Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

288 задач
Відбіркові змагання команди України на IMO
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-09-10-008

Послідовні послідовності натуральних чисел, відмінні від n

Розглядатимемо нескінченні послідовності натуральних чисел, у яких кожне натуральне число трапляється рівно один раз. Нехай {an}\{a_n\}, де n⩾1n \geqslant 1, — така послідовність. Назвемо її «послідовною», якщо для довільного натурального kk та кожних натуральних nn і mm, таких, що an<ama_n < a_m, справджується також нерівність akn<akma_{kn} < a_{km}. Наприклад, послідовність an=na_n = n — «послідовна». а) Доведіть, що існують «послідовні» послідовності, відмінні від an=na_n = n. б) Чи існують «послідовні» послідовності, для яких an≠na_n \neq n, де n⩾2n \geqslant 2? в) Чи існують «послідовні» послідовності, для яких an≠na_n \neq n, де n⩾1n \geqslant 1?
10–11 класиОсновна теорема арифметики
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-09-10-009

П'ять відер у вершинах п'ятикутника та гра з водою

П'ять однакових дволітрових відер стоять на дворі у вершинах правильного п'ятикутника. Попелюшка та її зла мачуха проводять декілька раундів гри за таким правилом. На початку кожного раунду мачуха набирає 11 л брудної води з найближчої калюжі та розподіляє її довільним чином між 55 відрами у дворі. Попелюшка обирає два довільних відра, які стоять поруч (у сусідніх вершинах п'ятикутника), та виливає з них воду в калюжу й ставить порожні відра на місце. Це закінчує черговий раунд. Мачуха прагне зробити так, щоб принаймні в одному відрі вода перелилася через край (тобто після її доливання у ведрі мало бути більше ніж 22 л води), а Попелюшка — не допустити цього. Чи зможе мачуха досягти своєї мети?
10–11 класиІнші інваріанти
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-09-10-010

Збалансовані значення многочлена (x+a)(x+b)

Натуральне число NN називають збалансованим, якщо N=1N=1 або NN можна подати у вигляді добутку парної кількості простих чисел (необов'язково різних). Для заданих натуральних чисел aa та bb розглянемо многочлен P(x)=(x+a)(x+b)P(x)=(x+a)(x+b). а) Доведіть, що існують такі різні натуральні числа aa та bb, що всі числа P(1)P(1), P(2)P(2), …\ldots, P(50)P(50) є збалансованими. б) Доведіть, що зі збалансованості P(n)P(n) для всіх натуральних nn випливає a=ba=b.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-09-10-011

Трикутник з дотичним колом і точки M та N

Нехай у трикутнику ABCABC AB>ACAB > AC. Коло ωa\omega_a дотикається до відрізка BCBC у точці DD, до продовження відрізка ABAB за точку BB — у точці FF, а до продовження відрізка ACAC за точку CC — у точці EE. Промінь ADAD перетинає вдруге коло ωa\omega_a у точці MM. Позначимо коло, яке описане навколо трикутника CDMCDM, через ω\omega. Це коло перетинає відрізок DFDF у точці NN. Доведіть, що FN>NDFN > ND.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-09-10-012

Подання раціонального числа сумою n одиничних дробів

Чи існує натуральне число nn, для якого виконується така умова: для довільного раціонального rr існує ціле число bb і цілі числа a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, що не дорівнюють нулю, і r=b+1a1+1a2+…+1an?r = b + \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \ldots + \frac{1}{a_n}?
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-08-09-001

Трапеція, рівні кути та кола через середину

Задана трапеція ABCDABCD з основами ABAB і CDCD. Нехай існують такі точки EE на прямій BCBC, зовні відрізку BCBC, та точка FF всередині відрізку ADAD такі, що ∠DAE=∠CBF\angle DAE = \angle CBF. Позначимо через II та JJ точки перетину з прямою EFEF прямих CDCD та ABAB відповідно. Нехай точка KK – середина відрізку EFEF і вона не лежить на прямій ABAB. Довести, що точка KK лежить на колі, що описане навколо трикутника ABIABI тоді і тільки тоді, коли точка KK лежить на колі, що описане навколо трикутника CDJCDJ.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-08-09-002

Найменше k для нерівності зі сторонами трикутника

Нехай a,b,ca, b, c – сторони деякого трикутника. Знайти найменше значення kk, для якого завжди виконується нерівність ∣a−ba+b+b−cb+c+c−ac+a∣<k\left|\frac{a-b}{a+b} + \frac{b-c}{b+c} + \frac{c-a}{c+a}\right| < k.
10–11 класиІнші нерівності в геометрії
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-08-09-003

Велика сім'я підмножин та їхній спільний перетин

Нехай SS – це деяка множина, що складається з nn елементів, FF – це сукупність підмножин SS, що складається з 2n−12^{n-1} таких підмножин, що кожні три такі підмножини мають непорожній перетин. а) Показати, що перетин усіх підмножин з FF непорожній. б) Якщо замінити кількість множин з 2n−12^{n-1} на 2n−1−12^{n-1}-1 чи зміниться попередня відповідь?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-08-09-004

Функціональне рівняння з сумою xⁿ f(x) + yⁿ f(y)

Нехай nn – деяке натуральне число. Знайти всі функції f:R+→Rf : \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R} (тобто функції, визначені на множині усіх додатних дійсних чисел з дійсними значеннями), для яких виконується рівність f(xn+1+yn+1)=xnf(x)+ynf(y)f\left(x^{n+1} + y^{n+1}\right) = x^{n}f\left(x\right) + y^{n}f\left(y\right) для будь-яких додатних дійсних чисел x,yx, y.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-08-09-005

П'ять точок на колі та трикутник з ортоцентрів

Нехай A,B,C,DA, B, C, D та EE – послідовні точки на колі з центром в точці OO, такі, що AC=BD=CE=DOAC = BD = CE = DO. Нехай точки H1,H2H_1, H_2 та H3H_3 – це точки перетину висот трикутників ACD,BCDACD, BCD та BCEBCE відповідно. Довести, що трикутник H1H2H3H_1H_2H_3 – прямокутний.
10–11 класиВекторний метод
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-08-09-006

Рівні множини лишків k² + 1 і степенів g

Знайти всі непарні прості числа pp, для яких існує натуральне gg, при якому множини A={(k2+1) mod p | k=1,2,…,p−12}A = \left\{ \left(k^2 + 1\right) \bmod p \,\middle|\, k = 1, 2, \ldots, \frac{p - 1}{2} \right\} і B={gk mod p | k=1,2,...,p−12}B = \left\{ g^k \bmod p \,\middle|\, k = 1, 2, ..., \frac{p - 1}{2} \right\} рівні.
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-08-09-007

Сума двох різних чисел і дільники потроєних чисел

Нехай a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n – різні натуральні числа, n≥3n \geq 3. Довести, що існують різні індекси ii та jj, такі що (ai+aj)(a_i + a_j) не ділить жодне з чисел 3a1,3a2,…,3an3a_1, 3a_2, \ldots, 3a_n.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-08-09-008

Два кола, пряма AB і фіксована точка

Задані два кола γ1\gamma_1 та γ2\gamma_2 з центрами у точках O1O_1 та O2O_2 відповідно. На колі γ2\gamma_2 вибрали деяку точку KK і побудували два кола – γ3\gamma_3, яке дотикається до кола γ2\gamma_2 у точці KK і кола γ1\gamma_1 у точці AA, та γ4\gamma_4, яке дотикається до кола γ2\gamma_2 у точці KK і кола γ1\gamma_1 у точці BB. Довести, що незалежно від вибору точки KK на колі γ2\gamma_2, усі прямі ABAB проходять через фіксовану точку площини.
10–11 класиІнверсія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-08-09-009

Існування іспанської пари для двох множин

Нехай SS – це деяка підмножина дійсних чисел. Назвемо пару функцій (f,g)(f, g) – іспанською парою для множини SS, якщо вони задовольняють такі умови: 1) обидві функції є строго зростаючими, тобто ∀x,y∈S\forall x, y \in S f(x)<f(y)f(x) < f(y), g(x)<g(y)g(x) < g(y); 2) ∀x∈S\forall x \in S справджується нерівність: f(g(g(x)))<g(f(x))f\left(g\left(g(x)\right)\right) < g\left(f(x)\right). З'ясувати, чи існує іспанська пара, якщо: а) множина S=NS = \mathbb{N} – множина натуральних чисел; б) множина S={a−1b  |  a,b∈N}S = \left\{ a - \frac{1}{b} \;\middle|\; a, b \in N \right\}.
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-08-09-010

Точки P і Q всередині опуклого чотирикутника ABCD

Всередині опуклого чотирикутника ABCDABCD вибрані точки PP та QQ таким чином, що PQDAPQDA та QPBCQPBC – вписані чотирикутники. Припустимо, що існує така точка EE на відрізку PQPQ, що ∠PAE=∠QDE\angle PAE = \angle QDE та ∠PBE=∠QCE\angle PBE = \angle QCE. Довести, що чотирикутник ABCDABCD також вписаний.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-08-09-011

Найменша кількість жовто-блакитних клітинок таблиці n на n

Нехай задано натуральні числа m<nm < n. Розглянемо таблицю розміром n×nn \times n, у комірках якої довільним чином записані усі числа від 11 до n2n^2. В кожному рядочку таблиці пофарбуємо в жовтий колір mm найбільших елементів. Аналогічно, блакитним пофарбуємо mm найбільших елементів в кожному стовпчику. Знайти найменшу можливу кількість клітинок, що пофарбовані жовтим і блакитним одночасно.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-08-09-012

Нерівність з висотами та відрізками в гострокутному трикутнику

Позначимо у гострокутного △ABC\triangle ABC зі сторонами a,b,ca, b, c відповідно через Ha,Hb,HcH_a, H_b, H_c основи висот ha,hb,hch_a, h_b, h_c. Довести нерівність: ha2a2−CHa2+hb2b2−AHb2+hc2c2−BHc2≥3.\frac{h_a^2}{a^2 - CH_a^2} + \frac{h_b^2}{b^2 - AH_b^2} + \frac{h_c^2}{c^2 - BH_c^2} \ge 3.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-07-08-001

Різниця кутів MTB і CTM у рівнобедреному трикутнику

Дано рівнобедрений трикутник ABCABC (AB=ACAB = AC). Позначимо через MM середину сторони BCBC. Нехай XX – деяка точка на меншій з дуг MAMA описаного навколо трикутника ABMABM кола. Точка TT, що лежить всередині кута BMABMA, така, що ∠TMX=90∘\angle TMX = 90^\circ та TX=BXTX = BX. Доведіть, що різниця ∠MTB−∠CTM\angle MTB - \angle CTM не залежить від положення точки XX.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-07-08-002

Найбільша довжина рядка з цифр і літер

У рядок записані символи – цифри від 00 до 99 та українські букви (їх 3333). Деякі символи можуть повторюватися. При цьому у рядку немає таких двох різних цифр nin_i та njn_j, що ni>njn_i > n_j та nin_i знаходиться у рядку лівіше за njn_j. Також немає таких двох різних букв lil_i та ljl_j, що lil_i зустрічається у алфавіті пізніше за ljl_j і при цьому lil_i знаходиться у рядку лівіше за ljl_j. Також немає двох однакових символів, які ідуть підряд або через один символ. Яка найбільша кількість символів (цифр та букв разом) може бути у такому рядку?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-07-08-003

Нерівність з добутком a+b, b+c, c+d, d+a

Для додатних чисел a,b,c,da, b, c, d довести нерівність: (a+b)(b+c)(c+d)(d+a)(1+abcd4)4≥16abcd(1+a)(1+b)(1+c)(1+d).(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)\left(1 + \sqrt[4]{abcd}\right)^4 \ge 16abcd(1+a)(1+b)(1+c)(1+d).
10–11 класиНерівність Коші
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-07-08-004

Внутрішній дотик двох кіл і рівність сум відрізків

Кола w1,w2w_1, w_2 дотикаються внутрішнім чином в точці PP. На їх спільній дотичній по різні боки від точки PP обрані точки AA і BB. Нехай CC – точка перетину дотичних, що проведені з точки AA до кола w1w_1, і з точки BB до кола w2w_2, точка DD – точка перетину дотичних, що проведені з точки BB до кола w1w_1, і з точки AA до кола w2w_2. Довести, що CA+CB=DA+DBCA + CB = DA + DB.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-07-08-005

Функціональне рівняння f(x + f(y)) = f(x + y) + f(y)

Знайти усі функції f:R+→R+f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ такі, що f(x+f(y))=f(x+y)+f(y)f(x + f(y)) = f(x + y) + f(y) для усіх x,y∈R+x, y \in \mathbb{R}^+. (Символом R+\mathbb{R}^+ тут позначено множину усіх додатних дійсних чисел).
10–11 класиМетод допоміжних функцій: g(x) =…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-07-08-006

Нескінченно багато пар різних натуральних чисел з подільністю

Довести, що існує нескінченно багато пар різних натуральних чисел (a,b)(a, b) відмінних від 11, для яких виконується умова: (bb+a)⋮(aa+b)(b^b + a) \vdots (a^a + b).
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-07-08-007

Періодичність послідовності графів зі спільними сусідами

На площині є граф Γ0\Gamma_0 з вершинами A1,A2,...,AnA_1, A_2, ..., A_n. Граф Γm+1\Gamma_{m+1} будується таким чином – у графі Γm\Gamma_m витираємо усі ребра, а нові ребра будуються за правилом: дві різні вершин AiA_i і AjA_j з'єднуються ребром тоді і тільки тоді, коли існує відмінна від них третя вершина AkA_k така, що AkA_k була одночасно зв'язана з AiA_i і AjA_j. Довести, що нескінченна послідовність (Γm)(\Gamma_m), m∈Nm \in N починаючи з деякого номера періодична з періодом T≤2nT \le 2^n.
10–11 класиЗв’язність
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-07-08-008

Функції з нерівністю та значення f(2008)

Розглянемо функції f:N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N}, які задовольняють умову f(m+n)≥f(m)+f(f(n))−1f (m + n) \ge f (m) + f (f (n)) - 1 для усіх m,n∈Nm, n \in \mathbb{N}. Знайдіть усі можливі значення f(2008)f (2008).
10–11 класиВластивості монотонності або обме…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.