Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

58 задач
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2010-004

Цілі довжини відрізків у прямокутному трикутнику з бісектрисами

Нехай ABCABC — трикутник, у якого ∠A=90∘\angle A = 90^\circ. Точки DD і EE лежать на сторонах ACAC і ABAB відповідно так, що ∠ABD=∠DBC\angle ABD = \angle DBC і ∠ACE=∠ECB\angle ACE = \angle ECB. Відрізки BDBD і CECE перетинаються в точці II. Визначте, чи можливо, щоб усі відрізки AB,AC,BI,ID,CI,IEAB, AC, BI, ID, CI, IE мали цілі довжини.
10–11 класиРаціональні та ірраціональні числа3 розв’язки
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2010-005

Сума обернених чисел за модулем простого числа

Нехай q=3p−52q = \frac{3p-5}{2}, де pp — непарне просте число, і нехай Sq=12⋅3⋅4+15⋅6⋅7+⋯+1q(q+1)(q+2).S_q = \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \frac{1}{5 \cdot 6 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{q(q+1)(q+2)}. Доведіть, що якщо 1p−2Sq=mn\frac{1}{p} - 2S_q = \frac{m}{n} для цілих чисел mm і nn, то m−nm-n ділиться на pp.
10–11 класиМіркування за модулем
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2010-006

Максимізація витертих пар з обмеженням на суму

На дошці записано 68 пар ненульових цілих чисел. Припустімо, що для кожного натурального числа kk на дошці записано щонайбільше одну з пар (k,k)(k, k) і (−k,−k)(-k, -k). Учень витирає деякі зі 136 чисел за умови, що жодні два витерті числа не дають у сумі 0. Після цього за кожну з 68 пар, у якій витерто принаймні одне число, учень отримує один бал. Визначте з доведенням найбільше число NN балів, які учень може гарантовано набрати незалежно від того, які 68 пар записано на дошці.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2009-001

Центр кола через чотири точки двох перетинних кіл

Нехай кола ω1\omega_1 і ω2\omega_2 перетинаються в точках XX і YY, нехай ℓ1\ell_1 — пряма, що проходить через центр кола ω1\omega_1 і перетинає ω2\omega_2 в точках PP і QQ, а ℓ2\ell_2 — пряма, що проходить через центр кола ω2\omega_2 і перетинає ω1\omega_1 в точках RR і SS. Доведіть, що якщо точки P,Q,RP, Q, R і SS лежать на одному колі, то центр цього кола лежить на прямій XYXY.
10–11 класиРадикальна вісь2 розв’язки
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2009-002

Підмножина без трійок з нульовою сумою

Нехай nn — натуральне число. Визначте розмір найбільшої підмножини множини {−n,−n+1,…,n−1,n}\{-n, -n+1, \dots, n-1, n\}, яка не містить трьох елементів a,b,ca, b, c (не обов'язково різних) таких, що a+b+c=0a+b+c=0.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2009-003

Екстремальне відношення при симетричній нерівності

Для n≥2n \ge 2 нехай a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n — додатні дійсні числа такі, що (a1+a2+⋯+an)(1a1+1a2+⋯+1an)≤(n+12)2.(a_1 + a_2 + \dots + a_n) \left( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n} \right) \le \left( n + \frac{1}{2} \right)^2. Доведіть, що max⁡(a1,a2,…,an)≤4min⁡(a1,a2,…,an)\max(a_1, a_2, \dots, a_n) \le 4 \min(a_1, a_2, \dots, a_n).
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2009-004

Вписаний чотирикутник із побудови трапеції

Трапеція ABCDABCD з AB∥CDAB \parallel CD вписана в коло ω\omega, а точка GG лежить усередині трикутника BCDBCD. Промені AGAG і BGBG перетинають ω\omega вдруге в точках PP і QQ відповідно. Нехай пряма, що проходить через GG паралельно прямій ABAB, перетинає відрізки BDBD і BCBC в точках RR і SS відповідно. Доведіть, що чотирикутник PQRSPQRS є вписаним тоді й лише тоді, коли промінь BGBG ділить навпіл ∠CBD\angle CBD.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2009-005

Раціональні послідовності з цілими добутками різниць

Нехай s1,s2,s3,…s_1, s_2, s_3, \dots — нескінченна, нестала послідовність раціональних чисел, тобто не виконується s1=s2=s3=…s_1 = s_2 = s_3 = \dots. Припустимо, що t1,t2,t3,…t_1, t_2, t_3, \dots — також нескінченна, нестала послідовність раціональних чисел з властивістю, що (si−sj)(ti−tj)(s_i - s_j)(t_i - t_j) є цілим числом для всіх ii і jj. Доведіть, що існує раціональне число rr таке, що (si−sj)r(s_i - s_j)r і (ti−tj)/r(t_i - t_j)/r є цілими числами для всіх ii і jj.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2008-001

Попарно взаємно прості числа та добуток послідовних чисел

Доведіть, що для кожного натурального числа nn існують попарно взаємно прості цілі числа k0,k1,…,knk_0, k_1, \dots, k_n, усі строго більші за 1, такі, що k0k1⋯kn−1k_0 k_1 \cdots k_n - 1 є добутком двох послідовних цілих чисел.
10–11 класиМетод математичної індукції3 розв’язки
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2008-002

Вписаний чотирикутник із середин сторін трикутника

Нехай ABCABC — гострокутний різносторонній трикутник, а MM, NN і PP — середини сторін BC‾\overline{BC}, CA‾\overline{CA} і AB‾\overline{AB} відповідно. Нехай серединні перпендикуляри до сторін AB‾\overline{AB} і AC‾\overline{AC} перетинають промінь AMAM у точках DD і EE відповідно, а прямі BDBD і CECE перетинаються в точці FF всередині трикутника ABCABC. Доведіть, що точки AA, NN, FF і PP лежать на одному колі.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2008-003

Розбиття решіткової області на шляхи

Нехай nn — натуральне число. Позначимо через SnS_n множину точок (x,y)(x, y) з цілими координатами, таких, що ∣x∣+⌊y+12⌋<n.|x| + \left\lfloor y + \frac{1}{2} \right\rfloor < n. Шлях — це послідовність попарно різних точок (x1,y1),(x2,y2),…,(xℓ,yℓ)(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_\ell, y_\ell) з множини SnS_n, така, що для i=2,…,ℓi = 2, \dots, \ell відстань між (xi,yi)(x_i, y_i) та (xi−1,yi−1)(x_{i-1}, y_{i-1}) дорівнює 1 (іншими словами, точки (xi,yi)(x_i, y_i) та (xi−1,yi−1)(x_{i-1}, y_{i-1}) є сусідніми в решітці точок з цілими координатами). Доведіть, що точки множини SnS_n не можна розбити менш ніж на nn шляхів (розбиття множини SnS_n на mm шляхів — це множина P\mathcal{P} з mm непорожніх шляхів, така, що кожна точка множини SnS_n входить рівно до одного з mm шляхів множини P\mathcal{P}).
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2008-004

Триангуляція правильного многокутника на рівнобедрені трикутники

Нехай P\mathcal{P} — опуклий многокутник із nn сторонами, n≥3n \ge 3. Будь-який набір n−3n-3 діагоналей многокутника P\mathcal{P}, що не перетинаються у внутрішній області многокутника, визначає триангуляцію P\mathcal{P} на n−2n-2 трикутники. Якщо P\mathcal{P} — правильний многокутник і існує триангуляція P\mathcal{P}, що складається лише з рівнобедрених трикутників, знайдіть усі можливі значення nn.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2008-005

Лінійна залежність і процес віднімання

На дошці записано три невід'ємні дійсні числа r1r_1, r2r_2, r3r_3. Ці числа мають таку властивість: існують цілі числа a1a_1, a2a_2, a3a_3, не всі рівні нулю, такі, що a1r1+a2r2+a3r3=0a_1 r_1 + a_2 r_2 + a_3 r_3 = 0. Дозволено виконувати таку операцію: знайти на дошці два числа xx, yy, для яких x≤yx \le y, після чого стерти yy і записати замість нього y−xy-x. Доведіть, що після скінченної кількості таких операцій на дошці можна отримати принаймні один 00.
10–11 класиНапівінваріанти
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2008-006

Розбиття графа з парною кількістю друзів

На одній математичній конференції кожні двоє математиків є або друзями, або незнайомцями. Під час обіду кожен учасник їсть в одній із двох великих їдалень. Кожен математик наполягає на тому, щоб їсти в залі, яка містить парну кількість його друзів. Доведіть, що кількість способів, якими математиків можна розподілити між двома залами, є степенем двійки (тобто має вигляд 2k2^k для деякого натурального числа kk).
10–11 класиПарність і непарність2 розв’язки
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2007-001

Послідовність з модульною умовою подільності

Нехай nn — натуральне число. Визначимо послідовність, поклавши a1=na_1 = n і для кожного k>1k > 1 взявши за aka_k єдине ціле число в межах 0≤ak≤k−10 \le a_k \le k - 1, для якого a1+a2+⋯+aka_1 + a_2 + \cdots + a_k ділиться на kk. Наприклад, коли n=9n = 9, отримана послідовність має вигляд 9,1,2,0,3,3,3,…9, 1, 2, 0, 3, 3, 3, \dots. Доведіть, що для будь-якого nn послідовність a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dots з певного місця стає сталою.
10–11 класиНапівінваріанти3 розв’язки
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2007-002

Покриття цілочисельної решітки великими кругами

Квадратна решітка на евклідовій площині складається з усіх точок (m,n)(m, n), де mm і nn — цілі числа. Чи можна покрити всі точки решітки нескінченною сім'єю кругів з попарно неперетинними внутрішностями, якщо кожен круг цієї сім'ї має радіус щонайменше 55?
10–11 класиПокриття, пакування, фарбування
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2007-003

Попарно неперетинні підмножини в розбитті на два класи

Нехай SS — множина, що містить n2+n−1n^2 + n - 1 елементів, для деякого натурального числа nn. Припустімо, що nn-елементні підмножини множини SS розбито на два класи. Доведіть, що в одному класі є щонайменше nn попарно неперетинних множин.
10–11 класиМетод математичної індукції
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2007-004

Попарно неперетинні n-елементні підмножини в одному класі розбиття

Нехай SS — множина, що містить n2+n−1n^2 + n - 1 елементів, для деякого натурального числа nn. Припустімо, що nn-елементні підмножини множини SS розбито на два класи. Доведіть, що знайдеться щонайменше nn попарно неперетинних множин в одному класі.
10–11 класиМетод математичної індукції
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2007-005

Примітивний динозавр: найбільша кількість клітинок

Тварина з nn клітинок — це зв'язна фігура, що складається з nn однакових квадратних клітинок. Тварин називають також поліміно. Їх можна означити індуктивно. Дві клітинки сусідні, якщо вони мають спільну цілу сторону. Окрема клітинка є твариною, і якщо дано тварину з nn клітинками, то тварину з n+1n+1 клітинками отримують, приєднуючи нову клітинку так, щоб вона була сусідньою з однією або кількома наявними клітинками. Динозавр — це тварина щонайменше з 20072007 клітинок. Його називають примітивним, якщо його клітинки не можна розбити на двох чи більше динозаврів. Знайдіть з доведенням найбільшу можливу кількість клітинок у примітивного динозавра.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2007-006

Прості множники числа 7^{7^n}+1

Доведіть, що для кожного невід'ємного цілого числа nn число 77n+17^{7^n} + 1 є добутком щонайменше 2n+32n+3 (не обов'язково різних) простих чисел.
10–11 класиМетод математичної індукції
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2007-007

Центри дотичних кіл у трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а ω,Ω\omega, \Omega та RR — відповідно його вписане коло, описане коло та радіус описаного кола. Коло ωA\omega_A дотикається внутрішньо до кола Ω\Omega у точці AA і дотикається зовнішньо до кола ω\omega. Коло ΩA\Omega_A дотикається внутрішньо до кола Ω\Omega у точці AA і дотикається внутрішньо до кола ω\omega. Нехай PAP_A і QAQ_A позначають центри кіл ωA\omega_A і ΩA\Omega_A відповідно. Аналогічно визначимо точки PB,QB,PC,QCP_B, Q_B, P_C, Q_C. Доведіть, що 8PAQA⋅PBQB⋅PCQC≤R3,8P_AQ_A \cdot P_BQ_B \cdot P_CQ_C \le R^3, причому рівність досягається тоді й лише тоді, коли трикутник ABCABC є рівностороннім.
10–11 класиІнверсія
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2006-001

Дробові частини та дільники числа p−1

Нехай pp — просте число, а ss — ціле число, для якого 0<s<p0 < s < p. Доведіть, що існують цілі числа mm і nn, для яких 0<m<n<p0 < m < n < p і {smp}<{snp}<sp\{\frac{sm}{p}\} < \{\frac{sn}{p}\} < \frac{s}{p} тоді й лише тоді, коли ss не є дільником p−1p-1. (Для дійсного числа xx позначимо через ⌊x⌋\lfloor x \rfloor найбільше ціле число, що не перевищує xx, а через {x}=x−⌊x⌋\{x\} = x - \lfloor x \rfloor — дробову частину числа xx.)
10–11 класиЦіла та дробова частини числа2 розв’язки
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2006-002

Оцінки сум підмножин множини цілих чисел

Для даного натурального числа kk знайдіть найменше значення NN (виражене через kk), для якого існує множина з 2k+12k+1 різних натуральних чисел, сума яких більша за NN, але сума будь-якої підмножини з kk елементів не перевищує N/2N/2.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2006-003

Многочлени з обмеженими проміжками між простими дільниками

Для цілого mm нехай p(m)p(m) — найбільший простий дільник числа mm. Домовимося вважати, що p(±1)=1p(\pm 1) = 1 і p(0)=∞p(0) = \infty. Знайдіть усі многочлени ff з цілими коефіцієнтами, для яких послідовність {p(f(n2))−2n}n≥0\{p(f(n^2)) - 2n\}_{n \ge 0} обмежена зверху. (Зокрема, це вимагає, щоб f(n2)≠0f(n^2) \ne 0 при n≥0n \ge 0.)
10–11 класиМіркування за модулем
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2006-004

Раціональні числа з рівними сумою і добутком

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких існує набір із k≥2k \ge 2 додатних раціональних чисел a1,a2,…,aka_1, a_2, \dots, a_k таких, що a1+a2+⋯+ak=a1⋅a2…ak=na_1 + a_2 + \dots + a_k = a_1 \cdot a_2 \dots a_k = n.
10–11 класиНерівність Коші

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.