Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

2 447 задач
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математики
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-024

Найменша кількість пар мишей для вгадування

Є 20082008 мишей. Бівіс та Батхед грають у загадування пар. Спочатку Бівіс послідовно називає деякі mm пар мишей (P1,Q1)(P_1,Q_1),...,(Pm,Qm)(P_m,Q_m). У кожній названій парі миші мають бути різними, але кожна миша може зустрічатися в будь-якій кількості пар, порядок мишей у парах не має значення. Після цього Батхед загадує деяку пару різних мишей (P,Q)(P,Q) і проголошує таку характеристику пари (P,Q)(P,Q): для кожної названої Бівісом пари (Pi,Qi)(P_i,Q_i) Батхед каже, скільки спільних мишей має (Pi,Qi)(P_i,Q_i) з його парою (P,Q)(P,Q). Наприклад, якщо миші пронумеровані від 11 до 20082008, і Бівіс назвав пари (1,2)(1,2), (2,4)(2,4), (2,5)(2,5), (5,6)(5,6), а Батхед загадав (1,5)(1,5), то характеристика матиме вигляд (1,0,1,1)(1,0,1,1) – саме в такому порядку, в якому були названі пари (1,2)(1,2), (2,4)(2,4), (2,5)(2,5), (5,6)(5,6). Потім Бівіс має з першого разу вгадати, яку пару мишей загадано в якості (P,Q)(P,Q). Батхед може схитрувати: якщо Бівіс вгадає пару (P,Q)(P,Q), але деяка інша пара різних мишей має таку ж саму характеристику щодо кількостей спільних мишей з (P1,Q1)(P_1,Q_1),...,(Pm,Qm)(P_m,Q_m), він скаже, що Бівіс не вгадав. Яку найменшу кількість пар має назвати Бівіс, щоб потім гарантовано вгадати пару (P,Q)(P,Q)?
11 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-025

Можливі значення виразу з оберненими різницями x, y, z

Для деяких дійсних чисел x,y,zx, y, z має місце рівність 1x−y+1y−z+1z−x=32.\frac{1}{x-y}+\frac{1}{y-z}+\frac{1}{z-x}=\frac{3}{2}. Які значення може приймати вираз 1(x−y)2+1(y−z)2+1(z−x)2\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^2}+\frac{1}{(z-x)^2}?
8 класПеретворення симетричних виразів
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-026

Яких п'ятицифрових чисел зі впорядкованими цифрами більше

З'ясуйте, яких п'ятицифрових чисел більше: тих, у яких цифри йдуть у строго зростаючому порядку зліва направо, або тих, у яких кожна цифра не перевищує 55 та цифри ідуть у неспадному порядку зліва направо (наприклад, число 1245912459 задовольняє першій умові, а 2258922589 та 0123401234 – ні; число 1114511145 задовольняє другій умові, а 2122421224, 1234612346 та 0123401234 – ні)?
8 класБієкції
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-027

Кут ACB у трикутнику з точкою M на BC

На стороні BCBC трикутника ABCABC позначили точку MM так, що BM=ACBM = AC. Точка HH – основа перпендикуляра, проведеного з точки BB на пряму AMAM. Відомо, що BH=CMBH = CM і ∠MAC=30∘\angle MAC = 30^\circ. Знайдіть градусну міру кута ∠ACB\angle ACB.
8 класПодібність в прямокутному трикутн…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-028

Сума степенів 3 і 4 дорівнює степеню 5

Розв'яжіть в цілих невід'ємних числах n,m,kn, m, k рівняння: 3n+4m=5k.3^n + 4^m = 5^k.
8 класМіркування за модулем
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-033

Найменше та найбільше значення |x|+|y| при x²+(y-4)²=1

Відомо, що x2+(y−4)2=1x^2+(y-4)^2 = 1. Знайдіть найменше та найбільше значення виразу ∣x∣+∣y∣|x| + |y|.
9 класЕкстремальні геометричні конструк…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-034

Перетворення трійки чисел і можливість одержати інші трійки

За один крок дозволяється замінити трійку чисел (a,b,c)(a,b,c) (порядок яких не суттєвий) на трійку (a1,b1,c1)(a_1,b_1,c_1) за таким правилом: a1=2b2+2c2−a2, b1=2c2+2a2−b2, c1=2b2+2a2−c2.a_1 = \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2},\ b_1 = \sqrt{2c^2 + 2a^2 - b^2},\ c_1 = \sqrt{2b^2 + 2a^2 - c^2}. Чи можливо за скінченну кількість кроків з трійки {3,19,22}\{3, \sqrt{19}, \sqrt{22}\} одержати: а) трійку (32007⋅2, 32007⋅4, 32007⋅6)\left(\sqrt{3^{2007} \cdot 2},\ \sqrt{3^{2007} \cdot 4},\ \sqrt{3^{2007} \cdot 6}\right); б) трійку (32008⋅4, 32008⋅13, 32008⋅33)\left(\sqrt{3^{2008} \cdot 4},\ \sqrt{3^{2008} \cdot 13},\ \sqrt{3^{2008} \cdot 33}\right)?
9 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-035

Сума циклічних дробів з чисельниками a+b, b+c, c+a

Доведіть, що для довільних додатних дійсних чисел a,b,ca, b, c, виконується нерівність: (a+b)(2b+c)+(b+c)(2c+a)+(c+a)(2a+b)≥2.\frac{(a+b)}{(2b+c)}+\frac{(b+c)}{(2c+a)}+\frac{(c+a)}{(2a+b)} \ge 2.
9 класНерівність Коші-Буняковського
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-036

Точки дотику вписаного кола і спільна точка перпендикулярів

Коло, вписане в трикутник ABCABC дотикається до сторін BC,CABC, CA і ABAB в точках A1,B1A_1, B_1 і C1C_1 відповідно. Через середину відрізка A1B1A_1B_1 проведено пряму, перпендикулярну до ABAB, через середину B1C1B_1C_1 – пряму, перпендикулярну до BCBC, і через середину C1A1C_1A_1 – пряму, перпендикулярно до CACA. Доведіть, що ці прямі перетинаються в одній точці.
9 класТочка перетину висот
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-041

Найменше і найбільше значення виразу з модульною умовою

Відомо, що ∣x+y∣+∣x−y∣=1|x + y| + |x - y| = 1. Знайдіть найменше та найбільше значення виразу x2−6x+y2−6yx^2 - 6x + y^2 - 6y.
10 класМетод координат
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-042

Радіус описаного кола трикутника ALK

На продовженні сторони BCBC паралелограма ABCDABCD за точку CC вибрано таку точку KK, що трикутник ΔCDK\Delta CDK є рівнобедреним з основою CKCK, а на продовженні сторони DCDC за точку CC вибрано таку точку LL, що рівнобедреним з основою CLCL є трикутник ΔCBL\Delta CBL. Бісектриси кутів ∠LBC\angle LBC та ∠CDK\angle CDK перетинаються в точці QQ. Знайдіть радіус описаного навколо трикутника ALKALK кола, якщо ∠BQD=α\angle BQD = \alpha і KL=aKL = a.
10 класОписане коло
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-043

Неспадні послідовності цілих невідʼємних чисел з обмеженням

Розглянемо усі можливі послідовності a1a_1, a2a_2,..., a2008a_{2008} цілих невід'ємних чисел, такі, що a1≤a2≤...≤a2008a_1 \le a_2 \le ... \le a_{2008}, ak≤(k−1)a_k \le (k-1) та для усіх kk від 11 до 20082008. Доведіть, що таких послідовностей: а) більше, ніж 220072^{2007}; б) більше, ніж 220082^{2008}.
10 класРекурентний підрахунок
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-044

Зростаючі геометричні прогресії і множина від 1 до 2008

Розглянемо усі зростаючі геометричні прогресії. Серед них виберемо такі, які мають максимальну кількість MM спільних елементів з множиною A={1,2,3,…,2008}A = \{1, 2, 3, \ldots, 2008\}. Знайдіть значення MM.
10 класГеометрична прогресія
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-048

Параметр α в рівнянні з модулями з єдиним розв'язком

При яких значеннях параметра α\alpha рівняння ∣x−12∣+∣x−sin⁡α∣=cos⁡3α\left| x - \frac{1}{2} \right| + |x - \sin \alpha| = \cos 3\alpha має єдиний розв'язок? Знайти цей розв'язок.
11 класВластивості монотонності або обме…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-049

Усі функції з рівністю для f(f(y)+2+x)

Знайдіть усі функції f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, такі що для будь-яких дійсних xx та yy виконується умова: f(f(y)+2+x)+f(f(y)−x)=yf(y)(x+1).f\left(f(y)+2+x\right)+f\left(f(y)-x\right)=yf(y)(x+1).
11 класБазові підстановки (однакові аргу…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-050

Прямий кут на серединах сторін трикутника

Дано трикутник ABCABC всередині якого існує така точка OO, що ∠BOC=90∘\angle BOC = 90^\circ та ∠BAO=∠BCO\angle BAO = \angle BCO. Точки MM і NN – середини сторін ACAC і BCBC відповідно. Доведіть, що кут ∠OMN\angle OMN – прямий.
11 класГомотерія і подібність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-051

Кількість натуральних розв'язків рівняння з НСК і НСД

Знайти кількість розв'язків у натуральних числах рівняння [a2,b2]+[b2,c2]+[c2,a2]=(a2,b2)(b2,c2)(c2,a2),[a^2, b^2] + [b^2, c^2] + [c^2, a^2] = (a^2, b^2)(b^2, c^2)(c^2, a^2), де через [m,n][m, n] та (m,n)(m, n) позначені, відповідно, НСК та НСД натуральних чисел mm та nn.
11 класНСД та НСК
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-029

Цифра десятків n² + 2008n з останньою цифрою 4

Відомо, що при деякому натуральному nn десятковий запис числа n2+2008nn^2 + 2008n закінчується цифрою 44. Знайдіть цифру десятків цього числа.
8 класРозклад по розрядах, десяткові др…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-030

П'ять купок камінців та однакові купки

Є п'ять купок, в яких лежить 4242, 7070, 105105, 462462 та 20092009 камінців. Дозволяється проводити такі операції: замість двох купок, в яких було aa і bb, камінців утворити 1) дві купки, які містять aa і (a+b)(a+b) камінців; 2) дві купки, які містять aa і ∣a−b∣|a-b| камінців. Також можна вибрати kk різних купок, загальна кількість камінців в яких дорівнює nknk, де nn – деяке натуральне число, та замість них утворити 3) kk купок по nn камінців в кожній. Чи можна за скінченну кількість кроків одержати 55 купок, в кожній з яких буде по: а) 20082008 камінців; б) 20092009 камінців?
8 класОстача від ділення
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-031

Чотирикутник ABCD з діагоналями та відношенням DO до OB

В чотирикутнику ABCDABCD діагоналі ACAC і BDBD перетинаються в точці OO. Відомо, що діагональ BDBD перпендикулярна стороні ADAD, ∠BAD=∠BCD=60∘\angle BAD = \angle BCD = 60^\circ, ∠ADC=135∘\angle ADC = 135^\circ. Знайдіть відношення DO:OBDO : OB.
8 класБісектриса кута
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-032

Найбільша кількість квадратиків 4×4 без однакових рядків і стовпчиків

У Петра є декілька однакових білих квадратиків розміром 4×44 \times 4. Кожну клітинку 1×11 \times 1 кожного квадратика він фарбує у червоний або синій колір у такий спосіб, щоб серед усіх стовпчиків усіх квадратиків не було двох однаково пофарбованих, і серед усіх рядків усіх квадратиків не було двох однаково пофарбованих. Повертати та перегортати квадратики не можна. Яку найбільшу кількість квадратиків таким чином Петрик може зафарбувати?
8 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-037

Сотні та десятки виразу n³ + 2009n² + 27n

Відомо, що при деякому натуральному nn десятковий запис числа n3+2009n2+27nn^3 + 2009n^2 + 27n закінчується на цифрою 33. Знайдіть цифри сотень та десятків цього числа.
9 класРозкладання на множники і розкрит…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-038

Дріб (a+b)/(a-b) і отримання всіх натуральних чисел

На дошці записано nn натуральних чисел. До них можна дописувати лише натуральні числа вигляду (a+b)(a−b)\frac{(a+b)}{(a-b)}, де aa і bb – раніше записані числа. Виявилось, що, діючи у такий спосіб, на дошці можна отримати будь-яке натуральне. Знайдіть найменше значення nn та з'ясуйте, які числа були записані на дошці спочатку (розгляньте всі випадки).
9 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-039

Висота BB1, точка D і середина відрізка BF

У гострокутному різносторонньому трикутнику ABCABC проведено висоту BB1BB_1. На стороні BCBC вибрано таку точку DD, що ∠BAD=∠CBB1\angle BAD = \angle CBB_1. Відрізки ADAD і BB1BB_1 перетинаються в точці FF. Через точку BB, перпендикулярно до сторони ABAB провели пряму ll, яка перетинається з прямою CFCF в точці KK. Доведіть, що пряма DKDK перетинає відрізок BFBF у його середині.
9 класЦентральні і вписані кути
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-040

Найбільша кількість квадратиків 4×4 з різними рядками і стовпцями

У Петрика є декілька однакових білих квадратиків розміром 4×44 \times 4 клітинки. Кожну клітинку 1×11 \times 1 кожного квадратика він фарбує у червоний або синій колір у такий спосіб, щоб у будь-яких двох квадратиків відрізнялися перші, другі, треті й четверті стовпчики відповідно, а також перші, другі, треті й четверті рядки відповідно. Повертати та перегортати квадратики не можна. Яку найбільшу кількість квадратиків таким чином Петрик може зафарбувати?
9 класОптимальна конструкція (оцінка і…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.