колі kk. Далі нехай XX — точка перетину бісектриси кута ∠ABC\angle A B C з колом kk, а YY — точка, симетрична AA відносно XX. Нехай DD — точка перетину прямої YCY C з колом kk. Доведіть, що точка DD не залежить від вибору точок BB і CC на колі kk.
10–11 класиТеорема про тризуб4 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2019-003

Сума обернених до добутків елементів підмножин

Нехай nn — натуральне число. Моріс записує в одному рядку всі 2n−12^{n}-1 непорожні підмножини множини {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\}. Потім під кожною підмножиною він записує добуток її елементів. Нарешті, він записує числа, обернені до чисел, що стоять у другому рядку, й обчислює їхню суму. Яким буде значення суми (залежно від nn), яке отримає Моріс? Приклад: для n=3n=3 Моріс отримує | {1}\{1\} | {2}\{2\} | {3}\{3\} | {1,2}\{1,2\} | {1,3}\{1,3\} | {2,3}\{2,3\} | {1,2,3}\{1,2,3\} | |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: | | 1 | 2 | 3 | 1⋅2=21 \cdot 2=2 | 1⋅3=31 \cdot 3=3 | 2⋅3=62 \cdot 3=6 | 1⋅2⋅3=61 \cdot 2 \cdot 3=6 | | 11+\frac{1}{1}+ | 12+\frac{1}{2}+ | 13+\frac{1}{3}+ | 12+\frac{1}{2}+ | 13+\frac{1}{3}+ | 16+\frac{1}{6}+ | 16=3\frac{1}{6}=3. |
10–11 класиМетод математичної індукції2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.