Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

288 задач
Відбіркові змагання команди України на IMO
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-003

Функціональне рівняння з виразом x + f(xy)

Знайдіть усі такі функції f ⁣:(0,+∞)→(0,+∞)f\colon (0, +\infty) \to (0, +\infty), що для довільних x,y>0x, y > 0 справджується рівність f(x+f(xy))+y=f(x)f(y)+1.f(x + f(xy)) + y = f(x)f(y) + 1.
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-004

Нескінченний процес з простим дільником і трійкою

Спочатку на дошці написано деяке натуральне число, більше за 11. Щосекунди на дошці замість записаного числа nn записують число n+npn+\frac{n}{p}, де pp — деякий простий дільник натурального числа nn, при цьому такий процес триває нескінченно довго. Доведіть, що як просте число pp число 33 було вибране нескінченно багато разів.
10–11 класиНапівінваріанти
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-005

Неперетинні круги, точки в них і сума відстаней

На площині намальовано n⩾6n \geqslant 6 кругів D1,D2,…,DnD_1, D_2, \ldots, D_n, які попарно не перетинаються, з відповідними радіусами R1⩾R2⩾…⩾RnR_1 \geqslant R_2 \geqslant \ldots \geqslant R_n. Для кожного i=1,2,…,ni = 1, 2, \ldots, n точку PiP_i вибрано всередині або на межі круга DiD_i. Нехай OO — довільна точка в цій площині. Доведіть, що справджується нерівність OP1+OP2+…+OPn⩾R6+R7+…+Rn.OP_1 + OP_2 + \ldots + OP_n \geqslant R_6 + R_7 + \ldots + R_n.
10–11 класиІнші нерівності в геометрії
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-006

Гра з 2020 одиницями на дошці за монети

Гравці A і B грають у гру на дошці, на якій спочатку записано 20202020 одиниць. Кожним ходом гравець A стирає два числа на дошці (скажімо, xx і yy), а гравець B записує на дошці одне із чисел — x+yx + y або ∣x−y∣|x - y|. Гра закінчується, коли виконується одне з таких тверджень: (1) одне із чисел строго більше, ніж сума всіх інших чисел; (2) на дошці записано тільки нулі. Коли гра закінчилася, гравець B мав дати гравцю A стільки монет, скільки чисел залишилося на дошці. Гравець A прагне отримати якомога більше монет, а гравець B хоче віддати якомога менше. Якщо обидва гравці грають оптимально, то яку кількість монет мусить віддати гравець B?
10–11 класиІнші інваріанти
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-007

Матчі команд з однаковими очками та очки переможниці

Сто волейбольних команд узяли участь у турнірі, у якому кожна команда зіграла з кожною іншою рівно 11 раз, причому всі матчі були зіграні в різний час. Виявилося, що в кожному матчі зустрічалися команди, які на той момент мали однакову кількість очок. Яку найбільшу кількість очок могла набрати команда — переможниця турніру? Примітка. У волейболі за перемогу команді нараховують 11 очко, за поразку — 00 очок, а нічиїх не буває.
10–11 класиІнші інваріанти
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-008

Многочлени p і q із сумою значень p

Знайдіть усі многочлени p(x)p(x) з дійсними коефіцієнтами, відмінні від тотожного нуля, для яких існує многочлен q(x)q(x) з такими дійсними коефіцієнтами, що для кожного натурального nn справджується рівність p(1)+p(2)+…+p(n)=p(n) q(n).p(1)+p(2)+\ldots+p(n)=p(n)\,q(n).
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-009

Чотири кола, пов'язані з симетрією відносно середніх ліній

Дано гострокутний трикутник ABCABC і точку PP на його описаному колі. Нехай точки DD, EE, FF — образи точки PP при її симетрії відносно середніх ліній трикутника ABCABC, що паралельні відповідно сторонам BCBC, ACAC і ABAB. Позначимо через wA,wB,wCw_A, w_B, w_C описані кола трикутників ADPADP, BEPBEP, CFPCFP відповідно. Нехай ww — описане коло трикутника, вершини якого є попарними перетинами серединних перпендикулярів до відрізків ADAD, BEBE і CFCF. Доведіть, що всі чотири кола wA,wB,wCw_A, w_B, w_C і ww мають спільну точку.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-010

Стала в нерівності з коренем і квадратом різниці

Дано натуральне число nn. Нехай N=2nN=2^n. Знайдіть найменше дійсне число ana_n таке, що для всіх дійсних чисел xx справджується нерівність x2N+12N⩽an(x−1)2+x.\sqrt[N]{\frac{x^{2N}+1}{2}} \leqslant a_n(x-1)^2+x.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-011

Дотик описаних кіл трикутників AID і IAEF

Дано трикутник ABCABC, у якому AB<ACAB < AC. Нехай точка II — це інцентр, а точка IAI_A — це центр зовнівписаного кола, що дотикається до сторони BCBC. Нехай вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторони BCBC у точці DD. Пряма ADAD перетинає прямі BIABI_A і CIACI_A в точках EE та FF відповідно. Доведіть, що описані кола трикутників AIDAID та IAEFI_AEF дотикаються одне до одного.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-012

Впорядкування множини з неподільністю сум сусідів

Нехай SS — множина, яка складається з n⩾3n \geqslant 3 різних натуральних чисел таких, що сума будь-яких двох із них не належить множині SS. Доведіть, що елементи множини SS a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n можна впорядкувати так, що aia_i не ділить суму чисел ai−1+ai+1a_{i-1} + a_{i+1} для всіх i=2,3,…,n−1i = 2, 3, \ldots, n - 1.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-19-20-001

Сума чисел 2^k у клітинках квадрата 600×600

Квадрат 600×600600 \times 600 поділено на фігурки чотирьох типів (рис. 5.1). У зафарбованих чорних клітинках фігурок двох типів, зображених на рисунку, записано число 2k2^k, де kk — номер стовпця, у якому знаходиться ця клітинка (стовпці пронумеровано зліва направо числами від 11 до 600600). Доведіть, що сума всіх записаних чисел ділиться на 99.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-19-20-002

Числа із нульовою сумою та добутки далеких пар

Нехай натуральне число n⩾2n \geqslant 2 та дійсні числа a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n задовольняють умову a1+a2+…+an=0a_1 + a_2 + \ldots + a_n = 0. Визначимо множину A={(i,j)∣1⩽i<j⩽n,∣ai−aj∣⩾1}A = \bigl\{(i, j) \bigm| 1 \leqslant i < j \leqslant n, \left| a_i - a_j \right| \geqslant 1\bigr\}. Доведіть, що коли множина AA непорожня, то ∑(i,j)∈Aaiaj<0\sum\limits_{(i, j) \in A} a_i a_j < 0.
10–11 класиЧислові нерівності
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-19-20-003

Дотичні до кіл через основи висот і описане коло

Висоти AH1AH_1 та BH2BH_2 гострокутного трикутника ABCABC перетинаються в ортоцентрі HH. Коло w1w_1 проходить через точку H2H_2 та дотикається до сторони BCBC у точці H1H_1, а коло w2w_2 проходить через точку H1H_1 та дотикається до сторони ACAC у точці H2H_2. Доведіть, що другі дотичні BXBX та AYAY до кіл w1w_1 і w2w_2 відповідно (X≠H1X \ne H_1 та Y≠H2Y \ne H_2) перетинаються на описаному колі трикутника XHYXHY.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-19-20-004

Послідовність із сумами попередніх членів і складені числа

У послідовності натуральних чисел, яка строго зростає, кожен елемент, починаючи з третього, дорівнює сумі якихось двох із попередніх елементів (можливо, однакових). Доведіть, що в цій послідовності нескінченно багато складених чисел.
10–11 класиРозподіл простих чисел
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-19-20-005

Нумерація 2n точок і кути з рівними сумами

Олеся відмічає на площині 2n2n точок, n⩾2n \geqslant 2, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Після цього Андрій нумерує ці точки A1,A2,…,A2nA_1, A_2, \ldots, A_{2n} таким чином, що величина кожного з 2n2n кутів: A1A2A3A_1A_2A_3, A2A3A4A_2A_3A_4, …\ldots, A2n−2A2n−1A2nA_{2n-2}A_{2n-1}A_{2n}, A2n−1A2nA1A_{2n-1}A_{2n}A_1 та A2nA1A2A_{2n}A_1A_2 знаходиться в межах від 0∘0^\circ до 180∘180^\circ. Доведіть, що за будь-якого розташування точок Андрій зможе їх пронумерувати в такий спосіб, що отримані 2n2n кутів можна буде розподілити на дві групи з рівними сумами величин кутів.
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-19-20-006

Функціональне рівняння з виразом f(xf(y)) + xf(x + y)

Знайдіть усі функції f:(0,+∞)→(0,+∞)f:(0,+\infty)\to(0,+\infty) такі, що для всіх додатних дійсних xx та yy справджується рівність f(xf(y))+xf(x+y)=1.f(xf(y)) + xf(x+y) = 1.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-19-20-007

Трикутники на сторонах AFE та середина BC

Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до його сторін BCBC, CACA й ABAB у точках DD, EE та FF відповідно. На сторонах трикутника AFEAFE в зовнішній бік побудовано трикутники APEAPE та AQFAQF таким чином, що ∠APE=∠ACB\angle APE = \angle ACB, ∠AQF=∠ABC\angle AQF = \angle ABC та AP=PEAP = PE й AQ=QFAQ = QF. Нехай точка MM — середина сторони BCBC. Доведіть, що ∠QMP=90∘−12∠BAC\angle QMP = 90^\circ - \frac{1}{2}\angle BAC.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-19-20-008

A-гарне число b і простість числа b + 1

Нехай aa — натуральне число. Натуральне число bb називатимемо aa-гарним, якщо число (Canb−1)\left(C_{an}^b - 1\right) ділиться націло на (an+1)(an + 1) для всіх натуральних n⩾ban \geqslant \dfrac{b}{a}. Дано aa-гарне число bb таке, що число (b+2)(b + 2) не є aa-гарним. Доведіть, що число (b+1)(b + 1) — просте.
10–11 класиФакторизація біноміальних коефіці…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-19-20-009

Найменша сукупність підмножин множини з 2ⁿ елементів

Дано натуральне число nn. Нехай CC — така сукупність підмножин множини {1,2,…,2n}\{1, 2, \ldots, 2^n\}, що: - усі підмножини множини {1,2,3,…,2n}\{1, 2, 3, \ldots, 2^n\}, що складаються з (2n−1)(2^n - 1) елементів, містяться в CC; - кожна непорожня множина S∈CS \in C містить такий елемент s∈{1,2,3,…,2n}s \in \{1, 2, 3, \ldots, 2^n\}, що множина S\{s}S \backslash \{s\} також належить до CC. Яка найменша кількість елементів може бути в CC?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-19-20-010

Учні за круглим столом та обміни неворогуючих сусідів

Деякі пари учнів школи Row у сварці. Але яка б підгрупа учнів цієї школи не була (де є хоча б 33 учні) і як би ми її не посадили за круглий стіл, завжди знайдеться пара сусідніх учнів, які не ворогують між собою. Першого вересня всіх учнів школи всадили за величезний круглий стіл. Якщо два сусіди не у сварці, то вони можуть помінятися місцями. Доведіть, що завдяки таким операціям учні зможуть сісти в будь-якому порядку. Примітка. Уважаємо однаковими порядки, що відрізняються поворотом круглого столу (місця за ним можуть змінюватися, проте діти залишаються сидіти так само одне відносно одного).
10–11 класиДерева
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-19-20-011

Перетин прямих A1A2 і B1B2 на висоті трикутника

У нерівнобедреному трикутнику ABCABC із центром описаного кола в точці OO проведено висоти AHaAH_a, BHbBH_b та CHcCH_c. Описане коло трикутника AOHaAOH_a перетинає вдруге описане коло трикутника ABCABC та пряму ABAB у точках B1B_1 та B2B_2 відповідно. Описане коло трикутника BOHbBOH_b перетинає вдруге описане коло трикутника ABCABC та пряму ABAB у точках A1A_1 та A2A_2 відповідно. Доведіть, що точка перетину прямих A1A2A_1A_2 та B1B2B_1B_2 лежить на прямій CHcCH_c.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-19-20-012

Скінченна множина чисел і простий спільний дільник пари

Нехай SS — скінченна множина натуральних чисел, відмінних від 11. Припустимо, що для кожного натурального числа nn існує деяке s∈Ss \in S, для якого (n,s)=1(n, s) = 1 або (n,s)=s(n, s) = s. Доведіть, що множина SS містить таких два елементи ss і tt, для яких (t,s)(t, s) — просте число. Примітка. Тут через (a,b)(a, b) позначено найбільший спільний дільник натуральних чисел aa та bb.
10–11 класиОсновна теорема арифметики
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-18-19-001

Інцентр трикутника з кутом 60° на відрізку P1T1

У трикутнику ABCABC відомо, що ∠ABC=60∘\angle ABC = 60^\circ, точка II — інцентр. Нехай точки PP і TT на сторонах ABAB і BCBC відповідно такі, що PI∥BCPI \parallel BC та TI∥ABTI \parallel AB, а точки P1P_1 і T1T_1 на сторонах ABAB і BCBC відповідно такі, що AP1=BPAP_1 = BP та CT1=BTCT_1 = BT. Доведіть, що точка II лежить на відрізку P1T1P_1T_1.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-18-19-002

Тури на трикутниках шестикутника і шахове розфарбування

Правильний шестикутник розрізано прямими на 6n26n^2 правильних трикутників (рис. 5.1). У трикутниках розставлено 2n2n тур, ніякі дві з них не б'ють одна одну. Доведіть, що в разі шахового розфарбування всіх 6n26n^2 правильних трикутників кількість тур, які стоять на чорних трикутниках, дорівнюватиме кількості тур, що стоять на білих трикутниках. Примітка. Тура б'є в напрямках, що паралельні сторонам шестикутника.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-18-19-003

Найбільша можлива різниця a2018 - a2017 у послідовності

Нехай a0,a1,a2…a_0, a_1, a_2\ldots — така послідовність дійсних чисел, що a0=0a_0 = 0, a1=1a_1 = 1 і для кожного натурального n⩾2n \geqslant 2 існує натуральне число kk, 1⩽k⩽n1 \leqslant k \leqslant n, для якого an=1k(an−1+…+an−k).a_n = \frac{1}{k}(a_{n-1} + \ldots + a_{n-k}). Знайдіть найбільше можливе значення a2018−a2017a_{2018} - a_{2017}.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.