Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

288 задач
Відбіркові змагання команди України на IMO
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-006

Двоколірна дошка n × n з двома одноколірними шляхами

Нехай n⩾3n \geqslant 3 — непарне натуральне число. Кожну клітинку дошки розміром n×nn \times n пофарбовано в жовтий або блакитний колір. Назвемо послідовність клітин S1,S2,…,SmS_1, S_2, \ldots, S_m шляхом, якщо всі вони одного кольору та клітинки SiS_i та SjS_j мають спільне ребро тоді і лише тоді, коли ∣i−j∣=1|i - j| = 1. Припустимо, що всі клітинки жовтого кольору утворюють шлях і всі клітинки блакитного кольору утворюють шлях. Доведіть, що один із двох шляхів починається або закінчується в центрі дошки.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-007

Найменше фішок двох кольорів на n×n з парним набором

Для кожного натурального n⩾4n \geqslant 4 знайдіть найменше натуральне число kk, яке задовольняє таку властивість: для довільного розташування kk фішок двох кольорів по клітинках дошки розміром n×nn \times n (не більше однієї фішки в клітинці) з них можна вибрати такий непорожній набір, щоб у кожному рядку й у кожному стовпчику стояла парна (можливо, нульова) кількість фішок кожного кольору.
10–11 класиДвочасткові графи
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-008

Вписаний чотирикутник та колінеарність з центром кола

Чотирикутник ABCDABCD вписано в коло ω\omega із центром OO. Припустимо, що кути BB і CC тупі, а прямі ADAD і BCBC не паралельні. Прямі ABAB і CDCD перетинаються в точці EE. Нехай PP і RR — основи перпендикулярів, опущених з точки EE на прямі BCBC і ADAD відповідно. QQ — точка перетину прямих EPEP і ADAD, SS — точка перетину прямих ERER і BCBC. Нехай KK — середина відрізка QSQS. Доведіть, що точки EE, KK та OO колінеарні.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-009

Система двох степеневих сум із нескінченною кількістю розв'язків

Нехай mm, nn — непарні взаємно прості натуральні числа. Знайдіть усі пари цілих чисел aa, bb, для яких система рівнянь {xm+ym+zm=a,xn+yn+zn=b\begin{cases} x^m + y^m + z^m = a, \\ x^n + y^n + z^n = b \end{cases} має безліч розв'язків у цілих числах xx, yy, zz.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-010

Точки загального положення і трикутники з однією точкою всередині

Знайдіть усі натуральні числа n⩾4n \geqslant 4, для яких існують nn точок загального положення на площині таких, що довільний трикутник з вершинами, які належать випуклій оболонці цих nn точок, містить усередині рівно одну з n−3n - 3 точок, що залишилися.
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-011

Функції з рівністю для четвірок з однаковою сумою

Знайдіть усі функції f ⁣:R→Rf\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, які задовольняють умову (f(x)−f(y))(u−v)=(f(u)−f(v))(x−y)(f(x) - f(y))(u - v) = (f(u) - f(v))(x - y) для довільних дійсних xx, yy, uu, vv таких, що x+y=u+vx + y = u + v.
10–11 класиМетод допоміжних функцій: g(x) =…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-012

Кількість n з подільністю n!+1 на p

Доведіть, що для довільного простого p⩾3p \geqslant 3 кількість натуральних чисел nn, для яких p∣n!+1p \mid n!+1, не перевищує cp2/3cp^{2/3}, де cc — константа, яка не залежить від pp.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-001

Середина відрізка MN на колі трикутника PQR

Навколо рівнобедреного трикутника ABCABC з основою BCBC описали коло. Відрізок ADAD — діаметр кола, а точка PP лежить на меншій дузі BDBD. Пряма DPDP перетинає промені ABAB та ACAC у точках MM і NN, а прямі BPBP і CPCP перетинають пряму ADAD у точках QQ і RR. Доведіть, що середина відрізка MNMN лежить на описаному колі трикутника PQRPQR.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-002

Найбільша кількість зірочок з умовою на рядки або стовпці

Учитель повідомив Петрику непарне натуральне число l⩽2013l\leqslant 2013 і дав хлопцю домашнє завдання. Петрик має розставити зірочки в комірках таблиці 2013×20132013\times 2013 так, щоб справджувалася умова: якщо в деякій клітинці таблиці стоїть зірочка, то або в рядку, або в стовпчику, де міститься ця клітинка, має стояти не більше ніж ll зірочок (включно з даною). При цьому в кожну комірку таблиці хлопець може поставити щонайбільше одну зірочку. Учитель пообіцяв Петрику, що його оцінка буде пропорційною кількості зірочок, які хлопцю вдасться розставити. Яку найбільшу кількість зірочок зможе розставити в таблиці Петрик?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-003

Многочлени з невід’ємними коефіцієнтами і подільність радикалів

Функцію rad⁡:N∪{0}→N\operatorname{rad} : \mathbb{N} \cup \{0\} \to \mathbb{N} визначено таким чином: rad⁡(0)=rad⁡(1)=1;\operatorname{rad}(0) = \operatorname{rad}(1) = 1; якщо n=p1α1p2α2⋅…⋅pkαkn = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{\alpha_k} — канонічний розклад натурального числа n⩾2n \geqslant 2 на прості множники, то rad⁡(n)=p1p2⋅…⋅pk\operatorname{rad}(n) = p_1 p_2 \cdot \ldots \cdot p_k. Знайдіть усі такі многочлени f(x)f(x) із цілими невід’ємними коефіцієнтами, що для довільного n∈Nn \in \mathbb{N} число rad⁡(f(nrad⁡(n)))\operatorname{rad}(f(n^{\operatorname{rad}(n)})) націло ділиться на rad⁡(f(n))\operatorname{rad}(f(n)).
10–11 класиМала теорема Ферма
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-004

Чарівні множини, що містять числа m і n

Назвімо чарівною множину AA цілих чисел, що має таку властивість: якщо x∈Ax \in A, y∈Ay \in A і kk — довільне ціле число, то x2+kxy+y2∈Ax^2 + kxy + y^2 \in A. Знайдіть усі пари m⩽nm \leqslant n цілих чисел, для яких єдиною чарівною множиною, що містить числа mm і nn водночас, є множина всіх цілих чисел.
10–11 класиЛінійні діофантові рівняння
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-005

Нерівність з кубічними коренями при xyz = 1

Для додатних чисел xx, yy та zz, які задовольняють умову xyz=1xyz = 1, доведіть нерівність x+y2z3+y+z2x3+z+x2y3⩽5(x+y+z)+98.\sqrt[3]{\frac{x+y}{2z}} + \sqrt[3]{\frac{y+z}{2x}} + \sqrt[3]{\frac{z+x}{2y}} \leqslant \frac{5(x+y+z)+9}{8}.
10–11 класиЗаміни в виразах з радікалами
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-006

Шість точок і перетини серединних перпендикулярів

На площині позначили шість різних точок AA, BB, CC, DD, EE, FF. Жодні чотири з них не належать одному колу, і жодні два відрізки з кінцями в цих точках не лежать на паралельних прямих. Нехай PP, QQ і RR — точки перетину серединних перпендикулярів до пар відрізків (AD,BE)(AD, BE), (BE,CF)(BE, CF) та (CF,DA)(CF, DA) відповідно, а P′P', Q′Q' і R′R' — точки перетину серединних перпендикулярів до пар відрізків (AE,BD)(AE, BD), (BF,CE)(BF, CE) та (CA,DF)(CA, DF) відповідно. Покажіть, що P≠P′P \neq P', Q≠Q′Q \neq Q', R≠R′R \neq R', і доведіть, що прямі PP′PP', QQ′QQ' та RR′RR' перетинаються в одній точці або є паралельними.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-007

2013 користувачів без трьох попарних друзів

У соціальній мережі «Граф» зареєстровано 20132013 користувачів. Деякі користувачі є друзями, причому дружба у «Графі» взаємна. Відомо, що серед користувачів мережі не знайдеться трьох, кожні два з яких дружили б між собою. Знайдіть найбільшу можливу кількість пар друзів у «Графі».
10–11 класиКласичні теореми теорії графів
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-008

Бісектриса і коло через B, C, X, Y

Відомо, що сторони ABAB і ACAC трикутника ABCABC мають різну довжину. Нехай точка OO — центр описаного кола, а відрізок ADAD — бісектриса трикутника. Точка EE симетрична точці DD відносно середини сторони BCBC. Пряма, перпендикулярна до BCBC, що проходить через точку DD, перетинає пряму AOAO в точці XX, а пряма, перпендикулярна до BCBC, що проходить через EE, перетинає пряму ADAD у точці YY. Доведіть, що BB, CC, XX та YY лежать на одному колі.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-009

Функціональне рівняння з квадратами f²(x+y) та f(xy)

Знайдіть усі функції f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, що для довільних дійсних чисел xx і yy задовольняють співвідношення f2(x+y)=f2(x)+2f(xy)+f2(y).f^2(x+y) = f^2(x) + 2f(xy) + f^2(y).
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-010

Розбиття цілих і раціональних чисел з неперетинними сумами

Нехай XX і YY — деякі числові множини. Запровадимо позначення X+Y={x+y∣x∈X, y∈Y}.X+Y=\{x+y \mid x\in X,\ y\in Y\}. Інакше кажучи, X+YX+Y — множина, що складається з усіх чисел, які можна подати як суму числа з множини XX і числа з множини YY. Назвімо числову множину SS розбивною, якщо її можна розбити на три непорожні попарно неперетинні підмножини AA, BB та CC (де A∪B∪C=SA\cup B\cup C=S), для яких множини A+BA+B, B+CB+C і C+AC+A також є попарно неперетинними. а) Чи є розбивною множина всіх цілих чисел? б) Чи є розбивною множина всіх раціональних чисел?
10–11 класиКонструкція через періодичність
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-011

Прості дільники чисел подвійного степеня двійки плюс а

Задано натуральне число aa. Доведіть, що є нескінченна кількість простих чисел pp таких, що при деякому натуральному nn число 22n+a2^{2^n}+a ділиться на pp.
10–11 класиТеорема Ейлера
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-012

Кількість гарних розфарбувань 4026 точок двох кольорів

На площині відмітили 40264026 точок, жодні три з яких не лежать на одній прямій. При цьому 20132013 точок є вершинами опуклого многокутника, а інші 20132013 точок лежать усередині цього многокутника. Дозволено пофарбувати кожну точку в один із двох кольорів. Розфарбування буде гарним, якщо деякі пари точок можна сполучити відрізками з дотриманням таких умов: - кожен відрізок сполучає точки однакового кольору; - жодні два проведені відрізки не перетинаються у своїх внутрішніх точках; - для довільної пари точок однакового кольору існує шлях по проведених відрізках від однієї точки до іншої. Зверніть увагу, що сторони опуклого 20132013-кутника не є автоматично проведеними відрізками, хоча деякі з них (або й усі) за потреби можна провести. Доведіть, що загальна кількість гарних розфарбувань не залежить від конкретного розташування точок, і знайдіть цю кількість.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-11-12-001

Нерівність для суми коренів з 2a²+bc

Нехай aa, bb, cc — додатні дійсні числа. Доведіть, що 2a2+bc+2b2+ca+2c2+ab⩾3ab+bc+ca.\sqrt{2a^2+bc}+\sqrt{2b^2+ca}+\sqrt{2c^2+ab}\geqslant 3\sqrt{ab+bc+ca}.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-11-12-002

Вписаний чотирикутник, середини сторін і спільна точка кіл

Нехай EE — точка перетину діагоналей вписаного чотирикутника ABCDABCD, FF — точка перетину прямих ABAB і CDCD, MM — середина сторони ABAB, NN — середина сторони CDCD. Кола, описані навколо трикутників ABEABE та ACNACN, удруге перетинаються в точці KK. Доведіть, що точки FF, KK, MM і NN лежать на одному колі.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-11-12-003

Парні досконалі числа у вигляді суми двох кубів

Натуральне число nn називається досконалим, якщо воно дорівнює сумі всіх своїх натуральних дільників, відмінних від самого nn. Наприклад, число 66 — досконале, тому що 6=1+2+36=1+2+3. Знайдіть усі парні досконалі числа, які можна подати як суму двох кубів натуральних чисел.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-11-12-004

Геометричне місце точок X при вписаному колі

Вписане в рівнобедрений трикутник ABCABC (AB=ACAB = AC) коло ω\omega дотикається до його сторін ABAB і ACAC у точках KK і LL відповідно. На продовженні сторони BCBC за точку BB вибрано довільну точку MM. Пряма MLML удруге перетинає ω\omega у точці NN, пряма BNBN вдруге перетинає ω\omega у точці PP. На прямій PKPK відмічено точку XX, так що KK лежить між PP та XX і KX=KMKX = KM. Визначте геометричне місце точок XX.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-11-12-005

Слова з літер М та У і їх кількість

В алфавіті племені муму — усього дві літери: М та У. Словом у мові муму є будь-яка послідовність літер М та У, у якій поряд з кожною літерою М є літера У (наприклад, УУУ та УММУМ є словами, а ММУ — ні). Нехай f(m,u)f(m,u) позначає кількість слів мови муму, у яких є рівно mm літер М та рівно uu літер У. Доведіть, що для будь-яких u⩾2u \geqslant 2 та 3⩽m⩽2u3 \leqslant m \leqslant 2u справджується рівність f(m,u)−f(2u−m+1,u)=f(m,u−1)−f(2u−m+1,u−1).f(m,u)-f(2u-m+1,u)=f(m,u-1)-f(2u-m+1,u-1).
10–11 класиБієкції
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-11-12-006

Ірраціональність числа з k-тих цифр степенів двійки

Для натурального числа kk позначимо через ana_n kk-ту цифру зліва в десятковому записі числа 2n2^n (an=0a_n = 0, якщо в записі числа 2n2^n менше kk цифр). Розглянемо нескінченний десятковий дріб α=0,a1a2a3…\alpha = 0{,}a_1a_2a_3\ldots. Доведіть, що число α\alpha ірраціональне.
10–11 класиНаближення дійсних чисел і оцінки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.