Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-001

Число з 18 послідовних, кратне сумі своїх цифр

Доведіть, що з 1818 послідовних натуральних чисел, менших або рівних 20252025, існує принаймні одне, яке ділиться на суму своїх цифр.
8 класОзнаки подільності на 2, 3, …
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-003

Шість вершин трикутників, утворених прямими з рівними кутами

Задано гострокутний трикутник ABCABC. На стороні BCBC вибрано точку A1A_1 та точку A2A_2 — на відрізку A1CA_1C; на стороні ACAC вибрано точку B1B_1 та точку B2B_2 — на відрізку B1AB_1A; на стороні ABAB вибрано точку C1C_1 та точку C2C_2 — на відрізку C1BC_1B, таким чином, що справджується рівність: ∠AA1A2=∠AA2A1=∠BB1B2=∠BB2B1=∠CC1C2=∠CC2C1.\angle AA_1A_2 = \angle AA_2A_1 = \angle BB_1B_2 = \angle BB_2B_1 = \angle CC_1C_2 = \angle CC_2C_1. Прямі AA1AA_1, BB1BB_1 та CC1CC_1 утворюють перший трикутник, а прямі AA2AA_2, BB2BB_2 та CC2CC_2 — другий. Доведіть, що всі 66 вершин цих трикутників лежать на одному колі.
8 класТочка перетину висот
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-004

Дві множини інтервалів на числовій прямій

На числовій прямій задано дві множини інтервалів AA та BB. Множина AA складається з 2m−12m - 1 інтервалу, де m∈Nm \in \mathbb{N}, при цьому кожні два із цих інтервалів перетинаються, але не мають жодної спільної крайньої точки. Крім того, кожен інтервал із множини AA містить принаймні два інтервали з множини BB, що між собою вже не перетинаються. Доведіть, що в множині BB є інтервал, що належить принаймні mm інтервалам з AA. Примітка. Інтервалом (a,b)(a, b) називається множина точок вигляду {x∈R∣a<x<b}\{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}.
8 класОпуклі множини
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-017

Найбільша гарантована оцінка суми при одиничному добутку

Для натурального n⩾2n \geqslant 2 задано довільний набір додатних чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, для якого a1a2…an=1a_1 a_2 \ldots a_n = 1. Знайдіть найбільше можливе значення cnc_n, для якого гарантовано справджується нерівність: 11+a1+11+a2+…+11+an⩾cn.\frac{1}{1+a_1} + \frac{1}{1+a_2} + \ldots + \frac{1}{1+a_n} \geqslant c_n.
9 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-018

Студенти в квадраті 8×8 і 6 запитань тесту

У тестовому іспиті брали участь 6464 студенти, що сиділи у формі квадрата 8×88 \times 8. Тест містив 66 запитань, на кожне з яких треба було вибрати одну з двох відповідей. Чи могло скластися так, щоб відповіді кожного студента відрізнялися від кожного іншого принаймні до одного питання, і щоб у двох студентів, що сидять поруч в одному рядку чи в одному стовпчику, відповіді збігалися не більше ніж до одного питання?
9 класКонструкція через періодичність
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-023

Нерівність для площ частин опуклого чотирикутника

Точку OO вибрано всередині опуклого чотирикутника ABCDABCD із площею SS. Точки K,L,M,NK, L, M, N обрано відповідно на сторонах AB,BC,CD,DAAB, BC, CD, DA цього чотирикутника таким чином, що OKBLOKBL та OMDNOMDN — паралелограми, а чотирикутники AKONAKON та OLCMOLCM мають площі S1S_1 та S2S_2 відповідно. Доведіть, що справджується нерівність: S⩾S1+S2\sqrt{S} \geqslant \sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}.
10 класПлощі подібних фігур
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-028

Найбільша стала для суми дробів при добутку один

Для натурального n⩾2n \geqslant 2 задано довільний набір додатних чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, для якого a1a2…an=1a_1 a_2 \ldots a_n = 1. Знайдіть найбільше можливе значення cnc_n, для якого гарантовано справджується нерівність: 11+2a1+11+2a2+…+11+2an⩾cn.\frac{1}{1+2a_1} + \frac{1}{1+2a_2} + \ldots + \frac{1}{1+2a_n} \geqslant c_n.
11 класНерівність Коші
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-029

Вчені на конгресі, привітання і спільні колеги

У конгресі брали участь 12k12k вчених. Кожен учасник привітався з 3k+63k + 6 колегами. При цьому для кожних двох учених кількість колег, з кожним з яких вони обидва привіталися, однакова. Скільки було на конгресі вчених і чи могло таке взагалі трапитися?
11 класПідрахунок двома способами
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-007

Квадрати натуральних чисел виду 2^k n - 7

Нехай kk — натуральне число. Доведіть, що існує нескінченно багато квадратів натуральних чисел, які мають форму 2kn−72^k n - 7, де nn — натуральне число.
8 класМетод діофантових січних
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-008

Четвірка натуральних чисел із заданою рівністю і великим a

Розглянемо рівність 2a2+2b2+2c2+2d2=3abcd2a^2 + 2b^2 + 2c^2 + 2d^2 = 3abcd, де a,b,c,da, b, c, d — натуральні числа. Чи існує така четвірка натуральних чисел, що задовольняє вказану рівність, при a>2028a > 2028?
8 класСтрибки Вієта
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-019

Два кола, що перетинаються, та дуга EF

Нехай γ1\gamma_1 та γ2\gamma_2 — два кола на площині із центрами в точках AA і BB відповідно, а CC і DD — їхні точки перетину. Припустимо, що описане коло трикутника ABCABC перетинає γ1\gamma_1 у точці EE та γ2\gamma_2 у точці FF, і дуга EFEF, що не містить точку CC, лежить за межами області, обмеженої колами γ1\gamma_1 та γ2\gamma_2. Доведіть, що ця дуга ділиться навпіл прямою CDCD.
9 класЦентральні і вписані кути
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-020

Три одноколірні рівні трикутники у триколірному 45-кутнику

Вершини правильного 4545-кутника пофарбовано в три кольори так, що кожним кольором пофарбовано рівно по 1515 вершин. Доведіть, що можна вибрати по 33 вершини кожного кольору таким чином, щоб три трикутники з вершинами у вибраних точках одного кольору були рівними.
9 класПідрахунок двома способами
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-024

Послідовність цілих чисел, задана рекурентно

Послідовність цілих чисел g(n)g(n), n=0,1,2,…n = 0, 1, 2, \ldots задається такими умовами: g(0)=0,g(n)=n−g(g(n−1)),n=1,2,…g(0) = 0, \quad g(n) = n - g(g(n-1)), \quad n = 1, 2, \ldots Доведіть, що: а) для кожного натурального kk справджується нерівність g(k)⩾g(k−1)g(k) \geqslant g(k-1); б) не існує такого натурального kk, для якого g(k+1)=g(k)=g(k−1)g(k+1) = g(k) = g(k-1).
10 класМетод математичної індукції
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-025

Рівняння з натуральними x, y та НСД

Знайдіть усі натуральні числа x,yx, y, що задовольняють рівність: x+y2+НСД(x,y)3=xy⋅НСД(x,y).x + y^2 + \text{НСД}(x,y)^3 = xy \cdot \text{НСД}(x,y).
10 класНСД та НСК
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-030

Перпендикулярні бісектриси та паралельність XY і EC

Трикутники ABCABC та ADEADE такі, що точка EE розташована на промені ABAB, а точка DD — на промені ACAC. Виявилося, що бісектриси BXBX та DYDY цих трикутників перпендикулярні. Доведіть, що XY∥ECXY \parallel EC.
11 класГомотерія і подібність
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-031

Існування опуклого рівностороннього многокутника на параболі

Чи існує опуклий NN-кутник, усі сторони якого рівні, а всі вершини лежать на параболі y=x2y = x^2, якщо а) N=2011N = 2011; б) N=2012N = 2012?
11 класКонструкція через симетрією
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-009

Сума і добуток блакитних чисел при фарбуванні

Усі натуральні числа та число 00 пофарбовано у два кольори, жовтий та блакитний, таким чином, що справджуються такі умови: - за такого фарбування є принаймні одне жовте та одне блакитне числа; - сума жовтого та блакитного чисел є жовтим числом; - добуток жовтого та блакитного чисел є блакитним числом. Доведіть, що добуток та сума двох блакитних чисел є блакитним числом.
8 класКольорові інваріанти (розфарбуван…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-011

Центри прямокутників з вершинами на сторонах гострокутного трикутника

Задано гострокутний трикутник ABCABC. а) Знайдіть геометричне місце точок — центрів прямокутників, вершини яких лежать на сторонах трикутника ABCABC. б) З'ясуйте, чи обов'язково існує точка, яка є центром трьох різних прямокутників, вершини яких лежать на сторонах трикутника ABCABC. Примітка. Центром прямокутника вважається точка перетину його діагоналей.
8 класПаралельні прямі і теорема Фалеса
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-012

Операція з двома рівностями та скінченні множини

Для непорожньої множини MM визначено операцію ∗* таку, що для довільних a,b∈Ma, b \in M значення a∗ba * b належить множині MM. При цьому для довільних a,b∈Ma, b \in M справджуються такі умови: (a∗b)∗b=a(a*b)*b = a та a∗(a∗b)=ba*(a*b) = b. а) Доведіть, що ця операція комутативна, тобто для довільних a,b∈Ma, b \in M виконується a∗b=b∗aa*b = b*a. б) Для яких скінченних множин MM така операція існує?
8 класБазові підстановки (однакові аргу…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-021

Найбільша кількість очок у футбольному чемпіонаті з 2n команд

У чемпіонаті з футболу взяли участь 2n>22n > 2 команд. Вони зіграли в одне коло, коли кожна команда з кожною грає рівно 11 раз, при цьому весь чемпіонат тривав рівно 2n−12n - 1 тур, у кожному з яких усі 2n2n команд розбивалися на пари, що грали між собою. Після завершення чемпіонату виявилося, що відношення набраних очок до кількості проведених ігор у кожної команди була однаковою після передостаннього та після останнього турів. Яку кількість очок могла набрати команда, що набрала найбільшу кількість очок? Укажіть усі можливі відповіді. Нагадаємо, що за перемогу в матчі команда отримує 33 очки, за нічию — 11 очко, за поразку очки не нараховуються.
9 класПідрахунок двома способами
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-027

Прямі X1Y1, X2Y2 та PQ у трикутнику

У трикутнику ABCABC на стороні BCBC вибрано точку PP, точки I1I_1 та I2I_2 — центри вписаних кіл трикутників ABPABP та APCAPC відповідно. Кола ω1\omega_1 та ω2\omega_2 мають центрами точки I1I_1 та I2I_2 відповідно та проходять через точку PP. Точка QQ — друга точка перетину кіл ω1\omega_1 та ω2\omega_2. X1X_1 та Y1Y_1 — точки перетину ω1\omega_1 із прямими ABAB та BCBC відповідно, які є ближчими до вершини BB. X2X_2 та Y2Y_2 — точки перетину ω2\omega_2 з прямими ACAC та BCBC відповідно, які є ближчими до вершини CC. Доведіть, що прямі X1Y1X_1Y_1, X2Y2X_2Y_2 та PQPQ перетинаються в одній точці.
10 класРадикальна вісь
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-032

Хто переможе в грі з купками монет

Альберт і Барбара грають у таку гру: спочатку на столі лежить 40484048 купок монет, що містять відповідно 1,1,…,1⏟2024,2,3,4,…,2025\underbrace{1, 1, \ldots, 1}_{2024}, 2, 3, 4, \ldots, 2025 монет. Гравці роблять ходи по черзі, і розпочинає Альберт. Кожен гравець робить один з таких можливих ходів: - забирає 11 монету з будь-якої купки; - ділить довільну купку на дві купки, у кожній з яких має бути принаймні 11 монета. Перемагає той, хто забере зі стола останню монету. З'ясуйте, хто може перемогти в цій грі, якщо кожний прагне перемогти.
11 класІнші інваріанти
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-033

Нерівність для зростаючої послідовності дійсних чисел

Доведіть, що для довільного цілого n⩾3n \geqslant 3 та довільних дійсних чисел x1<x2<…<xnx_1 < x_2 < \ldots < x_n справджується нерівність: n(n−1)2∑i<jxixj>∑i=1n−1(n−i)xi⋅∑j=2n(j−1)xj.\frac{n(n-1)}{2}\sum_{i<j} x_i x_j > \sum_{i=1}^{n-1}(n-i)x_i \cdot \sum_{j=2}^{n}(j-1)x_j.
11 класІнші класичні нерівності
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-015

Рівність для відрізків KA, KD і KE у трикутнику

У трикутнику ABCABC, у якого ∠ABC<∠BCA\angle ABC < \angle BCA, визначимо точку KK як перетин внутрішньої бісектриси кута BB та зовнішніх бісектрис кутів AA та CC у трикутнику ABCABC. Прямі AKAK та BCBC перетинаються в точці DD. Нехай точка EE — центр описаного кола трикутника BKCBKC. Доведіть, що справджується рівність: 1KA=1KD+1KE.\frac{1}{KA} = \frac{1}{KD} + \frac{1}{KE}.
8 класЦентральні і вписані кути
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-016

Жовті, сині й зелені точки із заданими сумами відстаней

Знайдіть усі трійки натуральних чисел (a,b,c)(a, b, c), для яких a+b+c=10a+b+c=10, при цьому на площині існує aa жовтих, bb синіх та cc зелених точок (усі точки попарно різні) з такими властивостями: - сума відстаней між усіма парами точок, одна з яких жовта, а інша синя, дорівнює 3737; - сума відстаней між усіма парами точок, одна з яких зелена, а інша жовта, дорівнює 3030; - сума відстаней між усіма парами точок, одна з яких зелена, а інша синя, дорівнює 11.
8 класНерівність трикутника

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.